Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 23
Текст из файла (страница 23)
3.8. Замечательно, что можно получить интересные примеры, начиная с плоского гиперкэлерова многообразия М4" = Н" и производя редукцию по линейному действию группы. Вот, например, ближайший аналог конструкции проективного пространства из п. 3.5. Пусть г' есть и-мерное эрмитово векторное пространство, а Ъ" — его двойственное. Тогда Мео 1 <р Р* является плоским гиперкэлеровым многообразием. Пусть О = 5' действует на М по правилу и(х,б) = (их,и б).
Действие сохраняет гиперкэлеровы 2-формы. Комплексное и веще- ственное отображения моментов находятся легко: ,и,(х,~) = Ях), дд(х,с) = 1(/(х/! — /ф! ). ГИПЕРКЗЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ Взяв (' = (г', О, 0) Е й* З Гьз, мы получаем р '(~) = ((х,с) : с(х) = О, ][х[]г — [ф[~ = Ц. Второе условие следующим образом определяет множество стабильных точек: д,'(0)' = ((х,С): с(т) = О,х ф 0). Значит, и, ~(0)'/С' является 'кокасательнььм расслоениам проектив-' ного пространства Р(г) = СР" .
Однако это лишь одна точка на двумерной сфере комплексных структур на этом гиперкэлеровом многообразии. Вследствие симметрий остальные комплексные структуры отождествляются с факторами р, г(а)/С" при а Р. О и являются аффинными расслоениями над СР", ассоциированными с кокасательным расслоением. Заметим, что комплексное кокасательное расслорние естественно наделяется структурой комплексного симплектического многообразия. 'Метрика, возникающая в частном случае и = 2, называется метрикой Егучи — Хансона [ЕП]. Общая комплексная структура совпадает со структурой аффинной квадрнки в Сз. Первые примеры в выса|их размерностях были получены Э. Калаби [Са].
3.9. Довольно широкий класс гиперкэлеровых отображений моментов, с которыми мы будем сталкиваться, основан на следующем примере. Пусть С вЂ” группа Ли с биинвариантной метрикой. Положим М = й ег Н, где й — соответствующая алгебра Ли. Это плоское гиперкэлерово многообразие. Присоединенное действие группы С сохраняет симплектические формы. Гинеркзчеровы отображения моментов определяются формулАми дг(А) = [Ао,Аг]+ [Аг,Аз], дг(А) = [4о Аг]+[Аз,Аг], дг(-4) = [Ао .4з]+ [Аг Аг] где элемент А Е д З Н представлен в виде А = Ае + Аг г + Агг + Агдас.
Заметим, что комплексное отображение моментов задается формуюй и',(А) = [Ао+ гАЫА + гАг]. Полагая а = Аэ + гАг и )3 = Аг + гАг, записываем три отображения моментов как комплексное и вещественное отображения моментов 132 Найджел Хитчин Стоит указать, что, подставляя вместо А; ковариантные производные Чп мы получаем запись системы уравнений антиавтодуальности Янга †Милл в виде одного уравнения и = О.
Мы встретимся с этими уравнениями в послсдующих примерах. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДВОЙНЫЕ ТОЧКИ 4.1. При изучении особенностей поверхностей рациональные двойч ные тлочки характеризуются тривиальностью канонического расслоения их минимального разрешения. Таким образом,минимальные разрешения рациональных двойных точек локально являются двумерными комплексными многообразиями с голоморфной симплектической формой. Основным примером является пространство'. Са/Г, где à — конечная подгруппа в 5У(2). Мы опишем конструк-" цию гиперкэлеровой метрики на минимальном разрешении этой; особенности, принадлежащую Кронхаймеру (К1, К2].
В п. 3.8 мы„: уже встречались'с примером такой метрики — метрикой Егучи —,', Хансона. Последняя была определена на кокасательном расслое.,' нии к СР . Но нулевое сечение кокасательного расслоения имеет1 индекс самопересечения — 2 и, следовательно, может быть стянуто! в особую точку — обычную двойную точку С / х 1. Конструкция, 2 Кронхаймера опирается на использование гиперкэлеровой редукции (как в п, 3.8).
) 4.2. Пусть à — конечная подгруппа в ЯУ(2). Пусть К = 1а(Г) — ко-~ нечномерное гильбертово пространство функций на Г, У(Р') — уни.) тарная группа пространства К и и(К) — ее алгебра Ли. Тогда, как( и в и. 3.9, и(Р) З Н является плоским гиперкэлеровым многообра ',' зием — кватернионным векторным пространством с инвариантным,~ скалярным произведением. Поскольку зУ(2) изоморфна группе единичных кватернионов,~ то группа Г действует слева как на кватернионах, так и на~ Хз(Г) = Ъ', порождая левое действие на и(И) З Н, коммутирующее. с умножением справа на кватернионы.
Поэтому подпространство, инвариантов М вЂ” (и(~l) З Н)г также является плоским гиперкэлеровым многообразием. Проективная группа РУ(У) действует сопряжениями на, п(К) З Н, сохраняя гиперкэлерову структуру; поэтому группв~ С = РП(н')г действует на М таким же образом. Это как раз та1 ситуация, в которой можно применять гиперкэлерову редукцию. ГИПЕРКЭЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 4.3.
Чтобы получить больше информации, разложим представле- ние У в сумму неприводимых, р — Гт~Г) — у~рс 8 рл) Суммирование ведется по всем неприводимым представлениям относительно левого и правого действия, и Ъ~ †тривиальн представление. Отсюда получаеМ Полагая йшУ~ = 41шЪ;~ = пь получаем с)1шС = ~ ~п; — 1. о Из приведенного выше разложения сразу виллы центр группы С и подпространство инвариантов т с й*. Имеем 41ш1 = й 4.4. Структура неприводимых представлений группы Г удобным образом кодируется с помощью соответствия Маккея ~МсК).
Каждой подгруппе (циклической, бинарной диэдральной, тетраэдральной, октаздральной или икосаэдральной) соответствует диаграмма Дынкина типа Ан Рь Ео, Ет или Ео соответственно. Каждая вершина диаграммы соответствует нетривиальному неприводимому представлению группы Г. Напомним, что диаграммы Дынкина классифицируют простые комплексные алгебры Ли. Вершинам диаграммы отвечают простые корни а, соответствующей алгебры Ли. Старший корень выражается через простые корни как Согласно Маккею, целое число и; в точности равно размерности представления, соответствующего 1-й вершине.
Ситуацию можно несколько упростить с помощью расширенной диаграммы Дынкина, включающего в себя старший корень. Соотношение 134 Найджел Хитчии где пе = 1 и !те — старший корень со знаком минус, делает тривиальное представление равноправным по отношению к остальным. 4.5. Для нахождения размерности пространства М из п. 4.2 'необходимо знать, как устроено тензорное произведение тавтологического двумерного представления группы Г С ЯУ(2) и представлений !'!. Здесь снова ответ дается соответствием Маккея: Сг <гг1; Уа 1; .7 где а;, равно единице, если вершины ! и у расширенной диаграммы Дынкина соединены, и нулю в противном случае. Как комплексное векторное пространство М равно (Нош(Ъ; !т)!3! Сг)' и потому Йпгс М = д!ш ®(Нош(Ъ;ь З 1;л, )тр З Ъ;и З Сг))г с! — Йпз ® аб Нош(Ъ";ь, ~~4) 2 аппп. ьз Применяя форму Картана к соотношению из п.
4.4, мы получаем ! — 2~~! па+~~ сн п,п =0; о гз следовательно, йшиМ = 4~ пг 4(йш6+1) о ввиду п. 4.3. Таким образом, если группа С действует свободно, то мы получим гиперкэлерову редукцию размерности йтп М вЂ” 4 йп! С = 4., Заметим, что !1гш1 = 1, а следовательно, у нас есть возможность выбора отображения моментов, которая должна быть использована для получения свободного действия. 135 ГИПЕРКЭЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 4.6. Для того чтобы выявить связь с разрешением особенности С /Г, рассмотрим точку ~ = (~НО, 0) Е з 8 Н~, где 5 С (и(У)")"— подпространство инвариантов.
Поскольку фактически мы находимся в ситуации и. 3.9, то уравнения гиперкэлерова отображения моментов можно записать как уравнения на пару комплексных матриц [а,)3] = О, [а, о*] + [13, Р*] = Гы где а„9 Е Нош(Ъ; И) определяют Г-инвариантный элемент пространства Нош(1г, 1г) З С~. Инвариантность означает следующее. Пусть е Е г' — общий собственный вектор операторов а и б (он существует, так как о и 15 коммутируют) с собственными значениями а, Ь, т.е. (а, 15)е = (а, Ь)е. Тогда (а,(3)ет = (а,Ь)тет где (а,Ь) ~ (а,Ь)т — тавтологическое действие группы Г на С . Группа Г на С 1 (0) = Н '1 (О) действует свободно (умножением на ненулевой кватернион). Поэтому если одна пара собственных значений отлична от нуля, то имеется ]Г] = г)1ш И различных пар собственных значений.
В частности, паре (а,)1) можно сопоставить Г-орбиту пары (а,Ь). Такое сопоставление определяет голоморфное по отношению к комплексной структуре 1 отображение р из гилеркэлеровой редукции в Сз/Г. При подходящем выборе ~г гиперкэлерова редукция является неособой; поэтому, проверив, что 'отображение р биголоморфно вне особой точки в С /Г, мы докажем, что оно является разрешением особенности. Четырехмерные метрики, получающиеся таким образом, являются не только полными гиперкзлеровыми метриками, но и ассимитотпически локально евклидовьояи (АТЕ~, т.е.
при приближении к бесконечности хорошо аппроксимируются евклидовой метрикой на 1С~/Г. 5. КОПРИСОЕДИНЕННЫЕ ОРБИТЫ 5.1. Орбиты коприсоединенного действия группы Ли в двойственном пространстве ее алгебры Ли являются симплектическими многообразиями относительно канонической симплектической структуры Костанта — Кириллова. Если, кроме того, группа С компактна, 136 Найджел Хитчин то орбиты являются кэлеровыми многообразиями. Этот факт можно использовать для получения всех неприводимых представлений группы С в ситуации геометрического квантования (теорема Бореля — Вейля).
Существование симплектической структуры — факт совершенно общий. В частности, копрнсоединенные орбиты комплексной группы Ли С' являются голоморфными симплектическими многообразиями. Во многих случаях, как было показано в работе Кронхаймера [КЗ], эти многообразия обладают естественной гиперкэлеровой метрикой. Первый пример такой метрики — это метрика Егучи — Хансена; аффинная квадрикц в Сг (общая комплексная структура для этой метрики) является орбитой полупростого элемента в д = й* относительно действия группы С = ЯЬ(2,С). Мы воспроизведем общую конструкцию для регулярной полупростой орбиты — орбиты вида С'(Т', где С' — комплексная полупростая группа Ли и Т' — максимальный комплексный тор.
Компактным аналогом этого'многообразия является многообразие флагов С(Т вЂ” тип орбиты, который выделяется в теореме Бореля— Вейля. 5.2. Для того чтобы получить метрику, мы применим гиперкэлерову редукцию к плоскому бесконечномериому гиперкэлерову многообразию. Рассмотрим компактную полупростую группу Ли С и тривиальное главное С-расслоение Р над К4 '1 (О). Рассмотрим пространство связностей в Р. Это бесконечномерное аффинное пространство, группа переносов которого является векторным пространством П'(Ке '1 (О); АР) дифференциальных 1-форм с коэффициентами в расслоении алгебр Ли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
