Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 13
Текст из файла (страница 13)
До того как предыдущая теорема была доказана, Г.А. Маргулис развил методы, которые позволилн ему в 1987 г. доказать гипотезу А. Оппенгейма [50]. гг СЬув Еиеппе. гтупагигяие Вев йоте ипгротептв виг гев еврасев Ьопгояепеа.— Яегпгпагге ВоигЬайй 1991-92, п 747, Автеггвцие, 206, р. 93-136.
81 ДИНАМИКА УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ Теорема (Маргулис, 1987). Пусть 1г — неопределенная невмрооюденная квадратичная форма на Гь" (и > 3). Предполооюим, что О не кратна никакой рациональной форме. Тогда для любого г > О существует вектор о из Е", такой, что О < 0(о) < г. Как мы увидим далее, впоследствии С. Г. Дани и Г. А. Маргулис значительно улучшили эту теорему. Доказательства теорем Дани — Маргулиса и Ратнер длинные и трудные, и нет возможности их здесь привести.
В этом элементарном докладе мы поставили себе очень скромную цель. Мы предполагаем проиллюстрировать примененные там методы в простбм случае, когда группа С есть БЦ2, К): в этом случае речь идет об изучении орициклического потока на поверхности кривизны -1. Этот случай уже включает значительную часть всех трудностей. Мы надеемся, что такое предварительное изучение позволит чита телю легче понять полные доказательства, которые уже опубликованы или находятся в процессе публикации.
Вместе с тем отметим статью (27] Дани и Маргулиса, в которой предлагается элементарное введение в вопросы диофантовых приближений. Этот доклад построен следующим образом. Первый раздел посвящен мотивировкам: в нем описывается история исследований орициклического потока и даются бог)ее точные формулировки те: орем Ратнер. В рэзд. 2 описываются некоторые методы, использованные Дани и Маргулисом для подхода к гипотезе Рагунатана.
В равд. 3 даются некоторые части доказательства Ратнер, которые все время иллюстрируются случаем ЯЬ(2, В.). Наконец, в равд. 4 мы обсуждаем три приложения: значения квадратичных форм в целочисленных точках, явления эргодической жесткости и существования геодезических ламинаций на гиперболических многообразиях. 1. ОРИЦИКЛИЧЕСКИЙ ПОТОК 1.1. Геодезический и орициклический потоки на пространствах отрицательной кривизны явлвются очень богатыми примерами динамических систем.
Параллельно с развитием эргодической теории производилось все более и более глубокое исследование этих потоков. Несмотря на то что они имеют очень разное топологическое и зргодическое поведения, их нельзя изучать один без другого. Сначала напомним определения. Пусть Н вЂ” полуплоскость Пуанкаре (а + 1у Е С ~у > 0), снабженная метрикой кривизны — 1, определенной формулой дгг = (дат+дуг)/уг. Геодезическая в Нг— Этьен Гнс. 82 это кривая 7: В.
-+ Н~, которая является изометрическим погруженнеьг ..Образ геодезической есть полуокружность'(или полупрямая), ортогональная к оси х. Любая геодезическая полностью определяется своим касательным вектором в точке 1 = О, элементом единичного касательного расслоения Т,Нз над Нз. Очевидно, что если т— геодезическая н э Е К, то отображение ч': 1 Е К ь+ ч(1+ в) Е Н танисе является геодезической. Следовательно, однопараметрическэя группа преобразований у ьэ у' определяет поток на пространстве геодезических, т. е. на Т~Нз. Это геодезический лоток наТХ .
,1 рупца собственных изометрий полуплоскости Нэ — это группа РВу,(2, К), действующая на Нэ по формуле ~( л) (х) = —;Ядь. Она действует свободно и транзитивно слева на Т1 Н' и, очевидно, комыутирует с геодезическим потоком. Отсюда следует, что геодези'ческий поток может также рассматриваться как однопараметрическая группа д' правых сдвигов на РЯ,(2, К). Легко убедиться, что этот поток отождествляется со следующей группой сдвигов: д': х Е РБЬ(2,К) 0 ' — 2 Е РБЬ(2, хь). Пусть е Е ТьН и 1: К э Н вЂ” геодезическая, заданная вектором тт Если Т стремится к +со (соответственно к — со), то (неевклидова) окружность с центром у(Т), проходящая через у(О), «схо'цитсяь к положительному (соответственно отрицательному) ори, „кдд, опйеДеленному вектоРом в (см.
Рис 1). В модели ПУанкаРе это окРУжность, касательнаЯ к оси х (с выколотой точкой касания), или прямая, параллельная оси. С внутренней точки зрения это кривые кривизны х1, ' зак же, как геодезические, орициклы позволяют определить некоторый поток. Если е — единичный касательный вектоР к Нз в то,ке х, а 1 — действительное число, то обозначим через в.
Ь~+ единичный вектор, ортогонэльный к положительному орйциклу, заданному вектоРом е, в точке, Расположенной на РасстоЯнии 1 от.х вдоль орицикла (ориентации указаны ца рнс. 1). По той же причине, что я выше, этот поток 'отождествляется с некоторой однопараметрнческой подгруппой Ь~+ правых сдвигов на РБЦ2, К). 83 ДИНАМИКА УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ сьО Рис. 1.
Нетрудно проверить, что речь идет о таких сдвигах: с сс '+ с Ы 0 1 Используя отрицательные орициклы, можно построить также третий поток Ьс, который, очевидно, соответствует правым сдвигам на ( ) с Е'с ц. Два потока Ь+ и Ь сопряжены относительно симметрии, с с отображающей вектор и. расслоения Т, Н в противоположный ему. Поэтому мы ограничимся изучением Ь'„. Отметим, что все эспи потоки сохраняют (биинварианшнусо) меру Хаара на РБЦ2,В). С другой стороны, 'левоинвариантные векторные поля, соответствующие потокам д', Ьс+ н Ь', образуют базис алгебры Ли группы РБЦ2, В.).
Связь между геодезическими и орициклическими потоками заКлючается в следующей формуле, очень важной для дальнейшего: е ее -е ~ Секр(хе) Ее очень легко проверить, используя матричное исчисление. Следовательно, геодезический поток нормализует орициклические потоки. Он сжимает положительные орициклы и растягивает отрицательные. Это наблюдение является истоком теории потоков Аносова [1] (см: рис.
2). Пусть теперь à — дискретная подгруппа конечного кообъема группы РБЬ(2, В). Если действие группы Г на Н~ свободно, мы получаем поверхность Е = Г'1Нс, площадь которой конечна, а ее единичное касательное расслоение отождествляется с Г~РБЦ2„К), В общем случае действие группы Г на Н~ может не быть свободным, но стабилизаторы конечны и факторпространство Е = Г~Н является поверхностью с особенностями, которую лучше рассматривать Этьен Гнс ь «»Р(») ~ Рнс.
2. как «орбиобразие» (в смысле Терстона). Пример Г = РБЬ(2,«) очень важен: мы получаем модулярное орбиобразие, изучение которого является основополагающим в теории чисел. Потоки й~ и д*, конечно, переносятся 'на фактор Г~РЯ (2, В,): получаются орициклические и геодезические потоки на поверхности (соответственно орбиобразии) Г~,Н'. Такие потоки не имеют неподвижных точек. Они сохраняют форму объема с конечной полной массой, которая может называться мерой Хаара или мерой Лиувилля в зависимости от принятой точки зрения. 1.2. Для иллюстрации того, что геодезические и орициклические потоки изучаются параллельно, мы прежде всего рассмотрим не-.
сколько простых и довольно стандартных примеров. Предложение. Если Г~РБ1,(2, В,) компактна, та орициклический поток Ь~ ие имеет периодических орбит. Доказательство. Соотношение («) показывает, что еспи у — периодическая орбита потока Ь~+ с периодом Т, то образ у. д' является другой периодической орбитой с периодом ехр(-е). Т, стремящимся к О, когда е стремится к +ос.
Предложение вытекает из того факта, что поток без неподвижных точек на компактном многообразии не может иметь периодических орбит произвольно малых. периодов. П В случае когда Г~РЯ (2, В) имеет конечный объем, но некомпактно, поверхность Е = Г~Н' (для простоты предполагаемая не- особой) разлагается на компактное подмножество и конечное число каспов (см. рис. 3).
Каждый из этих каспов изометричен фактору множества (х+»у Е С, у > уа > 0) по целочисленным сдвигам 85 ДИНАМИКА УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ Рис. 3. ~ г + и. Кривая у = уа отображается в замкнутый орицикл поверхности Х, т. е. замкнутую орбиту Т потока 5~+. Очевидно, для любого действительного числа з кривая у. д' также является периодической орбитой. При з, стремящемся к +со, такая орбита ч. д' стремится к концу поверхности Е (см.
ряс, 3). Нетрудно убедиться, что таким образом мы получаем все периодические орбиты потока 6'„которые образуют конечное число семейств, параметризованных множеством Н. При з, стремящемся к — оо, оказывается, что орбиты у. д' становятся все более и более плотными в Т«Е. В [19, 77) и (85) есть описание этого явления и интересная переформулнровка гипотезы Римана в терминах замкнутых орициклов. Вот пример, когда орициклический поток дает возможность понять геодезический поток.
Это известная теорема Э. Хопфа (41-42): Теорема. Если à — решепта группы РБЬ(2, В.), то геодезический поток на Г~РЯ (2, Н) является зргодическим по отношению к мере Хаара, т. е. измеримая функция, постоя««ная на орбитах потока, постоянна почти всюду. Доказательство. Это пример применения «феномена Маутнераь (см.
(55)). Пусть Л вЂ” мера Хаара на Г~РЯЦ2,К), нормированная так, что она является вероятностной. Пусть Š— функция с Л-интегрируемым квадратом на Г1РБЬ(2, Н), инвариантная относительно геодезического потока д*. Сейчас мы покажем, что Е также инвариантна (Л-почти всюду) относительно орициклического потока Ь~+. В самом деле, использование формулы (*) и того факта, что д' сохраняет Л, показывает, что г'(и) .Е(и. и" )ВЛ = / г'(и.д') .г'(и.д'Ь+)6Л = =У' ' """""'- У' "' « — «+«««« / Этьен Гис Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
