Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 25
Текст из файла (страница 25)
с п. 3.9) [ф '71]+ ['7ш'72] = О [ф, ~72] + [~73, ~71] = О, [ф, 72] + [7Ы ч 2] = О, или, в более компактном виде, с использованием ходжева оператора и, гА = *7лф т.е. получится уравнение Богомольного. В простейшем случае С = ЯУ(2) граничные условия обычно выбирают в виде [[ф[[ -2 1 при г -+ со. Здесь как параметр решения возникает целое число и — степень отображения сферы большого радиуса в В.з в единичную сферу в д = В.з. Это число называется зарядом решения. 7.3. В случае С = ЯУ(2) дополнительная теорема, доказанная Дональдсоном [01], отождествляет полученное многообразие модулей с пространством базированных рациональных отображений 7': СР -+ СР степени Й.
В действительности для отождествления необходимо выбрать направление и и решать проблему рассеяния для обыкновенного дифференциального уравнения (~7„+ 1ф)з = О. Рациональное отображение 1 степени й, переводящее оо в О, можно записать в виде ао+".+а»-2»' ' р(») 4 — Ъ+ Ь„+... +»2 — Ч(,) где многочлены р(») и 9(») не имеют общих делителей.
Пространство таких отображений, очевидно, является комплексным многообразием вещественной размерности 4к. Как и на всяком гиперкзлеровом многообразии, на нем должна быть комплексная симплектическая форма. Она строится следующим образом. Прежде всего разложим знаменатель в произведение: 9(») = (»вЂ” )22)... (» — ~32). Поскольку р(») и 9(») не имеют общих делителей, рЩ ~ О. Следовательно, форма С"; (р((3.) и~Я р(Ю 143 ГИПЕРКЗЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ является голоморфной симплектической формой на пространстве рациональных отображений.
Она плоская по отношению к гиперкэлеровой метрике. 7.4. Строгая конструкция этих метрнк требует привлечения дополнительной техники, которая была разработана К. Х. Таубсом. Сводка его результатов и свойств полученных метрик содержится в [АН]. Одно из свойств позволяет отличить это семейство от предыдущих. Отождествление с пространством рациональных отображений требует выбора направления в В.э. С другой стороны, сами уравнения Богомольного 50(3)-инвариантньь Таким образом, группа 50(3) транзитивно действует на двумерной сфере комплексных структур на многообразии модулей, которые, следовательно, все эквивалентны. Этим свойством также обладает метрика ТапЬ-'г1НТ, твисторное пространство которой, описанное в п. 2 4, очевидным образом наследует действие группы о(/(2) с СР'.
Твисторные пространства для монопольных метрик могут быть точно описаны (см. [АН]). Кроме того, в случаях /с = 1 и 2 на них явно вычислены метрики: в первом случае это плоская метрика на У х тьз, а во втором случае метрика описывается в терминах эллиптических интегралов [АН]. 8. ГРУППЫ ПЕТЕЛЬ 8.1. Пусть С вЂ” компактная группа Ли. Обозначим через /С = Мар(У;С) пространство гладких отображений из окружности в группу С. Хорошо известно, что фактор 1 С/С по подгруппе постоянных отображений обладает структурой бесконечномерного симплектического 'многообразия [РБ].
Кроме того, он обладает кэлеровой метрикой. Симплектическая форма получается сдвигом кососимметрической формы, определенной на касательном пространстве к единичному отображению, где /,д: У + й. Ясно, что то же определение работает и в случае комплелсной полупростой группы С', т.е, комплексное многообразие ЬС'-/С" обладает естественной голоморфной симплектической формой.
Дональдсон [113] показал, как можно снабдить это пространство естественной гиперкэлеровой метрикой. 144 Найджел Хитчин 8.2. Рассмотрим тривиальное главное С-расслоение над единичным диском Р с С и пространство А' связностей на ассоциированном С'-расслоении Р', гладких вплоть до границы. Таким образом, ситуация сходна с рассматривавшейся в разд. 6, но теперь имеется нетривиальная граница — окружность У. Однако если мы рассмотрим группу калибровочных преобразований м, 'тождественных на границе, то гиперкэлеровы отображения моментов окажутся такими же, как и в п. 6.2: п,(А) = Р1 Е .Й~(Р; ас1 Р З С), д„(А) = Р' — Ел 6 Пт(П; АР). 8.3. Для решения уравнений отображении моментов мы опять воспользуемся формулировкой в терминах гармонических отображений.
В нашем случае все плоские связности тривиальны, так как диск односвязен; поэтому решения уравнений — это в точности гармонические отображения /: Р -е С'/С. Результаты Р. Гамильтона (На) доказывают разрешимость задачи Днрихле. Таким образом, отображение /, заданное на границе, однозначно продолжается до гармонического отображения всего диска. На языке связностей это означает, что при данном граничном значении существует единственная по модулю калибровочных преобразований, сохраняющих граничные значения, плоская С'-связность на В, являющаяся решением уравнений отображения моментов.
Однако все такие связности на окружности калибровочно эквивалентны тривиальной связности, группа автоморфизмов которой равна С'. Поэтому гиперкэлерова редукция совпадает с Мар(Я~; С')/С'. 8.4. Голоморфная форма ы из разд. 6 при ограничении на про- странство плоских связностей д, '(О) дает ы(а„З) = / Тг(ад~3). йп Но если а и 8 — касательные векторы к пространству плоских связностей в точке А, то а = е(лу н Д = Нлф для некоторых у,ф е Пв(0;АР'), а следовательно, ы(а,Я = / Тг(длддйлф = ТГ(ФАФ)~ у з! 145 ГИПЕРКЭЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ что, очевидно, совпадает с определенной выше кососимметрической формой на граничных значениях отображений /: 17 -+ С'.
8.5. В завершение заметим, что в этом примере уравнения отображения моментов можно записать в более привычной форме п. 3.9 с помощью подстановки. Полагая 17 = (~'+ 17')/2Г ф = ['7' — 17")/2 и записывая ф = Ф1пя1 + Ф21Ь2, переписываем эти уравнения так: ['7, '72) + [Ф1, Ф2) = О, [1~1 Ф2)+[~2 Ф1) = О [ 71~ Ф1) + [Ф2~ ~2) = О. 9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 9.1.
Гиперкэлерова редукция позволяет построить огромное количество гиперкэлеровых многообразий, в действительности столь огромное, что возникает новая задача — навести в них порядок. Это очень важно, ведь даже среди приведенных здесь примеров много соотношений — гиперкэлеровы метрики могут появляться на одном и том же пространстве с помощью различных конструкций. Коприсоединенные орбиты Кронхаймера — один из таких примеров. Конструкция, приведенная в разд.
б, — редукция бесконечномерного пространства — основана на обыкновенных дифференциальных уравнениях. С другой стороны, Д.Бернс [Вп[ предложил алгебраическую твисторную конструкцию [на примере которой очень хороцю видны трудности доказательства полноты метрики) для метрик на тех же самых пространствах. Помимо этого, например, компоненты множества неподвижных точек относительно действия окружности на комплексной группе петель из рэзд. 8 совпадают с коприсоединенными орбитами. Наконец„некоторые из этих пространств [как видно на примере метрики Егучи — Хансона) могут быть получены конечномерной гиперкэлеровой редукцией.
Доказать изометрию оказывается не всегда просто. Другие примеры дают многообразия модулей монополей. С одной стороны, гиперкэлерова метрика на них вводится с помощью бесконечномерной редукции, основанной на уравнениях Богомольного в размерности 3. С другой стороны, преобразование Нама позволяет определить метрику с помощью уравнений Нама в размерности 1. Согласно результатам типа результатов Накадзимы [Х), 146 Найджел Хитчин две полученные метрики совпадают. Аналогична ситуация с многообразиями модулей инстантонов: здесь результаты работ [ВчВ) н [Ма[ доказывают совпадение метрик, полученных двумя различными способами. 9.2. Операция редукций может быть определена и для более широкого класса многообразий, связанных с кватернионами.
Мы уже упоминали гиперкомплексные многообразия. Помимо них есть еще класс кваглеряионных кэлеровых многообразий, т.е. рима- новых многообразий с группой голономии ор(п).ор(1), например, НР™ или класс кватеряпонных многообразий, обладающих СЬ(п, Н).ор(1)-связностью без кручения [Б]. Для всех этих многообразий определена операция редукции [С1,, Л[, однако количество известных примеров здесь меньше, чем в гиперкэлеровом случае. 9.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
