Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 15
Текст из файла (страница 15)
2.2. Плотность орициклов в кокомпактном случае. Мы хотим доказать теорему Хедлунда, касающуюся замыканий орбит. Это доказательство стимулировано работами [50, 52, 54] и напоминает работы [6] и [65]. Пусть С = Я(2,Н). Положим Н = (Ь' ) = ~(о 1)~, и пусть  — подгруппа матриц ~ о «хр( «)), нормализующая Н в груп/«хр(») $ пе О. Пусть à — решетка в с'.
Начнем со следующего классического факта: Предложение. Все орбиты подгруппы В в Г~О плов»пы. Этьен Гис 92 1 Рис. 6. Доказашельсшво. Речь идет о доказательстве того, что все двойные смежные классы Г.х. В плотны в С или, равносильно, что все орбиты решетки Г в С~В плотны. Предположим для простоты, что Г содержит — Ы, так что достаточно доказать плотность орбит решетки Г в РЯ (2, К)/В, т.
е. на границе К 0 (со) полу- плоскости Пуанкаре. (Прн — Ы ф Г доказательство аналогично.) Напротив, пусть существует орбита решетки Г, которая неплотна, и пусть 1 в связная компонента дополнения к замыканию этой орбиты (см. рис. 6). Геодезическая плоскости Нз, соединяющая копны интервала 1, определяет вместе с 1 некоторую полуплоскость П в Нз. Стабилизатор Гп полуплоскости П является циклической подгруппой и, следовательно, факторпространство Гп~П имеет бесконечную площадь. Это противоречит тому, что Е имеет конечнуЮ площадь. П Предположим теперь, что Г кокомпактна, т. е. что Г~С компактно. Подмножество М пространства Г~С называется минимальнеьм множеством, если это замкнутое непустое подмножество, инвариантное относительно Н и минимальное среди подмножеств с этими свойствами. Такое минимальное множество существует в силу леммы Церна и компактности пространства Г~С. Любая орбита точки из М относительно группы Н плотна в М.
Мы покажем, что М = Г~С, т. е. что любая орбита орициклического потока плотна. Используя правое действие группы С на Г~С, положим Ъ' М = (д 6 С ) М.д П М ~ а). Ясно, что 1) М замкнуто и содержит нейтральный элемент Ы; й) М является объединением двойных смежных классов из Г~С(Н, поскольку М инвариантно относительно Н. Пусть х — точка из М. Мы знаем, что орбита точки х относительно Н не является периодической и что она плотна в М. Следовательно, существует последовательность д„элементов из С, сходящаяся к единице и такая, что д„ф Н и х .
д„е М. В частности, ДИНАМИКА УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ ОЗ ш) Ы вЂ” точка прикосновения для М вЂ” Н. Пусть д Е М О В. Ввиду того, что элементы подгруппы В.нормализуют Н, образ М. д есть непустое замкнутое множество, инвариантное относительно Н и имеющее непустое пересечение с М. Следовательно, М. д = М. Таким образом, 1у) М О В вЂ” замкнутая подгруппа, образованная элементами, сохраняющими' М. Мы уже изучали пространство Н1С(Н в п. 1.2.
Проекция М' множества М на С/Н 1ьг — ((0,0)) есть замкнутое множество, накапливающееся к (1,0) и инвариантное относительно трансвекций (о ц. Отсюда непосредственно выводится, что М содержит ,й I последовательность точек вида (ехр(з„), О), где з„~ 0 сходятся к О. Если з — действительное число, то (ехр(з„), 0) принадлежит М' тогда и только тогда, когда ~ о е„( з)) принадлежит М (для /езр(з) С произвольных значений С).
Таким образом, замечание 1у) показывает, что множество таких действительных чисел з является замкнутой аддитивной подгруппой в В., и, согласно предыдущему, она недискретна. Отсюда вытекает, что М содержит В. Используя 1у), получаем, что М инвариантно относительно группы В. Так как мы знаем, что орбиты группы В плотны в Г'1С, то мы показали, что М = Г1С. Этим заканчивается доказательство теоремы Хедлунда в случае, когда Г1С компактно. 2.3. Случай некокомпактных решеток: отсутствие сходимости к бесконечности.
Рассмотрим теперь случай, когда Г1С имеет конечный объем, но не компактно. В предыдущем доказательстве компактность позволяла гарантировать существование минимального множества. Периодическая орбита, разумеется, есть минимальное множество, но в нашем случае, когда Г'1С имеет конечный объем, неясно, любое ли инвариантное непустое замкнутое множество содержит минимальное множество.
Это первое свойство, которое нужно проверить. Предложение. Любое непустпое замкнутое подмножество е Г'1С, инеариантпное относительно орициклического потока, содержит периодическую орбиту. Прежде чем доказывать это предложение, мы должны сформулировать две леммы.
Мы уже видели, что поверхность (орбиообразне) Е = Г1Нг может быть разложена на компактную часть К и конечное число кас- Этьен Гас 94 пов, изометричных фактору множества (х+ ту ь С ~ у > уо > О) по целочисленным Сдвигам г ь+ г + п. Лемма. Пустпь у: К -+ Š— непериодический орицикл поверхностпи Е. Тогда лашжества (г > О1 "Г(Е) к К) и (' ь< О!'у(г) к К) неограничены. Доказательство.
Достаточно констатировать, что полуорицикл плоскости Нз, содеРжащийсЯ в (х + тУ ~ У > Уо), ЯвлЯетсЯ гоРизонтальной полупрямой и, следовательно, порождает периодический орицикл в Е. П Поскольку всякое замкнутое непустое подмножество в Г~С,инвариантное относительно Н и не содержащее периодических орбит, пересекается с компактпом К единичных касательных векторов к Е в точках из К, применима лемма Цорна. Из нее вытекает, что любое инвариантное непустое замкнутое множество содержит минимальное множество. Следующая лемма, (легкое) доказательство которой мы оставляем читателю, показывает, что любое минимальное множество обязательно компактно. (Более общие формулировки см. в [53].) Лемма. Пусть фт — поток на локально компактном пространстве Х.
Предположим, что стуи4ествует компакт К в Х, такой, чтпо длл любого х множесптва (т > 0 (х. фт к К) и (т < 0 (х. фт к К) в В. неограничены. Тогда Х компактно. Теперь мы можем доказать предложение. Мы видели, что любое замкнутое непустое инвариантное множество содержит компактное минимальное множество М. Если бы множество М не сводилось к периодической орбите, то рассужцение из п. 2.2 было бы применимо без изменения и мы' имели бы М = Г~С, что неверно, так как мы предположили, что Г~С некомпактно. П Предложение, которое мы сейчас доказали, очевидно, слабее, чем теорема Хедлунда, согласно которой непериодическая орбита плотна.
Для ее доказательства мы можем теперь применить тот же метод, что и в п. 2.2. Пусть х — непериодическая точка пространства Г~С и Р— замыкание орбиты точки х в Г~С. Мы знаем, что Р' содержит периодическую точку у с периодом Т > О. Положим ДИНАМИКА УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ 95 Тогда М вЂ” замкнутое множество, являющееся объединением правых смежных классов пространства С/Н, которое инвариантно относительно левого действия потока Й+ и содержит последовательность д„из С вЂ” Н, сходящуюся к 1тй Соответствующее замкнутое множество М' в Кг — ((О, 0)) инвариантно относительно (е 1) и накапливается к (1, 0). Мы знаем, что точки у.д, где д Е В, являются периодическими для орициклического потока и, с другой стороны,' непериодическая орбита точки х накапливается к точке у.
Отсюда вытекает, что (1, 0) является пределом последовательности точек множества М', лежащих вне К х (О). Все эти свойства доказывают, что М' содержит К* х (О). Иначе говоря, для любого д из В имеем у. д Е Г. Так как все орбиты подгруппы В плотны в Г'1С, то мы установили, что г' = Г'1С, т. е. что непериодическая орбита точки х плотна в Г'1С. П 2.4. Некоторые указания для общего случая. Ббльшая часть техники, описанной в пп. 2.2.
и 2.3, распространяется на случай уннлотентной подгруппы группы Ли, отличной от БЬ(2, К). Разработка этих идей позволила Дани и Маргулису доказать гипотезу Рагунатана в случае, когда С = БЬ(З,К), Г = ЯЬ(З, Е) и ф' — однопараметрическая унипотентная группа общего положения (т. е. такая, что ф' — 1й имеет ранг 2 для любого 1 ~ 0). Мы не будем вдаваться в детали доказательства, так как в [27] дается превосходное элементарное введение. В доказательстве теоремы Хедлунда, которое мы привели, важно установить, что непериодический орицнкл может только конечное время пребывать в каспе, не выходя из него.
Аналогичная формулировка справедлива в общем случае, но ее доказательство значительно сложнее. Вот два результата в этом направлении. Теорема. Пусть С вЂ” связная полупростал группа Ли и Г. решетка. Пустпь задано е > 0; тогда существует компакт К пространства Г'1С, такой, что для любой точки х из Г'1С и любой однопараметпрической унипотентной подгруппы ф' имеются две возможностит (1) существует собственная замкнутал подгруппа Ь группы С, содержащая ф', тлакая, чтпо орбитпа х.
Ь замкнута и имеет конечную меру (относительно меры Хаара на Ь); (й) если Т достлаточно велико, то ти1 Е [О,Т) ~хф' Е К)) > (1 — е)Т, где т обозначает меру Лебега на К. 96 Этьен Гис 'Георема. Пусть С вЂ” связная группа Ли, à — решетка, ф' — одно- параметрическая унипотентная подгруппа, х — тпочка пространства Г'(С и с > О.
Существуетп компакт К в Г1С, такой, чтпо т((1 6 [О, Т] ] х. ф' Е К)) > (1 — в)Т для достаточно большого Т. Первая версия этих результатов принадлежат Маргулису, который показал, что орбита унипотентного потока в ВЬ(п, Е) (ЯЬ(п, Б.) не стремится к бесконечности [48]. Дани доказал улучшенный вариант этого результата в виде первой Из двух теорем, цитированных выше [13, 14, 16, 18, 22].
Доказательство Дани разделено на случай, когда К-ранг группы С больше или равен 2 (тогда используется теорема арифметичности Маргулиса), и случай, когда этот ранг равен 1 (для которого доказательство другое и более легкое). Формулировка второй из приведенных теорем взята из [74]. Для введения в методы доказательства мы отсылаем к приложению из [27]. Было бы, впрочем, приятно найти общий подход к «несходимости к бесконечности», не опирающийся, например, на трудные теоремы грифметичности. 3. ЭРГОДИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ В этом разделе мы опишем некоторые из методов, используемых Ратнер. 3.1. Дрейф в направлении централизатора. Алгебра Ли в((2, К) группы ВЬ(2, В.) состоит из (2 х 2)-матриц с нулевым следом.
Базис имеет вид 0-1 + 00 — 10 Имеем Ь 1 Ь а — 1Ь (гЬ+ 2а1+ с Ь вЂ” а+(Ь Снабдим в((2, К) нормой гир(]а],]Ь];]с]) и фиксируем С > 0 н г > 0 (очень малое по сравнению с С). Пусть тт = (~Ь ') Е в((2,1ь) 97 ДИНАМИКА УНИПОТЕНТНЫХ ПОТОКОВ ,г.+ С Рис. 7. имеет норму р < С. Тогда Аб(Ь' )(и) стремится к бесконечности, кроме случая, когда а = Ь = О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
