Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пусть Ь Е 'БО(1д) и Та Е ЯБ(п, Е) — две последовательности, такие, что Т Ь сходится кд т приск, стремящемся к+со. Пусть о, = Т т(сг) (г = 1,..., и — 1). Очевидно, что (и,,..., о„,) является набором из и — 1 примитивных векторов в Е" и что у'(ъ;,о, ) = у'(й 'у '(е;), а 'Т '(с,)) — э 1(д(ег),д(еу)) = ась П Второе предложение утверждает больше, чем нам необходимо.
Мы предположим теперь, что р и д не релны нулю. Предложение. Орбитаа группы БО(р, д) замкнута тогда и только тогда, когдд соответствующая квадратичная форма (таочнее, ее класс эквивалентности) кратна некоторой рациональной форме. Она компактана тогда и только тогда, когда кратна некоторой рациональной форме, не предстпавляющей нуль (в ьг"). Доказательство.
Одно из направлений (которое мы не использовали) — частный случай классической теоремы Бореля и Харишчандры [4]. если сз — рациональная форма, то Я (п, е) 1БО(с)) замкнуто в ЗБ(п, Е)1БЬ(п,гс) и компактно, если Сд не представляет нуль. Пусть 1д такова, что Я (и, Е) . оО(1г) замкнуто в Я (п, 1с). Мы покажем, что 1г кратна некоторой рациональной форме, следуя (27], где часть доказательства приписывается Борелю. Пусть Г = ББ(п, Е) й БО(1д).
Метод состоит в'доказательстве того, что ч' 112 Этьен Гис и ее кратные — единственные формы, ортогональная группа которых содержит Г. Отсюда 'будет следовать, что прямая, порожденная формой О в пространстве квадратичных форм, задается целочисленным уравнением: ЯЯ. э = ?)' для любого э из Г), и, следовательно, О кратна некоторой рациональной форме. Фиксируем теперь форму ?,г, такую, что Г С БОЯ'). Пусть ф' — однопараметрическая унипотентная подгруппа группы БОоЯ) (где БОвЯ) — компонента единицы группы БО(О)). Если мы покажем, что ф' образована изометриями формы О', мы выведем отсюда, что БОэЯ) с БОЯ'), так как эти подгруппы порождают БОоЯ).
Непосредственно из этого будет следовать, что БОЯ) = БОЯ') и что 1„1 и ?„1' пропорциональны. Пусть тл б Нн. Функция Г: д е БОЯ) н+ ььэ'(д(ш)) б В. после факторизации дает функцию Г1БОЯ) -+ В.. Мы уже приводили теорему Маргулиса, в соответствии с которой орбита группы ф' не может стремиться к бесконечности в БЦп, Е)1,БЬ(п, В.). Значит, существует последовательность 1„, стремящаяся к бесконечности, такая, что БЦп, Х) . фм остается в некотором компакте К'группы Я (и', Х) 1БЬ(п, В). Поскольку мы предположили, что орбита формы 1Э, изоморфная Г1БОЯ), замкнута в БЬ(п, Е)1БЬ(п,В), то ее пересечение с компактом К является компактом.
Значит, функция 1 ьэ Р(ф') = 1,г(ф'(тл)) принимает ограничшшые значения в точках последовательности 1н. Так как, с другой стороны, эта функция полиномиальна, она постоянна. Таким образом, 1',1'(ф'(тл)) = Я'(ю) при любом Ь.т. е. ф' содержится в БОЯ'), что мы и утверждали. Этим завершается доказательство предложения и, следовательно, теоремы. П В случае п = 2 теорема неприменима, так как БО(1,1) С БЦ2, В.) содержит только полупростые элементы. Динамика группы БО(1, 1) на Б?,(2, Х) 1БЬ(2, Н) является динамикой геодезического потока на модулярном орбиобразин, для которого, как мы уже говорили, существуют орбиты, которые не являются ни периодическими, ни плотными.
Конкретно, пусть Π— число постоянного типа, т. е. удовлетворяющее следующим неравенствам для некоторого С>0: Π— — ! > Сх ~ для любых (х, д) Е Ез — (0,0). ! х Например, квадратичные иррациональные числа над ь? относятся к постоянному типу. Неопределенная и невырожденная квадратичная форма (,> на В.э, заданная формулой 1,'(х,д) = уэ — Озхз, не ДИНАМИКА УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ кратна никакой рациональной форме, если'от иррационально. Очевидно, однако, что О(х, у) = х~(у/х — 8)(у/х + д) не может быть произвольно малым, если х и у — ненулевые целые числа. Мы следуем теперь [54], чтобы более точно описать значения неопределенных и невырожденных квадратичных форм 1/ в целочисленных точках из Е". Для такой формы положим о(Я) = 1п1(]ц(и)] ] и Е Е" — (ОЦ.
Пусть г)1вс(ь/) — дискриминант формы Я н М(О) = о(Я)]]п1всф)] '/", так что М(О) инвариантно относительно эквивалентности форм. Пусть ̄— множество значений, принимаемых М(О), когда О. пробегает невырожденные неопределенные формы на В.". Это компакт на прямой К для любого п > 2. Изучение множества Мз — увлекательное занятие.
В частности, см. [79] и главу из [10], посвященную пересечению Мэ с ]4/9,4/5]. Известно также, что Мт содержит интервал [О,е] (см. [10, 78]). Из теоремы Маргулиса следует, что если О не кратна рациональной форме, то М((,~) = О. Если Я рациональна н и > 5, то знаменитая теорема Мейера утверждает, что (,> нетривиально представляет нуль и, следовательно, МЯ) = 0 [11]. Таким образом, М„= (О), если п > 5.
Следующая теорема была доказана Касселем и Свиннертоном-Дайером в предположении справедливости гипотезы Оппенгейма [12] и, в более сильной форме, Вулахом [86]. Здесь мы представляем доказательство, несколько отличающееся от доказательства Маргулиса [54]. Теорема. Если и = 3 или 4 и е > О, то существует только конечное число классов эквивалентности невырождснных и неопределенных квадратичных форм О на В.", таких, что М(Я) > е.
Набросок доказательства. Мы знаем, что неопределенная форма О, такая, что М(Я) > О, кратна рациональной форме, не представляющей О, и, следовательно, соответствует компактной орбите относительно действия группы БО(р, д) на ВЬ(п, Е) 1ЯЬ(п, К). Предположим противное, т. е. что существуег бесконечное множество попарно неэквивалентных форм Я; с одинаковой сигнатурой (р, д), таких, что М(Я,) > е.
Таким образом, получаем бесконечное число компактных связных орбит О, для действия компоненты единицы БОо(р, д) группы БО(р, д) (имеющей индекс 2). Проверим (используя критерий Малера), что условие М(Я;) > е означает, что все компакты О, содержатся в одном и том же компакте пространства 8Ь(п, Е) 18Ь(п, 11). Пусть О, — предел (в смысле Хаусдорфа) компактов О,. Очевидно, что Π— связный компакт, обьединенне 114 Этьен Гас орбит группы ЯОо(р, д). Поскольку каждая орбита плотна или замкнута, то О,„, обязательно является объединением счетного числа компактных орбит, так как существует только счетное число, рациональных форм. Тогда легко убедиться, что в силу связно- ' сти множества О оно сводится к единственной компактной орбите. Мы, следовательно, должны показать, что последовательность различных компактных орбит не может сходиться к компактной: орбите О Пусть Лà — дополнение алгебры Ли во(р,о) в в1(и,К), инвариантное относительно присоединенного представления группы ЯОо(р,й).
Это определяет ЯОо(р,у)-эквнвариантную тривиэлиза-г цию нормального расслоения над орбитами группы ЯОв(р,о). Если' г достаточно велико, то О; остается в трубчатой окрестности множе- ., ства О и, следовательно, существует малая функция и: О; -+ Л,; такая, что О = (х. ехри(х) )х Е О;). Пусть 1 б (0,1]. Тогда оче-, видно, что О' = (х.
ехр 1и(х) ) х 0.0;) — также компактная орбита,,' группы ЯОо(р, д). Это противоречит счетности множества компакт- ' ных орбит и завершает доказательство теоремы. П 4.3. Геодезические ламинации. Пусть Н" — гиперболическое', пространство размерности и > 2. Известно, что полные впол-,' не геодезические подмногообразия изометричны пространству Нг для 0 < р < н. Пусть йер(Н") — расслоение положительно ори-': ентированных ортонормированных реперов касательного расслое-1 ния к Н"; это главное однородное пространство относительно дей-) ствия группы собственных изометрий пространства Н",изоморф-( ной группе ЯОо(н,1). Пусть теперь И вЂ” полное риманово многообразие кривизны — 1 ( и конечного объема.
Тогда оно изометрично фактору простран-,' ства Н" по решетке Г группы ЯОо(и,1). Факторпространство! Г1ЯОо(н, 1) также отождествляется с расслоением Вер($') реперов1 пространства У. Орбитами действия группы ЯОо(р, 1) х ЯО(н — р) С"1 ЯОо(н, 1) на Г'1ЯОо(н, 1) Кер(Ъ') являются подмногообразия, про-:~ екции которых в И в точности являются образами изометриче-1 ских погружений пространства Нг в 1с.
Следовательно, выполня-3 ются условия для применения теоремы Ратнер, как только р > 1.~1 Мы дадим результат, полученный Шахом при помощи этого ме-,~~ тода $80): Теорема. Пусть У вЂ” полное риманово зоьогообразие размерностй п конечного обвсма и кривизны — 1. Пусть 1: Н" - — > И вЂ” изо-" метрическое погружение, где р > 1. Тогда замыкание множества' ::1 ДИНАМИКА УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ 115 с(Н") в г' яеляеспся вполне геодезическим подмногообразием И' многообразия Ъ' размерности > р.
Кроме того, ортонормироаанньсе р-репе!!и, касательные к !(Нг), плотны в ортонормироваинмт р-реперах многообразия !с, касательных к И'. Напомним, что геодезическая лссминация б размерности р многообразия И вЂ” это замкнутое множество, которое является дизьюнктным объединением полных и вполне геодезических подмногообразий размерности р, инъективно погруженных в И, называемых листами. Предположим, что р-реперы, касательные к листам лами- нации Е, образуют замкнутое множество в расслоении р-реперов многообразия Г. Ламннацня тривиальна, если все ее листы замкнуты (тогда их конечное число). Фундаментальная роль геодезических ламинацнй размерности 1 была раскрыта В.
Терстоном. Она контрастирует со следующим утверждением: Следствие. Любая геодезическая ламинация размерности р ) 2 гиперболического многообразия $' конечного обвема тривиальна. В частпности, для 1 < р < й!гп г' не существует слоения класса Се, есе листы которого бьсли бм вполне геодезическими. В [93] можно найти частичные обобщения на случай переменной кривизны.
Вопрос о существовании слоений размерности 1 й класса Се, листы которых являются геодезическими многообразия 1с, остается открытым, хотя доказано, что такие слоеиия не могут быть класса С . Л ИТЕРАТУРА [!] Аносов Д. В., Геодезические потоки на замкнутых римасювых многообразиях отрицательной кривизны. — Труды МИАН им. В. А.
Стеклова, т. 90, 1967. [2] Аиг1апйег Е., Сгееп Ь., НаЬп Р. Р!озге оп Ьоспобепеопв врасев, Апп. о! МасЬ: Бспй!ег, Рппсесоп, 53 (1963)г [Имеется перевод: Ауслендер Л., Грин Л., Хгн су., Потоки на однородных пространствах. — Мг Мнр, 1966.] [3] Ва1сег В.
С, БсМп йене! Н. Р. 1пйебпйе срсайгайс !описи Рсос. Ьопйоп МаСЬ. Бос., 54 (1987), !с!о, 3, 385-411. [4! Ваге! А. 1псгойпсссоп аих йгоирев апсЬшейс!иев, Неппапп, Рапг, 1969. !5] Ваге! А., Ргаэас! С. Ча!епгв с1е Гостев цпайгас!цпев гпх ро!псг епс!егв, С. В. Асас1. Бес Рагин Бепе 1, 307 (1988), 217-220. [6[ Воссеп 11. Репосйс огМсв !ог ЬурегЬо!сс Яонв, Аспег. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
