Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Отождествление К4 с Н индуцирует в пространстве П1(К4 '1 (0); ае( Р) структуру кватернионного пространства. Левое действие группы Яр(1) единичных кватернионов коммутирует с правым действием; поэтому пространство Яр(1)-инвариантных связностей также является кватернионным пространством. На этом пространстве действует группа $р(1)-инварианглних калибровочных преобразований. Для определения гиперкэлеровой метрики необходимо ввести дополнительные граничные условия. Затем можно будет рассмотреть гиперкэлерову редукцию по действию группы калибровочных преобразований. 5.3.
Условие Яр(1)-инвариантности выделяет в Ке '1 (О) радиальную координату и 6 ( — со, 0]. Уравнения отображения моментов 137 ГИПЕРКЭЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ приводятся к системе нелинейных дифференциальных уравнений Н вЂ” +В„В, +[В„В,]=О, Нв — + Во, Во Нв ! — +в,,в, Ав +[В„В,] =О, +[В,,В,] =О 5.4. Вычисление комплексной структуры является отдельной задачей. Для этого необходимо выбрать комплексную структуру в пространстве связностей и переписать уравнения отображения моментов в виде комплексной и вещественной части, как это было сделано в п.
3.9: — +[а,р'] =О, 43 Ав — (а — а*) + [а,а']+ [13,~3*] = О, пв где а = (Во + вВ1)(в) и,9 = (Во + 1Вв)(в). на функции В;(в), принимающие значения в алгебре Ли д. Интересно, что замена Ао —— Н/~Ь+ Во и А, = В; при 1 > О превращает эти уравнения в уравнения п. 3.9. Теперь опишем граничные условия. Пусть тм то, тв лежат в фиксированной картановской подалгебре О с д, которая является их общим централизатором. Тогда набор Во = О, В; = ГО является решением выписанной системы. Пространство операторов Н/Нв + Во, Вм Вв, Вв, близких к указанному выше решению в некоторой С'-норме с экспоненциэльным весом [КЗ], обладает корректно определенным эрмитовым произведением (в приведенной выше четырехмерной интерпретации это просто эрмитово произведение пространства Вв).
Присоединенное действие группы С-значных гладких функций д(в) на четверках операторов Г1/йв+Во, Вм Во, Вв сохраняет гиперкэлерову структуру (в четырехмерной интерпретации это группа Вр(1)-инвариантных калибровочных преобразований). Легко видеть, что в этом случае гиперкэлерова редукция дает конечномерное многообразие. Действительно, калибровочным преобразованием оператор 4/~Ь+Во можно привести к виду Н/дв, после чего останется 'система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно Вм Вв, Вв с действием конечномерной группы ГУ.
Найджел Хитчии 138 Затем следует убедиться, что при выполнении граничных условий отображение (а,Р) ~-+ 13(0) Е д' отождествляет пространство классов эквивалентности решений указанной системы по модулю действия группы С с орбитой элемента тз + 1те Е й' относительно присоединенного действия. Если группа С' полупроста, то эта орбита изоморфва коприсоединенной орбите. Само доказательство основано на теореме Дональдсона [Щ!.
5.5. Заметим, что произвол в выборе отображения моментов на этот раз проявился в граничных условиях. Частично он состоит в выборе элемента тт + етю т. е. в выборе конкретной коприсоединенной орбиты. Дополнительный произвол в выборе П в картановской подалгебре дает нам целое семейство гиперкэлеровых метрик. Следует также заметить, что хотя для явного вычисления метрики необходимо решать нелинейные уравнения п. 5.3, все же эти уравнения являются разновидностью уравнений Нама, общее решение которых описывается в терминах геометрии якобиана алгебраической кривой [НЗ].
Ясно, что это дает значительно больше, чем просто теорема существования. 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ ПОВЕРХНОСТИ 6.1. Если Š— компактная ориентируемая поверхность, то ее фундаментальная группа обладает внутренней симплектической природой [С). В частности, если группа Ли С обладает инвариантным скалярным произведением на своей алгебре Ли й, то многообразие модулей неприводимых представлений группы х1(Е) в группе С является симплектическим многообразием. Многообразие модулей описывается как Нотп (х1(Е),С)/С, где С действует сопряжениями. Касательное пространство к данному представлению отождествляется с группой когомологий Н'(л, (Е); д).
Билинейная форма на й индуцирует кососимметрическое спаривание со значениями в пространстве Нт(х1(Е)), которое порождается фундаментальным классом. Если группа С компактна, то выбор комплексной структуры на поверхности Е превращает многообразие модулей представлений в кэлерово многообразие. Согласно теореме Нарасимхана и Сешарди [НБ), его голоморфная структура совпадает со структурой ГИПЕРКЗЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ пространства стабильных голоморфных расслоений на римановой поверхности Е. В случае комплексной полупростой группы 0' многообразие модулей Ношнт(я1 (Е), С')/С' имеет естественную структуру комплексного симплектнческого многообразия и в действительности обладает гиперкэлеровой метрикой, также определяемой выбором комплексной структуры на поверхности Е.
6.2. Эта метрика возникает в результате бесконечномерной гиперкэлеровой редукции. Рассмотрим аффинное пространство А' всех С'-связностей в главном 0'-расслоении Р с фиксированной редукцией к максимальной компактной группе ГУ над поверхностью Е. Тогда на каждом ассоциированном векторном расслоении возникает метрика. Касательное пространство к А' отождествляется с пространством 1-форм а Е ()1(Е;ай Р Э С), где АР обозначает расслоение, ассоциированное с присоединенным представлением группы С. Если обозначить через Тг(АВ) скалярное произведение на д, то'на пространстве А' имеется комплексная симплектическая форма Зафиксировав комплексную структуру на Е, мы можем разложить форму а = аце + аед в сумму форм различного типа и ввести вещественную симплектическую форму — кэлерову форму метрики Цо/! = Тг(о 'ела ' ') — Тг(а ' Ла ' *) Таким образом, пространство А' превращается в бесконечномерное гиперкэлерово многообразие, а группа й калибровочных преобразований действует на А', сохраняя гиперкэлерову структуру.
6.З. Согласно основополагающему наблюдению Атьи и Ботта (АВ], отображение моментов этого гиперкэлерового действия выражает'- ся через кривизну связности. Если мы запишем его в виде вещественного и комплексного отображений моментов, то получим дс(А) = РА е й~(Е;аГ1 Р 8 С), п„(А) = Р' — Рл Е йт(Е; АР), 140 Найджел Хитчин где Р' и Р" обозначают кривизны единственных С-связностей ту' и ту", таких, что (,т )цо 1уцо (1Уо)ед,-тед А Следовательно, д, ' (0) является пространством плоских связностей в главном С'-расслоенни.
Теорема Дональдсона [Н2] н Корлетта [Со] утверждает, что каждая неприводимая м'-орбита содержит решение уравнения д„= О, единственное по модулю действия группы М; поэтому комплексная структура на гиперкэлеровой редукции отождествляется с комплексной структурой пространства плоских неприводимых связностей по модулю комплексной калибровочной эквивалентности.
Но последнее пространство очевидным образом отождествляется с многообразием модулей представлений Нощь'(хт(Е); С')/С'. 6.5. Построенное 4(д — 1) т1ппС-мерное гиперкэлерово многообразие, где д обозначает род римановой поверхности Е, обладает многими свойствами, характерными для случая простой метрики Егучи — Хансона. Комплексная структура на многообразии модулей представлений — структура аффинного многообразия, точно так же как для метрики Егучи — Хансона общая комплексная структура есть структура аффинной квадрики.
С другой стороны, одна структура из двумерной сферы комплексных структур, порожденной 6.4. Доказательство теоремы Дональдсона и Корлетта основано на иной интерпретации уравнений отображения моментов. Для того чтобы взять гиперкэлерову редукцию, надо зафиксировать метрику на главном расслоении, после чего изучать классы эквивалентности плоских связностей. С другой стороны, мы можем зафиксировать плоскую связность, после чего искать такую метрику, чтобы выполнялось равенство Р' = Р".
Метрика, согласованная с С-структурой, †э сечение ассоциированного плоского С'/С- расслоения, и уравнение, которое нам необходимо решить, равносильно тому, что это сечение гармоническое. Неположительность кривизны С'/С влечет за собой в силу теоремы Илса — Сэмпсона [ЕЯ] существование решения.
Техника, необходимая для строгого построения многообразия модулей и метрики на нем, включает в себя применение соболевских пространств для компактных многообразий и является совершенно стандартной (см. [Нб]). 141 ГИПЕРКЭЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ структурами 1,,7, К, не является аффинной, но содержит в качестве плотного открытого множества кокасательное расслоение к многообразию модулей стабильных С'-расслоений аналогично тому, как кокасательное расслоение к СР является одной из комплексных структур метрики Егучи — Хансона.
Гиперкэлерово многообразие с этой последней комплексной структурой отождествляется с многообразием модулей стабильных расслоений Хиггса (или стабильных пар) на римановой поверхности Е (Н5]. В этом случае компактность поверхности налагает граничные условия на уравнения отображения момейтов, найти явное решение которых не удается. 7. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 7.1. Конструкции гиперкэлеровых многообразий, предложенные в качестве примеров в равд. 4, 5 и 6, основаны на уравнениях в размерностях О, 1 и 2. В Гьэ также имеется система уравнений, которая задает гиперкэлерово многообразие модулей.
Это ураеиенил Богомольного для магнитных монополей. Рассмотрим тривиальное главное С-расслоение Р над Гьэ, где С вЂ” компактная группа Ли. Пусть А — пространство связностей в Р. Положим М = А х й~(Н~; аг) Р). Точка пространства М вЂ э пара (А, ф), где А †связнос, а ф— сечение присоединенного расслоении, т.е. поле Хиггса. Касательное пространство отождествляется с множеством пар ' (а ф) Е й'(1ь~. АР) х й~(1ь~ АР) обладающим очевидной гиперкэлеровой структурой — касательный вектор можно записать в виде Ф+ О14+ О27 + озя. На пространстве М действует группа и калибровочных преобразований. Если наложить граничные условия (условия близости с модельной конфигурацией, как в разд.
5) на (А, ф) и на Д, то эрмитово про- ~ изведение пространства Бэ определяет гиперкэлерову метрику на М, инвариантную относительно действия группы й. Теперь можно . применять гиперкэлерову редукцию. 142 Найджел Хитчин 7.2. Обозначим через т72 ковариантную производную относительно связности А в 2'-м направлении. Тогда уравнения отображения моментов примут вид (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
