Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 11
Текст из файла (страница 11)
«АвтОМАтннкСКОЕ» ДОКАЗАтЕЛЬСтИО 701КДкств 69 Еще более впечатляющее тождество принадлежит Дуголлу1 а «+1 Ь с с( е -т а — Ь+1 а — с+1 а — 0+1 а-с+1 а+т+1 / г (а + 1) (а — Ь вЂ” с + 1) (а — Ь вЂ” Н + 1) (а — с — Н + 1) (а — Ь + 1) (а — с + 1) (а — Н + 1) (а — Ь вЂ” с — Н + 1) в предположении, что т — положительное целое число и что 2а+ 1 = Ь+с+11+е — т.
Специалисты могут при помощи специализации вывести из этих тождеств огромное количество соотношений между биномнальными коэффициентами. (156) д-аналогом факториала служит (7' Д) Ие.'= (1' )„ (157) это полинам от д степени п(п — 1)/2, и его значение прн д = 1 равно и!. д-аналог гипергеометрической функции Гаусса задается форму- лой (а Ь 1 «С (а; Ч)ь(Ь;д)а ~, с ' ' / (с 11)ь(11;д)ь (158) с очевидным обобщением ''Ь'~Ь;...Ь,"") „, (Ь,;~), ...(Ь,;7), (7;д), По аналогии с тем, что биномиальный ряд является частным слу- чаем гипергеометрической функции (1 — и) = 1г'Ь (160) 1 См. кииги Экстона [А 17] и Гаспара — Ракмаиа (А 19) 4.4.
Все эти соотношения имеют д-аналоги1>. Мы уже ввели бесконечное произведение (а; д) = П >е(1 — а4™), которое приходится двоюродным братом гамма-функции, и частичное произведение 70 Пьер Картье а экспонента выражается формулой е' = алло (161) мы введем д-биномиальный ряд /а 1 т (а;д)ь ь ' (аг;д) 'т.-' ' ) ~~;(д;д)ь (;д) и д-экспоненцивльный ряд (163) (чтобы вернуться к классическому случаю, нужно заменить г на (1 — д)х и устремить д к 1). Если в ряде,Ф, заменить г на 1 и если один из параметров а; имеет внд д (с целым т > О), то мы получим сумму д-биномиальных коэффициентов (см.
п. 2.5). Формулы гипергеометрического суммирования (Гаусс, Куммер, ... ) имеют д-аналоги, например, гФт, д; с/аЬ = гПг, / д (Гаусс), /а Ь ,Ф, ( „;д;-д/Ь , = тПг /, / д гПо дг (Куммер), (а Ь д " ~ (с/а;д)ь(с/Ь;д)ь с аЬс тдт " д д/ (с;д)„(с/аЬ;д)„ (Пфафф — Заалшютц), / 2 агд/Ь агд/сс д' д /Ь/аг с/аг д/а Ьс/а =4П4 ( Ь/ / / г Ь / г д (Диксон). «АВТОМАТИЧЕСКОЕ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ 71 Мы принимаем такое соглашение Эти формулы можно специализировать многими способами; приведем два знаменитых примера: 1 Š— П (1,.„з...)„+,Р, „,„1,э ) (Якоби), «О 9 ь» ОО 1 ~-~ (1 — д)(1 — дэ) (1 — дь) П (] два+1)(] (!эа+4) (Роджерс — Рамануджан).
4.5. В чем состоит вклад Цайльбергера7 Я приведу типичный пример, а большое количество подобных приложений можно найти в работах (В 16) и [В 18), включая формулу Дуголла (В 14]. Прежде всего заметим, что формула Диксона (3) является частным случаем при а = Ь = с = и другой формулы Диксона (1903), а именно Е(-1) < )< )< ) = ... (165) (а, Ь, с — положительные целые числа). Это не что иное, как специ- ализация гипергеометрической формулы Диксона 1 — а — 2п 1 — Ь вЂ” 2п — 2п! < эРт ~1) 1)п(2 )! (а+ Ь+ 2 — 2)» и! (а)„(Ь) „ Вот доказательство формулы (165), полученное Цайльбергером совместно со своим верным электронным помощником Б)та)оэй Е!«Ьаб.
Положим (и + Ь))(и + с)!(Ь + с)! (п + Ь) ! (и — !«) )(Ь + Ь) ! (Ь вЂ” Ь) )(с + й) ! (с — Ь) ! ' (167) 72 Пьер Картье (и+ Ь+ с)! В(п) =' (168) Формула, которую нужно доказать, — это случай п = а формулы '> Г(п,й) =В(п). (169) Случай и = О очевиден, и мы имеем рекуррентное уравнение (п+ ЦВ(п+ Ц вЂ” (п+ Ь+ с+ ЦВ(п) = О. (170) (п+ ЦР(п+1, й)-(и+Ь+с+ ЦЕ(п, й) = С(и, й) — 0(и, й — Ц. (17Ц Компьютер ЯЬа1ов)т Нйат(, используя алгоритмы, описанные в п.
3.5, ищет решение в виде а(п,й) =В(л,й)Р(п,й), (172) где В(п, й) — рациональная функция. Кроме того, Р(п, й) удовлет- воряет двум рекуррентным уравнениям Г(п+1,й) =А(и,й)Р(п,й), Р(п,й+Ц =В(п,й)Р(п,й), (173) и после деления на Г(и, й) уравнение (17Ц записывается так: (и+ ЦА(и,й) — (и+ Ь+ с+ Ц = В(и,й) — ' . (174) В(и, й — Ц Функции А(п, й) и В(и, й), разумеется, известны: (и+Ь+ ц(и+ с+ц А(и,й) = "( )-(.,й,ц(. й,ц (175) (п - й)(Ь - й)(с - й) (и+ й+ Ц(Ь+ й+ Ц(с+ й+ Ц и компьютер нашел подходящее решение уравнения (174): (Ь вЂ” й)(с — й) 2(п+ й+ Ц (177) Когда функция В(п, й) найдена, проверка уравнения (174) тривиальна. Нам нужно найти для Е(п, й) екомпаньона» 0(п,й) (вместе они образуют то, что соавторы Вильф и Цайльбергер.скромно,называ- ют ВЦ-парой), удовлетворяющего соотношению «АВТОМАТИЧЕСКОЕ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ 73 5.
ПРЕПЯТСТВИЯ И НОВЫЕ ПУТИ Теперь мы располагаем точным словарем, сводящим доказательство гипергеометрических тождеств (и, в частности, соотношений между биномиальными коэффициентами) к тождествам между рациональными функциями. Но остается еще привести в систему массу полученных результатов и угадать, какие структуры лежат в основе.
Как видно из некоторых примеров, ключ, вероятно, следует искать в когомологиях де Рама дифференциальных форм с коэффициентами в поле рациональных функций, их аналогов на решетке У~ и в д-технике. Голономные модули тесно связаны с векторными расслоениями с интегрируемой связностью, и нужно изучать что-то вроде дифференциальных групп Галуа.' В рекуррентных соотношениях с одной переменной й приходится порознь исследовать асимптотическое поведение при (с, стремящемся к +оо, и при к, стремящемся к — оо. Например, уравнение /(й + 1) = (1с + 1)/(й) имеет два решения /1 (/с) = й) при й > О, /э(к) = ( — 1)"+ /( — Й вЂ” 1)! прн Е < 0 ы 0 при й >О. Аомото (П 1, П 2, П 3] начал изучать подобное асимптотическое поведение также в случае уравнений вида Г(дх)/г'(г) = а(рб х) и, главным образцм, в многомерном случае.
Формула Диксона (165) — это частный случай при н = 3 формулы Дайсона, утверждающей, что если разложить в ряд Лорана пРоизведение Пслу(1 — х;/х,)кн (где г, У пРобегают целые числа от 1 до н), то постоянный член будет равен (а1+... + а„)! аы...а„. ) Это источник многочисленных тождеств такого же типа, связанных с простыми алгебрами Ли: гипотезы Макдональда и Морриса— Макдональда. Почти все случаи теперь исследованы, но некоторые (такие, как случай Сэ и г4) поддаются только компьютерам, в которых используются методы Цайльбергера. Здесь мы сталкиваемся 74 Пьер Картье с тонкой пРоблемой: если х, хг, хг, х1 + хг, х1 + хг + хг — полино- МЫ, тО Хп ИЛИ Х1 +... + Хп С аЛГОРИтМИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ '(ПРИ переменном и) полиномами не являются.
Мы спотыкаемся о другое препятствие, когда пытаемся дока-' зать тождества, не содержащие никакого параметра; например, для доказательства с помощью компьютера формулы Роджерса — Рамануджана необходимо сначала получить промежуточный результат который содержит свободный параметр и, а затем устремить и к бесконечности. С аналогичной трудностью мы сталкиваемся, когда пытаемся доказать чисто числовые соотношения. Как доказать, что в следующих формулах речь идет об одном и' том же числе еп а.г 1 г+ — — — / е * lа 11х = Ят? 6 , иг' ( 1)п 4 ~Х- 2и+ 1' пьа (а„( < Си~ (и > 1) (179) с двумя константами С > О и?г > 1. Пусть Ь > 2 — целое число. Тогда РЯд 2 „е а„/О" сходитсЯ (тРивигльно); его сУмма Равна О тогда и только тогда, когда существует некоторая полинолтиально раствущал последовательность (с„), такая, что (180) ап = Сп — беп 1.
Это новый пример телескопической суммы. Наконец, хорошо известна аналогия между гауссовыми суммами и гамма-функцией. Тождество для гауссовых сумм, предложенное Анной Хелверсен-Пасотто [Е 8], на самом деле является аналогом тождества Гаусса для аГ1 11, ~ 1) . Как обобщить зто на соотношеГе ния Диксона, Заалшютца,...? Каков соответствующий алгоритмический метод? Существует ли связь с характеристическими пучками Люстига или с квантовыми группами? Есть о чем помечтать! В сущности, что такое вещественное число с точки зрения алгебраического анализа в смысле Микио Сато и его соперников? Здесь, возможно, существу дела отвечает замечание Метрополиса и Роты: пусть (ап)п>е — полиномиально растущая последовательность целых чисел «АВТОМАТИЧЕСКОЕ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ 75 БИБЛИОГРАФИЯ С КОММЕНТАРИЯМИ А.
Основные работы Классический репертуар о рядах, интегралах, специальных функциях: [1] АЬгашовпсз М., БСебпп 1. Напс!Ъоо!с о( МаСЬещас!са1 Рапссюпз, Почет, )с!ечс Негус, 1965. См. также: Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (ред. Абрамовиц М., Стиган И.). — Мс Наука, 1979. [2] Еп1е1у! А.
(ейСог), Н!8Ьег Тгапзсепс!епга1 Рппсз!опз, 3 чо!пшез, МсСгасч-Н!!1, !с!есч Ногй, 1953. См. также: Вейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Вып. 1 — 3. — Мс Наука, 1965, 1966, 1967. [3] Градштейн Н. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Мс НаукЬ, 1971. Несколько классических работ, в основном о гипергеометрических функциях: [4] Арре!1 Р., Кашрй ссе Рег!еС Л, Ропсгюпз Ьурегбеошезг!с!вез еС ЬурегзрЬег!сСпез, СапсЫег-ЧЦ!згз, Рапз, 1926. [5) Кс4пчбйе Л.
Е. Брес!а1 РппсС!опз, МзсМ!Кап, !с!е«ч Ног)с, 1960. [6] Б1агег К СопйпепС'Нурегбеошегпс Рппсгюпз, СашЬпс)бе ПшчегяСу Ргезз, СашЬпссбе, 1960. [7] сЧЫССа)сег Е., срагзоп О. Моссегп Апа)уз!в, СашЬг!08е 7Лп!чегз!Су Ргезз, СашЬг!дбе, 1946. [Имеется перевод первого нздс Уитгекер Э. Т., Ватсон Г.Н. Курс современного анализа, ч. 1, П вЂ” Мс ГИТТЛ, 1933, 1934.] Несколько хороших ссылок по комбинаторике: [8] А!бпег М. СошЬшагопа1 ТЬеогу, Брппбег-Нег1аб, Ве«1ш, 1979 (особенно гл. 3). [Имеется перевод: Айгнер М. Комбинаторная теория. — Мс Мнр, 1982].' [9] Апс!гесчз С. ТЬе ТЬеогу о( Рвгг!С!опв, Ас!йзоп-ЪНез!еу, Кеайпб, 1976. [10) Сошсес 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
