Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Гиперкэлерово многообразие — это многообразие, которое допускает действие кватернионов «, ! и Й на касательных векторах, согласованное с метрикой (размерность такого многообразия обязательно кратна 4). Приведем точное определение. Определение. Гиперкзлерово многообразие — это риманово многообразие с тройкой плоских (относительно связности ЛевиЧевиты) ортогональных автоморфизмов Х, .7 и К касательного расслоения, удовлетворяющих кватернионным тождествам 12 .г'2 = Кг = ! г К = — 1 1.2.
Напомним, что риманово многообразие с одним таким автоморфизмом называется кэлеровым. Таким образом, термин «гиперкэлерово», принадлежащий Э.Калаби [Са], совершенно справедлив — метрика является кэлеровой по отношению к нескольким г! Н!«еп!и !Ч!бе!. Нурег!гаыег пгапгто!ов, — Зггп!пыге Вопгьа!г!, 799!-~2, и' 7«б, Ав«епм!пе, 20В (!992), р. 737-!бб. 122 Найджел Хитчин комплексным структурам, — хотя напоминает он в большей степени египеркомплексные числа» Грассмана, чем гамнльтоновы кватернионы. Однако между кэлеровыми н гиперкэлеровыми многообразиями имеется существенное различие.
Добавление эрмитовой формы дд1 с произвольной достаточно малой С -функцией 1 не влияет на кэлеровость; поэтому пространство кэлеровых мстрик бесконечномерно. Кроме того, построение кэлеровых многообразий не представляет никаких затруднений, Каждое комплексное подмногообразие в СР" наследует кэлерову метрику, и, таким образом, проективные многообразия дают обширный запас примеров кэлеровых многообразий. Гиперкэлерова метрика, напротив, — объект очень жесткий. Пространство таких метрик с точностью до изометрии на компактном многообразии не более чем конечномерно, а построение примеров — задача непростая. В частности, искать их как кватернионные подмногообразия в кватерниопном проективном пространстве НР" бесполезно (Ог]. 1,3.
Понятие гиперкэлерова многообразия впервые появилось в 1955 г. в связи с классификацией М. Берже групп голономии рима- новых многообразий. На гнперкэлеровом многообразии паралельные переносы сохраняют автоморфизмы 1,,7 и К (поскольку ови плоские); следовательно, группа голономии содержится как в ортогональной группе 0(4п), так и в группе 01,(п, Н) обратимых кватернионных матриц (т. е. линейных преобразований, коммутирующих с правым умножением на т; д н )е).
Пересечением этих групп является Яр(п) — группа унитарных кватернионных и х п-матриц. Эта группа встречается в списке Берже. 1.4. Заметим, что группа Яр(п) также является пересечением группы 11(2п) и группы Яр(2п, С) линейных преобразований пространства С~н, сохраняющих некоторую невырожденную кососимметричную форму. Таким образом, гиперкэлерово многообразие естественным образом является комплексным многообразием с голоморфной симплектической формой.
Это можно увидеть и непосредственно. Рассмотрим тройку кэлеровых 2-форм ше(Х,У) =д(1Х,У), ыэ(Х,У) =д(1Х,У), нз(Х,У) =д(КХ,У), связанных с комплексными структурами 1, д н К. Форма ь~, = шэ + 1ыэ является невырожденной и плоской по отношению к комплексной структуре 1; поэтому она замкнута и голоморфна. 123 ГИПЕРКЗЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ Такая точка зрения дает способ построения примеров гиперкэлеровых многообразий и показывает, какого сорта дифференциальные уравнения управляют гиперкэлеровостью. Во-первых, голоморфная форма объема ь~," на гиперкэлеровом многообразии задает плоскую тривиализацию канонического линейного расслоения. Кривизна канонического расслоения относительно любой кэлеровой метрики — это форма Риччи; поэтому наличие гиперкэлеровой метрики влечет за собой обращение в нуль тензора Риччи.
В случае наименьшей размерности четыре это означает, что такая метрика удовлетворяет вакуумному уравнению Эйнштейна. Теорема Калаби — Яу ]У] утверждает, что на компактном кэлеровом многообразии с голоморфно тривиальным каноническим расслоением существует кэлерова метрика с нулевым тензором Риччи.
Кроме того, гораздо более ранняя теорема С. Вохнера ]Во] доказывает, что любая голоморфная дифференциальная форма на компактном кэлеровом многообразии с нулевым тензором Риччи является плоской. Из этих двух теорем следует, что на всяком компактном кэлеровом многообразии с голоморфной симплектнческой формой имеется гиперкэлерова метрика. ! Таким образом можно доказать существование гиперкэлеровой метрики на многих комплексных многообразиях. В четырехмерном (вещественном) случае единственный (но очень важный) нетривиальный пример дает КЗ-поверхность. В высших размерностях естественный класс голоморфно-симплектических, а стало быть, и гиперкэлеровых многообразий составляют схемы Гильберта О-мерных'циклов на КЗ-поверхности и на 2-мерном комплексном торе [Веа].
1.5. В нашем обзоре мы постараемся не только доказать существование метрики. Мы будем стпроить решения более явным образом, чтобы лучше понять геометрию гиперкэлеровых многообразий и ощутить ее богатство. Такая возможность появилась совсем недавно — каких-то двадцать лет назад было практически невозможно придумать нетривиальную риманову метрику с нулевым тензором Риччи. Имеются два основных подхода с построению гиперкэлеровых метрик: (а) теория твисторов и (Ь) гиперкэлерова редукция.
Твисторный подход базируется на основополагающей работе Р. Пенроуза по теории относительности ]Р]. Он позволяет закодировать данные гиперкэлеровой метрики в терминах голоморфной геометрии. Можно сказать, что таким образом все дифференци- 124 Найджел. Хитчин альные уравнения сводятся' к одному — уравнению Коши — Римана. Раскодировать информацию для написания метрики зачастую непросто, вывести же глобальные свойства метрики, такие, как полнота, — практически невозможно. С другой стороны, гиперкэлерова редукция позволяет выводить такие свойства очень легко, хотя и уступает твисторному методу в универсальности.
Гиперкэлерова редукция возникает также в ряде вопросов математической физики, например, в связи с суперсимметрией (НК1 Н1 Фактически имеется два способа ее применения. Первый — это конечномерная редукция. В этом случае отыскание метрики сводится к решению алгебраических уравнений. Второй способ использует бесконечномерные методы, хотя результат может быть и конечно- мерным.
В этом случае для нахождения метрики приходится решать дифференциальные уравнения. Однако для этих, уравнений часто известны способы решения, и потому в врвнцмве мы получаем больше информации, чем просто теорему существования. 1.6. Мы проиллюстрируем эти два 'способа на многочисленных примерах, которые выбраны согласно нашему основному принципу: искать комплексные симплектические многообразия. Все следующие гиперкэлеровы многообразия априори являются комплексными многообразиями с голоморфными симплектическими формамн: (1) разрешения рациональных особенностей поверхностей; (й) орбить' коприсоединенного действия комплексной группы Ли; (ш) простРанства представлений фундаментальной группы поверхности в комплексной группе Ли; (га) пространство бвзированных (переводящих отмеченную точку в отмеченную точку) рациональных отображений 1: СР' †> СР' степени /с; (и) пространство базированных петель в комплексной группе Ли.
Конструкции гиперкзлеровых метрик на этих пространствах содержатся в Работах П, Б Кронхаймера, С. К.Дональдсона и других авторов. Особенно замечательным кажется то, что на почти всех этих столь различных пространствах гиперкэлерова метрика описывается в терминах специальных решений уравнений антиавтодуальности янга — Миллса в На. При этом сами эти уравнения, имеющие физическое происхождение, существенно используют отождествление Р с пространством кватернионов. душа Гамильтона та 4 может, наконец, обрести покой. 123 ГИПЕРКЗЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 2.
ТВИСТОРНАЙ КОНСТРУКЦИЯ 2.1. Гиперкэлерово многообразие Мг" по определению снабжено тройкой комплексных структур 1,,1 и К. В действительности, если п=(а,Ь,с) Ей.~,то (а1+ Ы+ сК)э = — (аз+ Ьэ+ сз); поэтому при йп() = 1 мы получаем еще одну плоскую (и, следовательно, интегрируемую) комплексную структуру 1„. Гиперкэлерова метрика является кзлеровой по отношению ко всем этим комплексным структурам. Теистпорпое пространство многообразия М вЂ” это произведение 2 = М х 5~. Касательное пространство я двумерной сфере 5~, рассматриваемой как сфера Римана, обладает естественной комплексной структурой 1о. Для Х Е Т М, г Е Т„5~ формула 1(Х у) — (1пХ 10~ ) определяет комплексную структуру в касательном пространстве Т М еэ Т„5~ к твисторному пространству 2.
Имеется теорема [НКВН, 5, АНВ), утверждающая, что эта почти комплексная структура иптегрируема, т.е. У является комплексным многообразием комплексной размерности 2п+ 1. 2.2. Твисторное пространство обладаег следующими свойствами. Во-первых, проекция на 5' ~ СР' голоморфна. Во-вторых, антиподэльное отображение и на единичной сфере переводит комплексную структуру 1„в — 1„, а 1э' — в — 1э.
Это позволяет рассматривать 2 как вещественное комплексное многообразие (комплексное многообразие с антиголоморфной инволюцией †ч-то вроде проективного многообразия, заданного уравнениями с вещественными коэффициентами). Тройка кэлеровых форм ыы ыэ и ыэ на М определяется выбором ортонормированного базиса в Нэ. Поэтому на слоях проекциии М х 50(3) -+ 50(3) определена 2-форма ы„комплексная относительно структуры 1„, соответствующей первому элементу и ортонормированного базиса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
