Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пусть С вЂ” связная подгруппа а СР(п), действующая неприаодиммм образом а С", иормализатор которой содержит диагональную матрицу 1». (1) Если р = (х,1,... »1) имеет порядок > 2 (соответственно = 2), то РС = ЕЦп) (соответственно ЯЦп) или ЕО(п)). (й) Если и = 7 и 1» топологически порождает алгебраический тор (х,у,ху,х ',у ~,(ху) ~,1), то РС = ЯЦ7), 50(7) или Сг. Вот пример, иллюстрирующий зто предложение: Пример З.[ВВН, ВН, Ка4]. Обобщенное гипергеометрическое уравнение Н: (В+а~)... (В+ар)у — г ~(В+аз — 1)... (В+с« — 1)у = О (В = гд/дг). АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ' 179 Оно неприводимо тогда и только тогда, когда.
разности а, — су не являются целыми. Если Г1 > р, то его особенности суть (О, со), и уравнение мажет стать приводимым лишь над циклическим расширением С(хГГм) поля С(х), и это условие легко выразить в терминах параметров уравнения (по поводу универсального метода вычисле-. ния группы Са!(Р)! Са!(Р)е см. [Ка3, 1.2.5]); более тонкий анализ требуется в фуксовом случае д = р, где Е =- (0,1.со). Предположим к тому же, что Н непрнводимо в слГГясле Лн. При д = р, применяя предложение 4(!) к Се и образующей Гэ группы 34~ „„, получаем, что С = Са!(Н) содержит НО(п) (ЯЕ(п)), если число 2(7',(пэ) — 5 (с )) не является четным (соответственно целым). При д > р, применяя обобщение предложения 4 к Се и тс пологпчсской образующей Гэ тора Т - у, можно свести изучение группы С к исследованию линейных зависимостей между корнями 07 — р)-й степени из 1.
Утверэкцение (й) дает в этом случае, что Оа!(Н)е = Сз для (р, Гп (а)., (с)) = (1,7; ( ), (1; 0 < 7' < 6)). Заме нм, что часть .этих результатов также была получена методами разд. 3; по поводу скрученной версии этого примера см. [РХ!] и [М1, 4.8.2]. Ограничимся теперь фуксовым случаем ГГ . р =- п и предположим, напротив, что Н не является неириводимьГм в смысле Ли. В общем случае представление Ка группы С индуцировано с представления подгруппы конечного индекса ГГ, деляйГего и., и изучение Н сводится с помощью теоремы типа РиГиава --Гильберта, принадлежащей Левельту (см.
[Ка4, 3.5.4]), к изучению гипергеометрического уравнения порядка п)Г(. Но в противоположном случае, когда ограничение представления на С являешься изотипнческим и 0 приводимым, изучение груйпы Мэ „„(см. ГГКа4, 3.5.7]) показывает, что представление является мономнальным! Если вронскиан уравне~шя Н является алгебраи Гееной функцией, то Се тривиальна и Н допускает алгебраический базис решений.
Векерс и Хекман, которым принадлежит данное решение обобщенной проблемы Шварца, показали в [ВН], что этот случай возникает тогда и только тогда, когда параметры а;з сэ рациональны и для любого автоморфизма 7 порожденного ими кругового расширения поля Ц корни из единицы С(е(аэ)),...,С(е(а„)) и Яе(сэ)),...,С(е(ся)) чередуются на единичной окружности. Наконец, случай, когда само Н является приводимым, сводится к изложенным выше с помощью техники коэомологий Галуа, подсказанной теорией Куммера (см. [Во]). (Этот случай мож.'т быть исследован также методами разд. 3 [РМ] ) Даниель Бертран Отметим в заключение, что Кац ввел в [КаЗ] фильтрацию на формальной группе Галуа в иррегулярной особенности, что позво-, лило уточнить информацию, заключенную в зкспоненциальном то, ре Т, у(Р).
Для сохранения равновесия мы не будем говорить о,' ней более подробно, также как и о фильтрации Жевре, введенной, Рамисом. 5. ГИПОТЕЗА ГРОТЕНДИКА (по Кацу) Метод, который мы изложим в заключение нашего обзора, описывает, в обозначениях равд. 1, «К-форму» Са!(1т/К) дифференци-', альной группы Галуа Са1(Р). Для этого, в частности, не требуется" никакой информации о функторах слоя решений типа У~. Прин-". ципиальный недостаток этого метода (или принципиальное досто-- инство, смотря на чей вкус) состоит в его на настоящий момент; гипотетическом характере.
Хорошо известно, что коэффициенты всякого интересного диф- ] ференциального уравнения принадлежат полю Ща) (с помощью„ стандартной техники [Ка2] можно всегда свести дело к случаю,) когда скаляры являются алгебраическими числами над Я). Итак, пусть И есть и-мерное векторное пространство над полем К = Ща) 1 со связностью тт (в обозначениях равд. 1 Ч(д) = Р, где, скажем,,' д = «(/Ых).
Для любого достаточно большого простого числа р рас-; смотрим векторное пространство со связностью (1ю «7р) над диф-:„ ференциальным полем (Рр(а),др —— а!/На), полученное из И редук-] цией пкк1 р. Тогда (подробнее об этом см. [Ка1]) (д„)а является диф-, феРенциРованием полЯ Рр(а) и ф (ь7(д)) = (т р(ди))г — » и((дг)г) Б.~ Епбр,(Ър) есть Гр(х)-линейное отображение. Оно (а точнее, опера-:,,' тор ф~) называется оператором р-кривизны связности ~7. Если мы~ определим по индукции последовательность матриц Аа, так что' Ае = А(а) — матрица линейной части оператора Р в базисе И над) :.! Щх) и Ааьт — — дА» + АА», то р-кривизна задается в соответствую-:; щем базисе 7р над Ер(а) редукцией шеар матриць! Ар(а). В этих условиях горизонтальные векторы формального рас-/ ширения Чр проетранства ~р, полученного расширением скаля-".; ров до Рр((а)), образуют векторное пространство размерности пр!', над полем констант Рр((а")), получаемое расширением скаляров,", из Рр(хг)-пространства горизонтальных векторов пространства Ър.', (теорема Хонды), и пр —— п (т.
е. связность «интегрнруема») тогда и,'; только тогда, когда р-кривизна фр(ь" (д)) связности «7 равна нулю ] (теорема Картье). Следовательно, по теореме Эйзенштейна диф-1 л ференциальная группа Галуа Са!(1т/К) может быть конечной а ее',; АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 181 алгебра Ли да<(Ъ'/К) — нулевой, только если р-кривизны фр(у (д)) связности у равны нулю для всех достаточно больших р (см. [Ба]). Более общим образом, по соображениям нетеровости можно ввести в рассмотрение наименьшую алгебраическую К-подалгебру Ли соигб(К/К) С д1(п, К), редукции которой шобр содержат фр(~7(д)) для всех достаточно больших простых р.
Из определения р-кривизн следует, что соигб(И/К) содержится в да!(У/К). Следующая гипотеза Каца [Ка2] обобщает гипотезу Гротендика, относящуюся к случаю сонсЬ(»~/К) = 0: Гипотеза. Алгебры Ли сошб(К/К) и да!(Ъ'/К) совпадаю»и. Отметим формальную аналогию этой гипотезы с теоремой Амброуза — Зингера [АБ], согласно которой алгебра Ли группы голономии риманова многообразия М порождается операторами кривизны во всех точках этого многообразия (точнее, сопряженными к ним при помощи параллельного переноса).
Кроме того, Андре [Ап2] сопоставил любой связности над Рр(г) «схему дифференциальных групп Галуа» (не обязательно приведенную), алгебра Ли которой порождена р-кривизной этой связности. Таким образом, гипотеза Каца эквивалентна тому, что Са1(1г/К)е является наименыпей алгебраической подгруппой в Ап1к()г), редукции которой шос1р содержат эти подсхемы почти для всех р. Рассмотрим нашу «тестовую» ситуацию с двумя особенностями Б = (О, оо). В этой ситуации гипотеза доказана в [Ка2, 10.3] редукцией к случаю соптЬ(К/К) = О, в котором она вытекает нз [КаЦ.
Ее нелегко проверить непосредственно. Во всех случаях обнаруживается таинственная связь между группами Стокса и р-кривизнами, поскольку (даже если рассматривать только примеры 2 и 3 при д» р) формальные группы Галуа сами по себе не порождают Са1(1'/К)~. Отметим, однако, что логарифмы автоморфизмов Стокса нильпотентны, в то время как при наличии иррегулярных особенностей большая часть р-кривизн этим свойством не обладает [Ка2, 8.1(1)].
К тому же расходящиеся ряды, возникающие в формальных изоморфизмах Ф (и ответственные за феномен Стокса), при редукции пъойр часто сводятся к полиномам (типичный пРимеР— РЯд ЭйлеРа 2 „»е(п!)г"); лишь Р-адический анализ позволяет просчитать все до конца (см.
[11и]). На самом деле, за исключением некоторых уравнений с унипотентными группами Галуа [Ап1, 8.1.3; ВВ], во всех случаях, когда гипотеза Каца проверена, она сводится к гипотезе Гротендика (см. [Ка3, 10.2]), где, собственно и не возникает необходимости в вы- Даниель Бертран числении свито(К/К), ввиду теоремы Картье... Помимо рассмот4 ренного выше случая, имеются еще уравнения первого порядка нт~т, Рт [Но] и гипергеометрнческне уравнения ([Ка1, ВН]; см«вьппе прв';т мер 3, а также [Гтвт]). Тут новый подход, основанный на более тон 1] кой версии критерия трансцендентности Шнайдера — Лента, предт«7' ложен Чудновскими [СС].
Он позволяет проверить гипотезу Гро01 тендика для всех дифференциальных уравнений первого порядка), на римановой поверхности (произвольного рода) и для уравнений] Ламе (которые, как подчеркнул-Кац, являются уравнениями Эйрн~, на эллиптической кривой — по повалу нахождения соответствую ' щнх списков Шварца см. [В?), С1т]). С точки зрения «вычисления Са?(?т)», которая нас здесь инте;,„:; рссует, поразительным в доказательствах нз [СС] является то, что! нет необходимости располагать всей локальной информацией, нуж'-'[ на лишь информация, обеспечиваемая некоторым конечным наба-.~ ром эффективно вьтчислимых простых чисел р.
Ввиду эффектив«] ной версии теоремы Чеботарева [Ве, Гш 5], то же замечание при4 менимо и к доказательству Хонды [Но]. Это приводит к следую.;~ щему вопросу, уточняющему гипотезу Каца, который мы обсудим'; в заключение. Назовем высотой (?т, т17) максимум степеней и лот",[ рифмических высот коэффициентов матрицы А,,задающей опера т? тор .О, и ик общего знаменателя Т. Будем говорить, что ~7 имеет) хорошую редукцию в р, если р > и'и р не делит ни один из кот[ эффициептов Т. Сделанный выбор базиса пространства Ъ' пааво-'] ляет определить (логарифмнческую) высоту п(Х) векторного К-1 надпространства Х С тт, Вопрос состоит в следующем:,',! (?) Существуют ли эффекптивно вы".'«палимые постоянные с(п)кт к(п), удовлетворяющие следующему условию: ттусть Ь Б Н, ?а > 1/т ту — связность высоты < ?т на ?т и Х есть К-прямая в ?т, такал,'.,] что при любом простом р < с(тт)(?т + ?т(Х))"1"1, дающем хоро«т шухт редукцию для '7, редукция Хр подпространства Хшо«?р ин4 вариантна относительно т/тр(~7(д)); тогда Х инвариантпно ошно т[ ситпельно Са?(Ъ'/К) .
ЛИТЕРАТУРА (С точностью до перестановки букв, сокращения ? .0.??.Е., В.Е.?1., ... обозначают: линейные обыкновенные дифференциальные урав ' пения (11пеаг огт??пату г?1??егепс?а1 ет?паС?опэ), системы дифференци-, альных уравнений (эуэсезпеэ с?еэ ес?нас1опэ Й??егепс?е11еэ),... ) (Аи!] [Ап2] [АБ] [ВЧ1] [ВЧ2] [В!Л] (ВВНБ] [Ве] [В ВН] [ВН] (ВН] (В1] [Во] [СЬ] [СС] [!Ле] [ВМ] (!Лсч]. [Но] [1К] [Ли] [Кар] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 183 Апйге Ч. С-Гипс!юля апй деошеггу, Аяресяв о! МаСЬ., чо!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
