Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Для любого дифференциального расширения (Ь, д) поля (К, д) решения в Ь" системы дифференциальных,. уравнений РУ = О представляют элементы пространства (1' З Ь)э: горизонтальных векторов для связности (1'ЗкЬ, РЗд). Поле Ь на-'; зывается раси(иреииел( Пикара — Вессио поля К (ассоциироваиным" с 1'), если выполнены следующие три условия: поля констант у Ь и Ксовпадают, (1гЗЬ)эЗс(Ь = 1ЗяЬ (другими словами, уравнение( Р1' = О допускает фундаментальную Матрицу П(Р) решений в Х"),' н, наконец, Ь порождено пространством (1' З Ь)э (т. е.
коэффици-,. ентами матрицы П(Р)) иад К. В этом случае группа Са1а(Ь/К), (или Са!(Р)) автоморфизмов расширения Ь/К, перестановочных.) с д, называется дифференциальной группой Галуа поля.Ь над К' (нли пространства 1'/К; корректность такой терминологии будет', обоснована в следующем абзаце). Поскольку Р— линейный опера-'; тор, векторное С-пространство 1'э = (1' З Ь) является точным ли-;, нейным представлением группы Са1(Р). В духе Галуа можно интер-;,', а претировать элементы из Са1(Р) как те автоморфизмы простран-'~ ства 1'э, которые оставляют инвариантными пространства горизон-', тальных векторов в различных подпространствах всевозможных", тензорных конструкций(г! И( над 1', инварнантньгх относительно;, соответствующих тензорных связностей (см.
(Ка2, Ре]). В частно-.' сти, Са!(Р) является алгебраической подгруппой алгебраической: группы Ап1о(1'а). Отправной точкой теории Колчина является тот факт, что При,' сделанных предположениях относительно поля С существует един '1 ственное с точностью до дифференциального изоморфизма расши-.', Л рение Пикара — Вессио, ассоциированное с 1'. За исчерпывающим' доказательством этого факта мы отсылаем читателя к статье (Ье). ( Доказательство сущеетвования есть простое упражнение по диф-' ференциальной алгебре.
Более тонкий факт, что любые два рас-,,' ширения Пикара — Вессио Ь, Ь' связаны (неединственным) изомор- ' физмом 1(Ь, Ь'), вытекает из интерпретации таких изоморфизмов, как С-точек главного однородного пространства (1огзепг) алгебра-,', ической С-группы Са!э(Ь/К). В (Ре) получено обобщение (и новое ', доказательство) этих результатов в терминах таннакиевых катего- ( рий. С этой точки зрения отметим (тривиальное) существование,' М цифры в скобках отсылают к црянечаняян в конце статьи.
— Прим. рва АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 167 функтора слоя нац К, который позволяет рассматривать Са1(Р) как С-форму алгебраической подгруппы Сэ1(Ъ'/К) алгебраической К-группы Аиск(т'), определенной «теми же» условиями, что и выше, тогда как изоморфизмы т(ь, Х'), равно как и матрица 0(Р), имеют трансцендентную природу.
Вычисление этих изоморфизмов, или, на языке групп монодромии, отыскание «формул связности», является, таким образом, сложной зацачей, но иногда это дает ключ к вычислению группы Галуа Са)(Р) Мы увидим это на примерах в рэзд. 2 и 3. Указанные выше результаты собраны — и уточнены — в следующей теореме. Теорема 1. (1) Обычное соответствие Галуа устанавливает биекцию между алгебраическими подгруппами группы Са1(Р) и промежуточными дифференциальными расширениями в Ь/К, причем замкнутые нормальные подгруппы соответствуют расширениям Пикара — Вессио поля К. (й) Категория рациональных конечномерных С-представлений группы Са1(Р) эквивалентна катпегории связностей на подфакторах тензорных констпрукций над т'. В частпности, представление 1тз группы Са1(Р) неприводимо тогда и только тогда, когда связность пространства Ъ' определена над К.
(ш) Степень трансцендентности поля Ь над К равна размерности группы Сэ)(Р). Более точно, 0(Р) естпь общая тпочка главного однородного (К-неприводимого) К-пространстпва алгебраической группы Са1(Ут/К). 2. ВОКРУГ МОНОДРОМИИ Здесь мы предполагаем, что пространство 1' происходит из расслоения с голоморфной связностью над дополнением к конечному множеству В точек на сфере Римана.
Для любого элемента о Е Е обозначим через К,„(соответственно К,у = К) поле частных кольца ростков аналитических функций (соответственно формальных степенных рядов) в точке а. Пусть С...„и С, т — аналитическая и формальная группы Галуа пространства »т в точке о, т.е. 'группы Галуа пространств со связностями 1т,л„и Ч, полученных из ~' путем расширения скаляров с К = С(Рт) до К,,„и К соответственно. Они отождествляются (см.
[КаЗ, 2.7]) 'с алгебраическим- подгруппами в Са1(Р) (вообще говоря, не обязательно нормальг ми), причем С,„содержит замыкание по Зарисскому М „ 168 Даниель Бертран кальной группы монодромии оператора Р в точке а. Из теоремы 1, совпадения классов мероморфных и рациональных функций на Р» и теории Фукса выводится Предложение 1. В случае К = С(г) группа Галуа Са1(Р) порождена® (в топологии Зарисского) своими локальными аналитическими подгруппами.
Кроме того, группы С „, С у и М . совпадают, если и — регулярная особая точка оператора Р. (Напомним, что особенность и называется регулярной, если любое горизонтальное сечение имеет в ее окрестности не более чем полиномиальный рост.) В частности, если Е содержит только регулярные особые точки, то Са!(Р) есть замыкание по Зарисскому группы монодромии расслоения со связностью, которое порождает $'. Пример 1.
Гипергеометрическое уравнение Гаусса Н = Н(а, Ь, с): г(1 — г)бгу+ (с — (а+ Ь+ 1)г)ду — аЬу = О (д = д/дг) [или, в другой форме, (В+ а) (В+ Ь)у — г 'В(В+ с — 1)у = О (В = гд)]. Все три его особые точки О, оо, 1 регулярны. Метод Фробениуса позволяет вычислить здесь локальные аналитические подгруппы.
Между тем известна восходящая к Риману «формула связности», которая позволяет их сравнивать в рамках одной и той же реализации группы Са1(Н) (ср. [Ча]). Для рациональных чисел а, Ь,с таким образом можно проверить путем трудных вычислений, что условие чередования Каца [КаЦ (см. ниже пример 3) необходимо и достаточно для того, чтобы уравнение Н(а, Ь, с) попадало в список Шварца.
Совершенно иная картина складывается в случае иррегулярной особенности, который будет служить нам в качестве модельной ситуации вплоть до конца статьи. Напомним, что Р = »г В К. Согласно фундаМентальной теореме Хукухары — Турритина — Левельта (см. [КаЗ]), существует расширение Р поля К степени )Ч < п!, для которого Ч З Х может быть получено в результате цепочки последовательных расширений пространств со связностями с одномерными.
факторами. (Имеются многочисленные доказательства этой теоремы. Последнее по времени, принадлежащее Вэббиту н Варадараяну [ВЧ1], основано иа двойной индукции по порядку и размерности орбиты наиболее полярной части матрицы А, задающей оператор Р, под действием калибровочных преобразований из АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 169 Аис(г'); недавно это доказательство распространено Сабба [За] на уравнения в частных производных). Другими словами, существует определенный над Х горизонтальный изоморфизм Ф пространства г' на пространство со связностью (Го = К", Ра) где Ро = 1(д/д1) — А+1 '[(д/д1)ЩС '), причем (/(Ро) = с~ ехр(ц(с ')), для уннформнзующей 1 Е Х, диагональной матрицы 1д, элементы которой — полиномы без свободного члена (называемые детермннантнымн множителями и переставляемые группой инерции Са1(Т,/К)), и жордановой матрицы Л, перестановочной с 1„1 (по поводу К-рациональной формы изоморфизма Ф см'.
[ди, р. 32]). Экспоненты детермннантных множителей порождают расширение Пикара — Вессио поля Х, дифференциальной группой Галуа которого является тор Т,(Р) (называемый экспоненциальнмм), изоморфный группе характеров 2-подмодуля в С[1 '], порожденного этими множителями. Зафиксируем, кроме того, «оператор формальной монодромииь 1 ь+ 1. ехр(юг/АГ). Он действует на Т (Р),посредством своего образа в Са1(Х/К). Обозначим также через М 1(Р) (формальная монодромия простравстеа К) замыкание по ЗарисскомУ подгРУппы в Ап1(Чае), поРожденной этим опеРатоРом.
ПРн этих условиях справедливо следующее утверждение ([Ка2, М1]; см. также [Ка3, 1.4.5]): Т1редложение 2. Формальная дифференциальная группа Галуа С, 1(Р) порождена М у(Р) и Т (Р). Так как изоморфизм Ф задается, вообще говоря, расходящимся рядом, группы М 1(Р) и М,„(Р) никак не связаны друг с другом, и у нас нет никакого естественного способа свести вычисление группы С 1(Р) к С,,„(Р). Предположим, далее, что множество В сводится к двум точкам (О, оо), так что глобальная группа монодромни оператора Р абелева, и что 0 является регулярной особенностью. (Это первая нетривиальная ситуация, в которой описанные ниже методы приводят к успеху.
Следует признать, что на настоящий момент это по существу единственный пример успешного приложения указанных методов, в котором оператор Р не является фуксовым. См. [Ка4, Ка2 (10.3), М1].) В этом случае Сау = Со, = Мо,у = Мо, „вкладывается в С„,,„= Са1(Р) в качестве подгруппы, замкнутой в М,,„, но уяснить это совсем не просто: 170 Даниель Бертран Пример 2.
Уравнение Бесселя .7 = з(п): -10„+ (1 „г — г)„0 Р,(~,( ) [Оно получается из гипергеометрического уравнения при вырожде- нии двух особенностей в одну; к сожалению, сегодняшний уровень знаний о поведении дифференциальных групп Галуа при специа-, лизации ([Ка2 (2.4), ЯпЗ]) не позволяет извлечь пользу из этого„ замечания.) С помощью подконструкции «максимальной внешней, степени» (вронскиан) мы можем вложить Са!(з) в ЯХ(2). Метод' Свробениуса позволяет указать образующую группы Сел„— нетри- ' виальный унипотентный элемент при целых г и полупроьтой эле-,' мент в противном случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
