Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Затем можно найти А с Г'1С, имеющее меру, произвольно близкую к 1, и Тг > О, такие, что если х Е А и Т > Тг, то — тф Е [О,Т) [х.6' Е А1)) > 1 — —. Т 5 Рассмотрим теперь две точки х и у =' х. ехр~ч из А, где [[г — зг[[ = р. Сначала мы покажем, что если р достаточно мало, то ехрт — н принадлежит В, т. е.
что у = х.6+д', где з и 1 малы. Предположим противное, и пусть 1а — первый положительный момент, когда [[им[[ = С. Имеем 1е > 2Т1 и 1е > 2Тг/О при достаточно малом р. Согласно определению А, интервал [О, 1а] содержит больше, чем (1 — т1(5)ю часть, действительных чисел 1, таких, что х.6~+ Е Ан Пусть т — это введенная выше функция, такая, что у .
6+ х.6' ехрио Поскольку 0,99 < зз', < 1,01, то интервал [0,1е] 102 Этьен Гис 'содержит большую, чем 1 — 1,01ло > 1 — ле, часть действительных чисел 1, таких, что х. Ь+ Е Аы Следовательно, существут(С] ет йт с [(1 — т])(о,йо], такое, что одновременно х.Ь+ Е А1 и В свою очередь, определение Ат показывает, что существует (о е [(1 — т])го,(1+ т])1~], такое, что как х = х.Ь"', так у = у. Ь'„('] прингдлежат К. Вместе с тем мы знаем, что если С Е «(1 — т])го, (1+ т))то], то этот — г м Ц < 2т)С < б/2 и Цв м х СЗЦ < 2р.
Значит, если р < 4 > то Цтон х СЗЦ < б. Но это противоречит определению б, в соответствии с которым Цттт, х Сб]] > б, еслй У и У = ехР тем пРинадлежат К. Следовательно, мы установили, что если точки х и у близки в А, то у = х . ехр и, где ехр тт Е В близко к тождественному отображению. В частности, одна из орбит группы В имеет ненулевую р-меру, а эргодичность фактически показывает, что )т сосредоточена на некоторой орбите группы В в Гт,С. Остается показать, что )т сосредоточена на периодической орбите потока Ьт+.
Орбита х . В имеет вид В/Л, где Л вЂ” дискретная подгруппа группы В. Эти дискретные подгруппы группы В легко описать. Возможны три случая: (!) Л тривиальна.'Поток Ьт+, действующий на В, не может сохранять вероятность, так как все его орбиты стремятся к бесконечности в В. (й) Л порождается матрицами ~ о- (, )), где эо ф О. ОдрехР(ео) то нородное пространство В/Л является гиперболическим цилиндром. Здесь опять все орбиты потока Ь' в В/Л стремятся к бесконечности, и, следовательно, не существует никаких инвариантных вероятностей.
(ш) л порождается матрицами ~о 1/, где (о ]~ О. Однород- 71 со1 ное пространство В/Л является каспом, где все орбиты потока Ь' периодические. Следовательно, инвариантная и эргодическэя вероятность сосредоточена на некоторой периодической орбите. Этим доказательство теоремы завершается. П 3.3. Классификация ннварнантных' вероятностей: случай решеток.
Следующая теорема принадлежит Дани [13, 16, 17], но доказательство, которое мы представляем, подсказано более общим результатом Ратнер [71]. 10З ДИНАМИКА УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ Теорема. Пусть à — решетка группы С = Я1 (2,К). Тогда (с точностью до множителя) единственными конечными мерами на ГЛС, инвариантнмми и эргодическими относительно ориииклического потока, являются мера Хаара на Г'1С и мери, концентрирующиеся на периодических орбитах. Набросок доказательства. Сначала предположим, что Г'1С компактно. Пусть р — вероятностная мера на Г'1С, инвариантная и эргодическвя относительно Ь~~. Пусть Л вЂ” мера Хаара, нормализованная так, что она является вероятностной на Г'1С.
Если тч., т и и— три действительных положительных числа, то положим Я, (Ь++Ь д' Е ЯЦ2, К) []гч.[ < те, [г [ < т, ]в[ < о). Компактность пространства Г1С позволяет гарантировать существование такого р > О, что если тт, т и о меньше р, то множество х. Я„+, инъективно вложено в Г1С для любого х из Г1С.
Для простоты записи предположим, что р = 2, так что вся дуга орбиты (х. Ь~+ [г Е [О, 1]) содержится во внутренности множества х, Ягд г. Пусть Яо — — хо.Я,+ — одно из таких множеств (т+,т ив < 2). Мы покажем, что р®о) = Л(Яо), откуда будет следовать, что Л=д. Поскольку поток Ь~+ эргодический относительно Л, для Л-почти любого х имеем 1пп Тт((1 Е [О, Т] ] х. Ь+ Е Юо)) чь Л(Юо). 1 Эта сходимость равномерна на множестве почти полной меры. Следовательно, существуют Х С Г1С, где Л(Х) > 1 — г (е > 0 произвольно), и То, какие, что если х Е Х и Т > То, то (1 — г)Л(Яо) < — тф Е [О, Т] ] х .
Ь+ Е Со)) <'(1+ г)ЛЯо). Рассмотрим теперь точку у общего положения для другой меры д, т. е. такую, что 1пп — т((1 Е [О, Т] ] у. Ьг. Е Яо)) = д(Яо). 1 Дпя анализа прохождения потока Ь'„в Яо возьмем образ относительно геодезического потока дььгт для болыпого Т и положим ут = у.дььгт. В результате луга (у. Ь+ ]г Е [О,Т]) сжимается Этьен Гас 104 гт Рис. 8.
до дуги (ут. Ь+ [1 е [О, Ц) длины 1 и множество Яа переходит в (ха . д'Ь' Ь' [ ]г[ < щ [1 [ < Тт, [1е [ < -'-+) (см. рис. 8). Геодезический поток сохраняет Л, и, значит, Л(Хд"'гт) > 1 — с. Следовательно, если г достаточно мало, то маленький тар с центром в ут не может не пересекать Хд"ьгт. Пусть тогда точка г Е Х такова,что гт = г,д"г и ут близки.
Тогда отрезки орбит (уг . Ь'„[1 е [О, Ц) и (гт . Ь'„[1 е [О, Ц) очень близки и содержатся в одном и.том же множестве ут.сскгг. Рисунок 8 показывает, что время, проведенное этими двумя кусками орбит в Яа.дььгт, почти одинаково (и это нетрудно обосновать). По определению.точек г и у первый из этих двух отрезков времени близок к Ща), а второй — к р(Яа). Устремляя Т к +со, а с к О, устанавливаем, что Л(сса) = р(сга) Это завершает доказательство в случае, когда Г10 компактно. / Если Г1С имеет конечный объем, но некомпактно, то существование р(=2!) больше не гарантировано.
Однако рассмотренное доказательство можно применять, если существует последовательность Т„, стремящаяся к бесконечности, такая, что ут„остается в некотором компакте пространства Г1С. В противном случае ут = у, дььг покидает любой компакт, т. е. соответствующая геодезическая стремится к каспу. Мы видели, что это явление возникает в точности тогда, когда орицикл у . Ь~+ периодичен, т. е. когда р сосредоточена на периодической орбите. Р 3.4. Классификация инвариантных вероятностей: случай бесконечного кообъема.
Как мы уже указывали, Ратнер получила результаты, годящиеся для дискретных подгрупп общего вида [72], частным случаем которых является следующая Теорема. Пусть à — дискретная подгруппа группы С = БЕ(2, В.), имеющая бесконечный кообэгм. Любая вероятностная мера на ДИНАМИКА УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ 105 Г1С, инеариантнал и эргодическ л отяосительно орицикличгско- го потока, сосредоточена на некоторой периодической орбите. Доказательство. Предположим, что существует вероятностная мера д,на Г1С, инвариантная и эргодическая относительно Ь~+, не сосредоточенная на периодической орбите.
Сейчас мы покажем, что это противоречит тому факту, что объем Г'1С бесконечен. В п. 3.2 мы видели, что д инвариантна и относительно геодезического потока д'. Сначала убедимся, что и также эргодична относительно д'. Это следствие феномена Маутнера, описанного в и. 1.2: любая функция с д-интегрируемым квадратом, инвариантная относительно д', инвариантна также относительно Ь' и, следовательно, постоянна д-почти всюду. Инвариантность меры д относительно группы Лп В влечет за собой следующий факт.
Если Х с Г'1С имеет полную у-меру, то для р-почти любой точки х мера Хаара (на группе В) множества (у Е В (хд Е Х) является полной. Фиксируем теперь непрерывную положительную функцию В: Г'1С -+ В. с компактным носителем, интеграл от которой по мере д равен 1. Положим для х Е Г'1С 1 Уи В(х) = 1пп 1п1 — / В(х.д *)сЬ. о Согласно эргодической теореме, 7(х) = ) Вдд = 1 для х из некоторого множества Х д-меры 1. Впрочем, очевидно, что Г постоянна на орбитах отрицательного орициклического потока л' . Из предыдущего замечания вытекает, что объединение множеств Х .
и', где г Е В., является множеством полной Л-меры Хаара в Г1С, Таким образом, функция 7 Л-почти всюду постоянна и равна 1. Тогда лемма Фату дает 1 г~ Л(Г1С) = ( 1дЛ < 11ш1п( / ( — / Г(х.д ')дг)ЙЛ(д) уг1О ./г~о о о =/ РдЛ< Это — искомое противоречие, завершающее доказательство тео- ремы. П 3.5. Равномерная распределенность орбит.
Следующая тео- рема в случае решеток сводится к теореме Дани и Смилли. 106 Этьен Гас Теорема. Лусть à — дискретная подгруппа группы С = БГ (2, К), х — непериодическая точка для орициклическвго потока Ь~ и Е: Г'1С -э В. — непрерывная функция с компактным носителем.
Если Т стРемитсл к +со, то сРеднее зпачение тзД Р(х.Ь~+)де сходпгася (1) к ]гЛо ЕдЛ, если Г'1С имеет конечный обеем (где Л всегда обозначает меру Хаара, нормированную так, что вна является веро,атностью) . (й) к О, если Г'1С имеет бесконечный обеем. Иабросок доказательства. Пусть Р = Ъ'0(оо) — компактификация Александрова пространства Г'1С и Ь~+ — продолжение потока Ьг+ в Р.
Пусть рт — вероятность на Р, определенная формулой ] Рдрт = г ] К(х. Ь~+)й. В силу компактности пространства вероятностей т на и существует слабый предел з последовательности рт„(где Т„ стремится к +со). Сначала рассмотрим случай, когда à — решетка. Тогда речь идет о доказательстве того, что и = Л, так как это влечет за собой слабую сходимость меры рт к Л. Мы утверждаем, что о((оо)) = О. Это следует из теоремы (приведенной в п. 2А), согласно которой орицикл находится малую часть времени вне компакта. Таким образом, и сосредоточена на Г1С и, очевидно, является вероятностью, инвариантной относительно Ь+. В п.
З.З мы классифицировали инвариантные эргодические вероятности. Чтобы закончить. доказательство в случае решеток, нужно доказать, что г-мера объединения периодических орбит равна нулю: Мы даем только набросок этого доказательства, которое сильнее всего использует свойства трансвекций. Пусть ч — периодическая орбита, А,з — кольцо, являющееся объединением орбит ч.д', где о < з < Д, В„"  — насыщение (уЬ' ] у б А В,]г] < т) и, наконец, Я', = (ув.д'К, о < з < Д,]1[ < т), где ув — одна из точек орбиты ч.
Отображение первого возвращения потока Ь~+ на трансверсаль Я„' является трансвекцией. Пусть [аы Д] и [ог, Я— два непересекающихся интервала одинаковой длины в [о, )3]. Очевцдно, что если т мало, то большой кусок орбиты находится приблизительно Одинаковое время в В' „, и В", в, (см. рис. 9). Устремляя т к О, получим, что о(А„,дь) = г(А, в,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
