Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е, когда и направлен в сторону Ь+. Пусть Ьо — первый положительный момент времени, когда [[Ад(Ь",)(и)[[ = С. Несложно показать, что если р достаточно мало, то именно многочлен второй степени первым достигает значения хС, т. е. [ — Ь~~Ь+ 2аго + с] = С, и, кроме того, [ — а+ 1оЬ[ (и [Ь]) меньше е. Иначе говоря, [[ Ас$(Ь~ )(ю) х СЬ+]] < е при 1 = со. Можно даже предположить, что если р всегда брать меньшим, чем некоторое действительное число ро (зависящее только от е и С), то последнее неравенство остается справедливым для 1 Е [го, (1+ о) Ьо], где а > О зависит только от е и С.
Предположим теперь, что à — кокомпактная решетка в С = 81(2,В.). Выбранная на в](2,К) норма снабжает Г'1С метрикой. Предыдущие рассуждения показывают, что для достаточно малого С справедливо следующее утверждение. Для любого е > О существуюпг ро > О и о > О, такие, что если две точки я, у 'пространства Г'1С находятся на расстоянии, меньшем, чем ро, и не удовлетворяют равенству у = х.
Ь+ при [1[ < 2ро, то существует 1о > О, такое, что расстояние между х. Ь~+ и у. Ь++ или между х. Ь~„и у. Ь' ~ меньше е при любом 1 из [1о (1+ а)1о] (см. рис. 7). Читатель догадывается, что речь ццет об общем явлении для унипотентных потоков ф'. Если и — маленький вектор, а 1о обозначает первый момент, когда норма элемента нг — — Аб(Ь~„)(н) достигает ощутимого значения С, то лм очень близко к централизатору потока ф' в 9 и это сохраняется во всем интервале времени [1о, (1+ о) 1о].
Это утверждение было введено Ратнер под названием свойства Н [66, 67, 68]. Чтобы показать его полезность, мы опишем классификацию Ратнер факторов орипиклнческого потока. 98 Этьен Гас Пусть ф' — измериммй поток, сохраняющий вероятность )» на измеримом пространстве (Е, А) (изоморфном алгебре борелевских множеств сепарабельного метрического пространства). Говорят, 'что ф' — измериммй фактор орициклического потока на пространстве Г1С, если существует измеримое отображение Е: Г'1С -» Е, переводящее меру Хвара Л (цормализованную таким образом, что она является вероятностной) в д и такое, что Е(х. Ь'„) = Р(х),.
ф' 'для Л'-почти любого х и почти любого й Мы всегда будем предполагать, что Г нетривиально, т. е. что Е не является постоянным почти всюду. Пусть Г С Г' — две вложенные одна в другую решетки группы С = 81(2,К). Тогда ясно, что Г имеет конечный индекс в Г', а конечное накрытие Г1С -» Г''1С показывает, что орициклический поток на Г''1С является фактором орициклического потока на ГЛС. Отметим тот факт, что для решетки Г »общего положения»не существует решетки Г', строго содержащей Г.
Теорема. Если (Е,Я вЂ” измвриммй фактор орициклического попюка на пространстве ГЛС, то (Е, фг) изоморфно орициклическому потоку на пространстве Г''1С, где Г С Г'. Набросок доказательства. Сущность теоремы состоит в том, что если Е: Г1С -+ Š— нзмеримый фактор, то почти все слои отображения Е конечны (и, следовательно, имеют одну и ту же мощность в силу эргодичности). Заметим, что слои отображения Е разбивают ГЛС и переставляются потоком Ь+.
Слой, который глобально сохраняется потоком Ь+, порождает периодическую орбиту потока ф' с периодом т. Так как поток Ь~+ эргодический, то это верно и для ф'. Следовательно, объединение периодических орбит потока ф' имеет нулевую д-меру, если только д не сосредоточена на единственной периодической орбите (которая не является неподвижной точкой, так как Е непостоянна).
В двух случаях можно утверждать, что для Л-почти любого х из Г'1д точки Е(х) и Г(х. Ь'„) различны для достаточно малых й Рассмотрим сначала случай, когда Г'1С компактно, Š— метрическое пространство н Е: Г'1С -» Е непрерывно. Если слой Е '(е) бесконечен, то он содержит две сколь угодно близкие различные точки х, у. Тогда к ним можно применить свойство Н, для того чтобы убедиться, что у не имеет вид х. Ь»+ при малом й Следовательно, существует го > О, такое, что если г е (го,(1+о)1о), то точки х. Ь~~ и у. Ь'~ очень близки. Тогда от- ДИНАМИКА УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ 99 сюда следует в силу непрерывности Е, что точки Г(з.
6~+) = е.ф' н Е[у. 6'„~ ) = е. ф«~~ являются близкими при г Е [8е, [1+ а)1с]. Беря в Г '[е) пары все более и более близких различных точек т, у, находим куски орбиты точки е вида (е. ф']1 Е [8е, [1+ а)1е]), где 1э постоянно увеличивается, состоящие из точек, все более и более близких к неподвижным относительно ф~о. Выберем такое С, что д-мера множества неподвижных точек для «у~~ равна нулю.
Следовательно, р-мера множества почти неподвижных точек для ф~~ мала. Тогда эргодическая теорема показывает, что для р-почти любого е плотность точек, почти неподвижных относительно «У~с, на части орбиты 1е . ф' ] 1 Е [О, Т]), где Т велико, мала. Следовательно, для,и-почти любого е слой Е ' [е) не может быть бесконечным, что и доказывает теорему. В случае когда Е: Г~С -» Е не предполагается непрерывным, используем теорему Лузина, которая позволяет найти компакт К пространства Г~С с большой мерой, на котором Е непрерывна.
Эргодическая теорема показывает, что орбита общего положения потока Ь!„«находится ббльшую часть времени» в К, что позволяет приспособить доказательство к этому случаю. Еслй Г~С не предполагается компактным, то используется теорема, цитированная в п. 2.4, согласно которой орбита группы 6~+ «находится большую часть времени» в некотором компакте пространства Г~С. Это позволяет применить свойство Н и обобщит предьГлущее доказательство.П В общем случае унипотентного потока ф' на Г~С, где С вЂ” произвольная связная группа Ли, измеримые факторы были классифицированы Внттрм [92] с помощью результатов н методов Ратнер. Получен следующий результат: эти факторы изоморфны действию потока ф' на А|~С/Ьэ, где Г1 — некоторая замкнутая подгруппа, содержащая Г, а à — некоторая замкнутая подгруппа аффинных отображений пространства Е1~С, коммутирующих с ф'.
3.2. Дрейф в направлении нормализатора. Фиксируем дискретную подгруппу Г группы С = .БЬ(2,К). Впервые в этом докладе мы не будем предполагать, что à — решетка. В предыдущем пункте мы изучали отделимость двух точек з. Ь~~ и у. Ь«». Теперь мы изучим отделимость двух орбит в трансверсальном направлении. Обозначим через Ь+ь подпространство алгебры Я[2, В), порожденное Ь и к,. а через ра . в![2,В.) -» Ь~ проекцию параллельно Ь+. Снабдим, как и раныле, Ы(2, В.) нормой впр относительно ба- Этьен Гис 100 зиса Ье, Ь, к. Существует константа Со > О, обладающая следующим свойством. Возьмем х и у = х.
ехрсг, где ]]гг]] < Сон, и предположи»с, что ][рх Ас)(Ь~~ )(ъ)]] < Со для любого с Е [О„Т]. Тогда существуют функция т: [0,2Т] -+ В, где т(0) < 2Со и О, 99 < г', < 1, 01, и кривая С б [О, 2Т] ~-+ кс Е Ц, где ]]все]] < 2Ср, »ссс /а «1 такие, что у.Ь+ — — х.Ь+ ехркс.
Если ехрк = ~ь д), то эле- Г(ьс+а) с а ментарное вычисление показывает, что ехркс — — ~ ьс+ л). Если ]]к]] мало, т. е. если малы ]Ь] и ]сс — Ц, то сгс очень близко к ЬЬ вЂ” (ЬС + (с1 — 1))д. Выберем достаточно маленькое Со, такое, что если гс и гг — два вектора подпространства Ь~~ с нормой, меньшей, чем 2Со, и ехргс = (ьс,~') (с = 1, 2), то 0,99]]ос — ог]] < Бпр(]ас — аг], ]Ьс — Ьг], ]ос — сг], ]с(с — с1г]) < 1,01]]гс — г ]]. Фиксируем константу С < Со и вектор к, где ]]сг]] = р мало по сравнению с С.
Формула, задающая к„показывает теперь, что асс постоянно при Ь = О. Это неудивительно и соответствует тому. факту, что геодезический поток д' нормирует 6~~. Напомним, что мы обозначаем через В подгруппу группы С, порожденную Ьс+ и д'. Если Ь ф О, то пусть 1о — первый положительный момент, когда ]]кс,]] = С. Это время со имеет порядок )г(, и кс« — Сд или асс«+ Сд имеют норму, меньшую, чем 2р. Кроме того, ]]кс — кс«]] < 2«1С, если с Е [(1 — с1)СО, (1 + «1)10]. Следующее утверждение представлено в более неопределенных терминах.
Если две точки х, у очень близки и не удовлетворяют равенству у = х. д, где д — малый элемент группы В, то их орбиты должны трансверсально отделяться. В этом случае, если в момент времени 1о такое разделение кс, имеет ощутимую норму С, то точка ' у. Ьм очень близка к точке вида г = (х. Ь' )дхс'. Наконец, орбиты точек у.й+' и г остаются на расстоянии С в течение линейного промежутка времени, зависящего от Со.
Здесь мы опять приводим формулировку, обобщаюшуюся на любой унипотентный поток. Тогда «трасверсальный дрейф» между двумя орбитами происходит в направлении нормализатора потока. Это свойство Я, одна из основных идей работ Ратнер. Мы проиллюстрируем его использование в теореме, которую уточним далее и доказательство которой является частным случаем из [7Ц. Теорема. Пусть à — дискретная подгруппа грунин ЯЬ(2, В.) (которая не обязательно является решеткой). Пусть Сс — веро- ДИНАМИКА УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ - 101 ятностная мера на Г1Я.(2, К), инвариантная и эргадическая относительно потока 6~„. Если р не сосредоточена на периодической орбите, то она танисе инвариантна относительно геодезического потока д'. Доказатпельство. Пусть С > 0 мало, и предположим, что д не сохраняет р.
Поскольку д нормализует поток 6'„, вероятность д~р инвариантна также относительно 6', отлична от р и эргодична. Отсюда следует, что р и д, р взаимно просты, т. е. существует боре- левское множество Х, такое, что р(Х) = 1 и Х. д П Х = о. Пусть К С Х вЂ” компакт, имеющий р-меру, большую, чем 1 — в [при произвольно малом г > 0). Два компакта К и К, д~ не пересекаются, и, следовательно, существует Б > О, такое, что если х = у. ехргг при [[~ч х Сд[[ < б, то одновременно не могут иметь место включения х Е К и у Е К. Выберем и достаточно малым для выполнения неравенства 2пС < б/2. Для р-почти любой точки ее орбита находится в К большую, чем 1 — г, часть времени. Тогда можно найти множество А[ С Г'1С, имеющее р-меру, большую, чем 1 — г1~10, и Т1 > О, такие, что если х Е А| н Т > Т,, то — тес е [О, Т) [х . 6'ь е К)) > 1 — 2г (где через т'обозначается, как обычно, мера Лебега).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
