Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 18
Текст из файла (страница 18)
следовательно,' все кольца А„„+1 (и 6 Е) имеют одну и ту же в-меру и попарно 107 ДИНАМИКА УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ Рис. 9. не пересекаются. Поскольку я имеет конечную полную массу, мы получим, что и-мера объединения периодических орбит потока 6~+ равна нулю. Когда объем пространства Г'1С конечен, речь идет, напротив, о доказательстве того, что и((оо)) = 1. Предыдущее доказательство показывает, что и-мера объединения периодических орбит равна нулю.
Классификация инвариантных вероятностей, данная в п. 3.4, показывает, что и обязательно сосредоточена в точке со. П 3.6. Некоторые указания для общего случая. Классификация инвариантных мер'на однородном пространстве конечного объема Г'1С с помощью унипотентной подгруппы Н использует все методы„ описанные вьппе. Как указано во введении, мы не можем привести здесь детали ввиду сложности, которую представляет это доказательство. Мы ограничимся некоторыми замечаниями. Множество элементов д из С, правые сдвиги на которые сохраняют д, является замкнутой подгруппой А группы С, и надо доказать, что д сосредоточена на орбите подгруппы Л.
Если С разрешима, то Л П [С, С] унипотентна. Это следует из применения к этой подгруппе свойства Я, которое Ратнер использовала для доказательства своей теоремы в разрешимом случае [71]. Если С полупроста и ф' — унипотентная однопараметрическая . подгруппа, то можно вложить экземпляр алгебры 0[2, Н) в алгебру Ли и, отображая орициклнческий поток на ф'. Таким образом, мы располагаем ягеодезическим потокомь д' р С, что позволяет обобщить большую часть техники, описанной выше.
Конечно, ситуация усложняется тем, что д' не поток типа Аносова, так как он может обладать нетривиальным централизатором [72 — 73]. Для вывода своего результата о равномерной распределенности н о замыканиях орбит Ратнер использовала метод типа приведенного в и. 3.5, но в существенно более развитом виде [74]. 108 Этьен Гас 4,'ТРИ ПРИЛОЖЕНИЯ В этом разделе мы приводим три примера применения результатов Ратнер. 4.1. Жесткость унипотентных преобразований. Пусть ф'— унипотен1ная однопараметрическая подгруппа простой группы Ли С и à — решетка группы С. Классические эргодические инварианты потока ф' на пространстве Г1С (оснащенном мерой Хаара) не очень интересны: нулевая энтропия и счетный спектр Лебега. Примечательно, что теоремы Ратнер позволяют классифицировать все измеримые изоморфизмы между этими потоками. Следующая те'- орема принадлежит Д. Витту [89); она обобщает частный случай группы 8Ц2, й.), рассмотренный Ратнер [67, 68].
Для простоты мы ограничимся случаем простых групп Ли, отсылая к [89) и [73) за общими формулировками. Теорема. Пусть ф,'. — унипотпентная однопараметрическая подгруппа одтюсвлзной группы Ли С, (т = 1, 2) и Г; — решетка в С;. Пусть Р: Гт~,С, -+ Гг'1Сг — измеримое сопряжение между ф[ и фт, отображающее меру Хаара Лт на Лг. Тогда существует изоморфизм а группы С1 на Сг, отображающий Гт на Гг и ф[ на ф~~, такой, что Р(Г1, д,) = Гг . а(дг) длл Лыпочти любого д1.
На самом деле можно сказать значительно больше. Джойнинг (1опйпй) пары ф'„ф' — это по определению вероятностная мера р на произведении Г1'1С, х Г ЛСг, инвариантная относительно диагонального потока (ф', х ф,') и такая, что р(тг, (Х)) = Л,(Х), где х, — проекция на т-й сомножителеч а Х вЂ” борелевское множество пространства Г;~Сг,(т = 1, 2). Произведение двух мер Хаара Лт гЭ Лг называется тривиальным джойнингам. Если Р: Г, 1Ст -т Гг1Сг— измеримое сопряжение между ф', и фг, отображающее Лт на Лг, то ясно, что образ меры Л1 при отображении Ы хР: Гг1С, Гт '1Ст х Гг'1Сг является нетривиальным джойнингом. Нетрудно вывести отсюда, что предыдущая теорема является лишь частным случаем следующей теоремы (мы ограничимся случаем простых групп).
Теорема. Сохраним обозначения предыдущей теоремы. Пусть р — неглривиальный эргодический джойнинг пары ф', ф',. Тогда сущестпвуют изоморфизм а: Сд — > Сг и решетка Г группы Сы содержащаяся (с конечным индексом) в Г1 и а ~(Гг), такие, чтпо р — образ меры Хаара на пространстве Г'1С, при отображении Ы ха: Г1С1 — ) Г1~1Ст х Гг1Сз. динАмикА унипотентньтх пОтОкОВ 109 Доказательство. Согласно теореме Ратнер, эргодический джойнинг ЯвлЯетсЯ одноРодной меРой на Г, х ГгттС> х Сг, полУченной из меры Хаара на некоторой замкнутой подгруппе Н группы Ст х Сг.
Так как речь идет о джойнинге, то проекция подгруппы Н на каждый сомножитель С> и Сг сюръективна. В силу простоты Ст и Сг можно утверждать, что Н является графиком изоморфизма между Ст и Сг, если только Н = С, х Сг. Конечно, последний случай исключается, если р нетривиальна. П Отметим два обобщения этих теорем. Прежде всего, измеримые сопряжения между орициклическими потоками в случае переменной отрицательной кривизны были классифицированы в статье [ЗЗ] [которая дополняется работой [6Ц).
С другой стороны, в статье [47] (также дополняемой работой [61]) изучается случай топо- логических эквивалентностей между орициклическими потоками, т. е. гомеоморфизмов, отображающих орбиты на орбиты без учета параметризаций. За аналогичными результатами в высших размерностях мы отсылаем к [34] п [91]. 4.2. Значения квадратичных форм в цетючнсленных точках.
Приведенная во введении теорема о днофантовых приближенях была сформулирована в качестве гипотезы в 1929 г. Оппенгеймом для и > 5 [57, 58], а затем в 1946 г. Давенпортом для и > 3. Для и > 21 она была доказана Берчем, Давенпортом и Риду. В [3, 29, 43, 58, 59, 87, 88] можно найти другие предварительные ре- . зультаты, все они получены методами, отличными от тех, которые мы опишем. Мы покажем здесь, каким образом результаты Ратнер позволяют получить более сильное утверждение. Вывод этой более сильной формул>трояки из гипотезы Рагунатана принадлежит Дани и Маргулнсу.
Впрочем, последние доказывают в [24-26] частный случай и = 3 следующей теоремы. По-видимому, гипотеза Оппепгейма была одной из мотивировок, которые привели Рагунатана к его гипотезе. Теорема. Пусть Ц вЂ” невыражденная неопределенная квадратичная форма на Кч (и > 3) и 7[х,у) = -'>Я[х + у) — 1г(х — у))— соотеетствующая билинейная форма. Предположим, пао Я не кратна никакой рациональной форме. Пусть от„н 1 < т < и — 1, 1 < ф < и — 1, — действительные числа, ньтбравные так, что существуют еектаоры шт,...,ит„> е й.", такие, что оп — — ) (ш„ш ).
Тогда для любого =- > 0 существуют ин... а„.т из Х", такие, что ]>т(ит, т т) — оч] < г длЯ любых т,~. Можно тлакже с ттать, чтло 110 Этьен Гас набор (и;,...,и„т) примитивен в тном смысле, что его можно дополнитт)ь до баэиса группы Е", Начнем с выражения днофантовых задач в терминах динамики на однородных пространствах. фиксируем два целых положительных числа р,д, такие, что р+д = и, и обозначим через Фрл множество квадратичных форм на К" сигнатуры(р,д).
Пусть 9о — формахг+ . +хг — х~~д, — . — хг и 0(р,д) — ее ортогональная группа. Для простоты записи пред- положим, что и — такое нечетно число, что любая невырожденная форма кратна единственной форме с дискриминантом +1. Груп- па ОЬ(п,К) транзитивно действует справа на Фр по формуле с).д(ит) = ьг(д т(ит)), и, следовательно, Фрд отождествляется с 61(п, К)/0(р,д).
Две формы дд и ьд' из Фр д эквивалентны, если существуют с й В. и д й Я (и, Е), такие, что ьг'(ит) = салье(д(ит)) для любого ит из Кн. Ясно, что (д и (д' принимают, с точностью до множителя, одни и те же значения на Е". Таким образом, мы получаем естественную биекцию между (1) классами эквивалентности форм из Фр д и (2) смежники классами группы 31(п,Е)1Я(п,К)/оО(р,д) или, эквивалентным образом, орбитами группы 30(р, д) 'на 3Ь(п, Е)131.(п, К). Теорема Ратнер позволит описать замыкания орбит группы ,30(р, д). Достаточно сформулировать эти результаты в терминах квэдратичных форм.
Если и > 3 и р,д > 1, то группа 50(р,д) содержит груп- пу ЯО(2,1), локально изоморфную Б?(2,К), и, значит, содержит унипотентные элементы. Эти унипотентные элементы порождают компоненту единицы оОо(р,д) группы 80(р, д), и, следовательно, к 30о(р, д) можно применить теорему Ратнер. Поскольку БОо(р, д) имеет индекс 2 в 30(р,д), то отсюда легко вытекает, что замыка- ния орбит группы 30(р, д) в Я,(п, Е) 1Я (и', К) являются орбита- ми относительно замкнутой подгруппы, лежащей между 30(р, д) и Я,(п, К). Следующую лемму мы оставляем в качестве упражнения. Аналогичные, но значительно более общие формулировки можно найти в [30, 31].
Лемма. Не сущестпвует никакой эамкнутпой подгруппы, старого лежащей между БО(р,д) и 31(п, К). Отсюда сразу получается ДИНАМИКА УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ 111 Предложение. Орбитаа группы БО(р, д) в Я (п, Е)1оЦп, В) зам- кнута или плотна. Теперь речь пойдет об интерпретации в терминах квадратичных форм понятий плотности и замыкания соответствующих орбит. Это цель двух следующих предложений, которые завершают доказательство теоремы. Предложение.
Пусть сг' — квадратичнвл форма, такая, что связанная с ней орбита плотна. Тогда 1,~ удовлетворяет заключению предыдущей теоремы. Доказательство. Плотность орбиты сводится к плотности подмножества ВЬ(п, Е) . БОЯ) в ВЦп, К) (где БОЯ) обозначает, конечйо, специальную ортогональную группу формы 1д). Пусть (еы..., е„) — канонический базис пространства К" и д — элемент группы ВЬ(п, К), такой, что д(е;) = и; для 1 = 1,...,и — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
