Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 14
Текст из файла (страница 14)
4. Таким образом, Е(и.Ь' ) = Е(е) для Л-почти всякого и (случай равенства в неравенстве Коши — Шварца). Аналогично рассуждаем с Ь' (устремляя в к — со). Следовательно, Е инвариантна (Л-почти Р всюду) относительно д', 6~+ и ГГ', а значит, относительно правого действия группы РЯ (2, К.), которое транзитивно. Этим показано, что Е постоянна Л-почти всюду. П Обратно, геодезический поток позволит нам доказать следующий результат, принадлежащий Хедлунду (39 — 40]: Теорема. Если à — решетка группы РЯ (2,К), то орициклическиа попик Ьг на Г'АРБЕ(2,К)'эргодичен по отношению к мере Хаара. Доказательство. Мы приведем некоторые детали, так как идея доказательства лежит в основе многих примеров, с которыми мы познакомимся далее.
Стабилизатор точки (1, О) нз Кг при линейном действии группы Я(2,К) имеет вид Н = (Ь'„) = ~~о Г~~. Следовательно, одно- Г/Г ГЛ) родное пространство Я (2, К)/Н отождествляется с Кг — ((0,0)), а левое действие подгруппы Н на Я,(2, В) ГН вЂ” это, очевидно, действие трансвекциями' (см. рис. 4): Ясно, что непрерывная функция на Кг — ((0,0)), инвариантная относительно этих трансвекций, является функцией от у. В частности, такая функция постоянна на оси х и, следовательно, на оРбите точки (1,0) относительно потока.д = ( е р( вГ2)). Гехр(в/2) о ДИНАМИКА УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ 87 Итак, мы получили следующую лемму. Если Ф: ЯЬ(2, В.) — > К вЂ” непрерывная функция, постояйная на двусторонних смежных классах по подгруппе Н, то Ф постоянна на однопараметрической подгруппе д'.
Прежде чем применять этот факт для нашей цели, заметим, что однородное пространство группы РЯЬ(2, В.) также является однородным пространством группы ЯЦ2,В.); поэтому достаточно рассмотреть решетку Г группы ЯЦ2,К) (расширяя ее, если нужно, при помощи Е/2Е). Итак, предположим, что à — функция с Л-интегрируемым квадратом на Г'1ЯЦ2,К), инвариантная относительно потока Ь~+. Функция Ф, определенная на 81(2, К) формулой Ф(д) = Г(е) . Г(е. д)с1Л, непрерывна и удовлетворяет равелствам Ф(д) = Ф(Ь~„д) и Ф(д) = Ф(дй'„), так как Г инвариантна относительно Й~+ и 6'ь сохраняет Л. Применяя предыдущее замечание, получаем Г~(и)йЛ = ~Г(е).Г(е.д')оЛ.
Следовательно, Г также инвариантна (Л-почти всюду) относительно геодезического потока д'. Как мы знаем, из этого следует, что Г постоянна Л-почти всюду. 0 За дальнейшей информацией о геодезическом потоке мы отсылаем к докладу Пансю на этом семинаре (62]. Отметим, однако, что эта динамика очень сложна.
Например: (1) объединение периодических орбит является плотным подмножеством (1, 6]. (й) некоторые орбиты нерекурсивны: орбита может накручиваться, например, на периодическую орбиту (рис. 5) или на более сложное предельное множество. (й1) существуют инвариантные замкнутые множества, не содержащие никакой периодической орбиты (56]. (1у) существует несчетное множество инвариантных и эргодических вероятностных мер [81]. Этьен Гас 88 Рис. 5. Для орициклических потоков ситуация совсем другая и в некотором смысле значительно более простая. Следующая теорема принадлежит Хедлунду [38); она будет доказана в разд. 3. Теорема. Пусгпь Г'1РЯЬ(2,Н) имеет конечный обеем; тогда любая орбита орициклического потока Ь~„является периодической или плотной.
Естественно попытаться описать асимптотическое распределение орбит в Г'1РЯЦ2, Н). Пусть ф' — поток на многообразии )г, сохраняющий вероятностную меру р. Точка и из Ъ' равномерно рас-. пределена ио отношению к р, если для любой непрерывной функции Р: У -~ В с компактным носителем 1 гт 1!ш — / Р(и.'и" )д1 = / Рйр. о дг Эргодическая теорема Бнркгофа гарантирует, что если р — эргодическая мера, то р-почти любая точка и равномерно распределена по отношению к р.
Следующая теорема принадлежит Дани и Смилли [28); ей предшествовало множество работ (в частности [7, 8, 32, 35, 37, 46, 84)). Набросок доказательства более общего результата мы приведем в разд. 3. Теорема. Если Г1РЯ1 (2, К) имеет конечный обеем, то любая непериодическая относительно погпока Ь~+ точка является равномерно распределенной по отношению к мере Хаара. 1.3. Конечно, невозможно долго ограничиваться изучением геодезических н орициклических потоков.
Естественно изучать, более общим образом, правое действие подгруппы Н группы Ли С на факторпространстве Г'10, имеющем конечный объем [2, 9]. Для этого динамика унипотвнтных потоков 89 имеется много причин, и некоторые из них мы приведем в разд. 4. Мы отсылаем читателя к статье Дани [19], содержащей прекрасный обзор соответствующих работ. Особо отметим очень полное исследование случая, когда С является нильпотентной, в работах В. Парри [63, 64] (н в более новых работах [44, 45]), а также исследование действия орнсфернческих групп, проделанное Дани [21].
Именно на результатах, полученных этими авторами, основывалась гипотеза Рагунатана о том, что если Н унипотентна, то замыкание орбиты в Г~С совпадает с орбитой некоторой подгруппы Ли группы С, содержащей Н. В частности, из этой гипотезы следует, что замыкания орбит являются подмногообразиями, — ситуация, существенно отличная от случая геодезического потока....
Решительный прогресс в отношении этой гипотезы был лрстигнут Маргулисом и Дани, которые доказали ее для случая С = БЦЗ, В.) [26]. Мы кратко опишем их методы в разд. 2. Фактически Маргулис в [50 — 52] сформулировал более сильное предположение, чем гипотеза Рагунатана, которое было доказано Ратнер [74, 75]. Теорема. Пусть Н вЂ” подгруппа связной группы Ли С, порожденная унияотентными элементами.
Пусть à — решетка группы С. Тогда замыкание любой орбиты подгруппы Н на Г~С совпадает с орбитой некоторой подгруппы Ли группы С, содержащей Н. Подход Ратнер состоит в том, чтобы сначала изучить природу мер, инвариантных относительно Н, и затем, на основании этого,— строение замыканий орбит. Фиксируем по-прежнему решетку Г связной группы Ли С, и пусть х — элемент из Г1С. Рассмотрим замкнутую подгруппу Ь группы С, такую, что х.
Х замкнуто в Г~С. Кроме того, предположим, что орбита х. Е = Ь/хГх ' П Ь имеет конечный объем по отношению к мере Хаара подгруппы А. Поскольку хЬ содержится в Г'1С, мы получаем конечную меру на Г1С. Полученные этим методом меры будут называться однородными мерами на Г~С. Ратнер получила следующий результат [70 — 73]: Теорема. Пусть Н вЂ” подгруппа группы Ли С, порожденная унипотентными элементами. Пусть 'à — решетка группы С.
Любав мера конечной полной массы на Г'1С, инвариантная и эргодическая относительно действия подгруппы Н, является однородной мерой. Для случая, когда Н вЂ” однопараметрическая группа ф', Ратнер получила обобщение теоремы Дани и Смилли. Этьен Гис Теорема. Пусть ф' — унипотентн я однопараметарическая подгруппа соленой группы Пи С, и пустаь à — решетка группы С. Тогда любая точка из Г~С равномерно распределена по отношению к некоторой однородной мере. Закончим этот раздел тремя замечаниями.
1. Результаты Ратнер в действительности являются более общими и покрывают некоторые случаи, когда Г не является решеткой. Мы не даем здесь формулировки, но в п. 3.4 приведем пример. 2. Класс групп, порожденных унипотентными элементами, гораздо шире, чем класс унипотентных подгрупп. Например, любая подгруппа Ли группы БЦп, Н), изоморфная Я (2, В.), порождается унипотентными элементами. Типичным примером группы, не порождаемой унипотентными элементами, является разрешимая подгруппа Н группы СЬ(п, Н), образованная всеми верхнетреугольными матрицами, так как унипотентные элементы из Н вЂ” это строго верхнетреугольные матрицы. 3.
Предположение. «Н порождена унипотентными элементами» почти оптимально. Старков показал, что если Н не порождается такими элементами Ь, что спектр оператора Ай(А) лежит на единичной окружности, то существуют замыкания орбит в Г~С, которые не являются подмногообразиями. Он также показал (используя результаты Ратнер), что, напротив, если Н порождается такими элементами, то все замыкания орбит являются подмногообрззиями (но не обязательно орбитами какой-либо подгруппы Ли Ь) [83). 2. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ 2.1.
В этом разделе мы предлагаем элементарное введение в методы, развитые Маргулисом. Начнем с нескольких общих замечаний, касающихся динамики унипотентных потоков. Фиксируем связную группу Ли С, решетку Г и однопараметрическую унипотентную подгруппу ф'. Для простоты мы временно предположим, что Г~С компактно. Левые сдвиги группы С позволяют отождествить касательные пространства в различных точках группы С с алгеброй Ли й (левоинвариантных полей). Поток ф' действует справа на Г~С, а его дифференциал, вычисленный в 6, задается присоединенным оператором Ад(ф«). Налицо замечательное свойство: дифференциал потока, вычисленный на тривиализации касательного расслоения, не 91 ДИНАМИКА УНИПОТЕНТН~Х ПОТОКОВ зависит от точки, в которой он рассматривается. Можно сравнить это свойство с понятием «автономности», введенным Зегибом [94].
Поскольку ф' унипотентен, Ад(ф') является многочленом от а Если фиксировать на й евклидову структуру [[ [[ и если и Е й — ненулевой вектор, то функция г»+ [[Ад(ф')(»г)[[г есть многочлен, который принимает только строго положительные значения. В частности, 1пу [[Ад(ф')( )[[ ) О, Это свойство инфинитезимальпой дистальносгпи потока ф«. Оно лежит в основе большей части доказательств, касающихся унипотентных потоков, позволяя исключить существование устойчивых многообразий и, следовательно, явлений накручивания.
Общее изучение инфинитезимально дистальных потоков было предпринято в [76], но еще многое остается неясным. Например, вытекает ли из этого свойства, что замыкания орбит являются подмногообразиями? Сформулируем аналогичное неинфинитезимальное свойство. Если х и у — достаточно близкие точки из Г~С, то существует единственный малый элемент н(х, у) алгебры м, такой, что у = х . ехр ъ (х, у).
Очевидно, у . ф' = х . ф' . ф ' . ехр и(х, у) . ф', так что если х и у таковы„что х. ф' и р. ф' остаются близкими для Г Е [О, Т], то »г(х.ф'; у.ф') = Ад(ф«)чг(х р) Итак, имеется свойство полипомиальпой расходиг«ости орбит. Отметим тот факт, что унипотентный поток не обязательно является дистальным, т. е. что расстояние между х. ф' и у. ф' в Г~О может не ограничиваться снизу строго положительным числом [36[. Например, орициклический поток — не дистальный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
