Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Последний вопрос, которого мы коснемся, относится к компактным гиперкэлеровым многообразиям, таким, как КЗ-поверхности, в случае которых пока можно лишь сослаться на теорему существования. Возможно ли их получить гиперкэлеровой редукцией? Например, как гиперкэлерову редукцию конечномерного векторного пространства? Ответ на этот вопрос отрицательный.
Существуют компактные кэлеровы многообразии, являющиеся кэлеровой симплектической редукцией, например проективное пространство (см. п. 3.5), однако специфические свойства кривизны гиперкэлерова многообразия являются препятствием к существованию компактной гиперкэлеровой редукции. Мы покажем это в простейшем, четырехмерном случае. Предположим, что компактное гиперкэлерово многообразие М4 является гиперкэлеровой редукцией линейного гиперкэлерова действия группы С в пространстве Н".
Пусть д — гиперкэлерово отображение моментов. Тогда д ' (~) является главным С-расслоением Р на М. Плоская метрика на Н" индуцирует С-инвариантную метрику на Р, причем ортогональные дополнения к направлениям орбит определяют связность на Р. Для каждой комплексной структуры на Н" (и, следовательно, на М) ассоциированное главное С'- расслоение изоморфно д, '(а), т. е. голоморфно. Это означает, что связность согласована со всеми тремя комплексными структурами 1,,? и К, а значит (см.
[АНБ[), является решением уравнения антиавтодуальности Янга — Миллса на М. Согласно конструкции Атьи— Уорда, такому решению соответствует голоморфное главное рассло- 147 ГИПЕРКЗЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ ение на твисторном пространстве л многообразия М, которое, как и следовало ожидать, совпадает с гг '(~). Рассмотрим вложение пространства р '(~) в твисторное пространство Сэо(1), соответствующее вложению Р = гг '(~) С Н". Это вложение задает эквнвариантное сечение расслоения Сво(1) на главном С'-расслоении над Я, которое [Н2] посредством преобразования Пенроуза интерпретируется как решение гд некоторого дифференциального уравнения на М вЂ” гпеисторного уравнения, паренного с алтиавтодуэльной связностью Янга — Миллса. К такому объекту можно применить формулу Вайтценбека, из которой на компакпгном многообразии следует справедливость некоторой теоремы об обращении в нуль.
В нашем случае, поскольку тензор Риччи, а следовательно, и скалярная кривизна гиперкэлерова многообразия равны нулю, эта теорема об обращении в нуль (Н2] означает, что сечение г9 плоское. Это, в свою очередь, означает, что отображение Р С Н" постоянно в горизонтальном направлении, что противоречит его инъективности. 9.4. Остается надежда на бесконечномерную редукцию. Так, например, многообразия модулей инстантонов наделяются гиперкэлеровой структурой с помощью интерпретации уравнений Янга— Миллса как уравнений отображения моментов, но эти многообразия либо некомпактны, либо имеют особенности, соответствующие приводимьпи связностям.
Однако возможно, что, допуская связности с особенностями, мы получим более регулярные многообразия модулей. Таким образом, остается вероятность того, что удастся добавить КЗ-поверхности к списку гиперкэлеровых редукций~1. Это ие означает, что нам удастся в явном виде отыскать на них метрику (работа (АН] показывает, что явный вид дается большим трудом), но мы получим более глубокое понимание универсальности геометрии, связанной с кватернионами. ЛИТЕРАТУРА [АНБ] Абуай М.рч Нйсп1п Х.З., Б1пйег 1.М. Бе1ййпа11ьу гп Гопг41шепя1опа! Влешапшап 8еоше1гу, Ргос. Воу.
Бос, Ьопй., АЗ62 (1978), 425-461. г1 Согласно теореме Мукая, каждую КЗ-поверхность можно представить как многообрюие модулей антиинстантонов на ней самой. При этом метрика Вейля †Петерсо является гиперкэлеровой и получается гнперкэлеровой редукцией нэ пространства свяэностей. — Прим. персе. 148 [АВ] [АН) [Веа] [Ве] [Во) [Ви) [ВчВ] [Са] [Со] [В1] [В2) [ОЗ] [ЕН] [ЕБ] [СЦ [Сг] [Н] [Н1] [Н2] [НЗ] [Н4) Найджел Хитчин АС1уаЬ М.
Р., Во!С Н. ТЬе Уап8 — М111в ет!аайопз очег ЕНешапп!ап вот!всея, РЫ!. Тгапз. Ноу. Бос. 1,опд., А308 (1982), 523 — 615. АйуаЬ М. Р., НйсЫп ЬЕ. Л. ТЬе Сеошетгу апд Вупашкв оЕ Ма8- пейс Мопоро!ев, Рг!псе!оп ЬЕп!четв!Су Ргезз, Рппсевоп, 1988. Веаичй!е А. Чапе!ее КаЫепеппев долг !а 1еге с!вязе де СЬегп евг пийе, Л. 11!ЕЬ Сеотпеггу, 18 (1983), 755 — 782. Вевзе А. Ешвге!п Мапйо!дз, Зрпп8ег-Чег!а8, Вег!ш, 1987. ВосЬпег Б. Ситчагше ш Негшпйап шегпс, Ви!!.
Ашег. МаСЬ, Бос., 53 (1947), 179-195. Вития Э. 8оше ехаптр!ея оЕ сЬе сача!от сопяспкйоп, ш: СопспЪи- сюпв со яечега! сотпр!ех чагтаЫев: ш Ьопог оЕ 'тЧ!1Ье!тп Бсо!! (едз. А. Нотчагд апд Р.-М. 1Чоп8), Ч!етче8, ВгаипясЬтче!8, 1986. Вгаапт Р.Л., чап Ваа! Р. ЬЕаЬш'в сгапвЕогшасюп Еог тпвсапсопя, Сопип. МаСЬ. РЬуз., 122 (1989), 267 — 280. Са!аЬт Е. Метт!гсиев ЬаЫбт!еппея ег йЬгев Ьо!отпогрЬез, Апп.
Ес. Ыогш. Бир., 12 (1979), 269-294. Сот!еССе К. Р1аС С-Ьипд!ев чдСЬ сапопка! тпеСпсв, Л. ЕЛ!ЕЕ. Сеоше- Сгу, 28 (1988), 351-382. Вопа1двоп Б. К. ЬЕаЬш'в ециайопз зпд сЬе с1аяятйсасюп оЕ пюпоро!ев, Сошш. МасЬ. РЬуя., 96 (1984), 387 — 407. Вопа1двоп В. К. Ттч!вгед Ьагшопк шаря апд СЬе яе!Е-диа)!Су ег!иа- С!опв, Ргвс. Ьопд. МаСЬ.
Яос., 55 (1987), 127-131. Вопа1двоп Б.К. Воипдагу ча1ие ргоЫешв Еог Уап8-М01в йе1дв, Ргерппг (ОхЕотд), 1991. ЕЗисЬт Т., Наавоп А. Л. Авушргосдса11у йаг ве1Е-диа! во1игюпя Со Еис!Ыеап Згачйу, РЬув. Ьегг., 74В (1978), 249 — 251, Ее!!в Л., Башрвоп Л.Н. Наппошс шарр!п8з оЕ Рдетпапптап шап1- Ео!дв, Аптег. Л. МасЬ., 86 (1964), 109-160. СайсЫ К., Ьатчвоп Н.
В. Яиавегп!оп!с гедиссюп апд циавегп!оп!с огЫЕо!дз, МаСЬ. Апп., 282 (1988), 1-21. Со!дшап тЧ. М. ТЬе зушр!ест!с па!иге оЕ Еипдашепва! Згоирв оЕ зигЕасея, Адч. тп МаСЬ., 54 (1984), 200 — 225. Сгау А. А поСе оп шапйо1дя счЬояе Ьо!опопту 8гоир !в а яиЬ8гоир оЕ Бр(п) Бр(1), М!сЫ8ап МасЬ. Л., 16 (1969), 125-128. Напа1гоп ЕС. Б. Нагшоптс Марв оЕ Мапйо1дв тчВЬ Воипдагу, 1.ест. ЬЕогев ш МаСЬ., чо!.
471, Брт!п8ег-Чег!а8, Вег!ш, 1975. Напийоп СЧ. Н. Ьегзег Со Р. С. ТЫС, ОстоЬег 15СЬ, 1958. НйсЬтп ЬЕ. Л. Ро!убопв апд 8гачйопв, МаСЬ. Ргос. СашЬ. РЬт1. Бос., 85 (1979), 465 — 476. НйсЫп 71. Л. 1Лпеаг йе!д ег!иасюпв оп ве!Е-диа1 зрасев, Ргос. Ноу. Бос. Ьопд., А370 (1980), 173 — 191. НйсЫп Х. Л. Оп сЬе сопвсгисйоп оЕ тпопоро!ев, Сошш. МасЬ. РЬуя., 89 (1983), 145 — 190. НйсЬтп ЕЕ.Л. Ттч!всат сопвсгиссюп оЕ Етпвве1п шеспся, 1п: С1оЬа! Вдешапп!ап Зеогпевгу (едз. Т.
Л, 'гЧВ!шоте апд тЕ. Л. Н!СсЫп), Е11!я Нопчоод, СЫсЬевсег, 1984. 149 ГИПЕРКЭЛЕРОВБ! МНОГООБРАЗИЯ Н!сс1йп Ы.3. ТЬе ве1бйпа!Ву ес1пас!опв оп а Рйегпапп!зл впг(асе, Ргос. Ьопд. МаСЬ. Яос., 55 (1987), 59 — 126. НЕс(йп 5!.3., Ках1Ьеде А., Ь!пдвггбпг Ь., НосеЬ М. НурегЬаЫег [Н5] [НКЬН] [К!] [К1] [К2] [КЗ] [Ма] [МсК] [!!Б] [РБ] [Б] гч!Оеь Н1ТСН1Х Ма!Ь. 1пз!!!и!е 24-29 БЬ С!!ев СВ-ОХРОВХ) ОХ1 ЗЬВ (Еп81апд) Е-гпа!1: М!сМп©ша!Ьз.ох.ас.п)с шегг!ся апд зпрегяушше!гу, Сопли. Ма!5.
РЬув., 108 (1987), 535- 559. Зоусе П. ТЬе Ьурегсошр!ех Япобепс апй сЬе Япасегп!оп!с сгпобепс, Ма!5. Апп., 290 (1991), 323 — 340. К!пчап Р. СоЬошо!обу о1 с)пог!епсв !и Яупгр1есбс апд А18еЪгак Сеошесгу, Рг!псе!оп Пп!ч. Ргевз, Рппсегоп, 1985. КгопЬенпег Р.В. 1пвсапяопв бгачЕайопеПев е! в!пбп!аг!сев де К!еш, С.Н. Асад. ЯсЬ Рапв Бег.
1 МаСЬ., 303 (1986), 53 — 55. КгопЬе!шег Р. В. ТЬе сопя!гас!!оп о( А1,Е врасев ав ЬурегЬаЫег с!поИепсв, 3. ЬГН. Сеошесгу, 29 (1989), 665 — 683. КгопЬе!шег Р. В. А Ьурег1саМепап в!гас!псе оп спад)о!пг огЬЕв о( а яеппвнпр1е 1.!е Згопр, 3. Ьопй. Ма!5. Бос., 42 (1990), 193-208. Масюсга А. Мест!св оп сЬе шойп!г ярасея о( !пз!апсопв очег Еп- с!Ыеап 4-врасе, Сошш. Ма!5. РЬуя., 135 (1991), 467 — 482. МсКау 3. СгарЬв, в!пбп!аг!г!ез апй бпНе бгопрв, !и: Ргос. Бушров. Риге МаФЬ., Ъо!.
37, Ашег. МаФЬ. Яос., РгочЫепсе, 1980, 183 — 186. 5!аЬа]!ша Н. Мопоро!ев апй ЫаЬш'я ес1пас!опя, Ргерг!пс (То1суо), 1991. Ь!агав!шЬап М. Б., БевЬадп' С. Б. БсаМе апс1 ппЕаху чегхог Ьппй!ев оп а сошрас! Вйешапп впг(асе, Апп. о( МаФЬ., 82 (1965), 540-567. Репгове Е. 5!оп!!пеах бгачИопв апд спгчед счг!ясог сЬеогу, Сеп. Не!аИч. Сгач., 7 (1976), 31 — 52. [Имеется перевод в сбл Твисторы и калибровочные ноля. — Мх Мир, 1983.] Ргезв!еу А., Беда! С.В.
1.оор Сгопрв, Ох(огй Ппсчегысу Ргезз, Ох(огд, 1986. [Имеется перевод: Пресли А., Сигал Г., Группы петель. — Мс Мир, 1990]. Ба!ашоп Б. ПЬТегепгга! беошесгу о( с1пагегпюп!с шап!Ео!дв, Апп. ЯсЬ Ес. 1с!огш. Бпр. Рапв, 19 (1986), 31-55. Уап Б. Тс,Оп Са!аЬРя соп)есспге апй зоше песе геяпйв ш а18ебгак беошесгу, Ргос.
5!ас!. Асай. ЯсЬ ПБА, 74 (1977), 1798 — 1799. НАКРЫТИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ Жан-Пьер Серр' > 1. ВВЕДЕНИЕ 1.1. Постановка задачи. Пусть к — алгебраически замкнутое поле. Обозначим через С алгебраическую кривую над (с. Предположим, что она неприводимая и гладкая. Тогда С=С вЂ” Я, где С является гладкой проективной кривой, а 5 — конечное подмножество в С(а). Каковы (неразветвленные) накрытия Галуа кривой С? Этот вопрос можно уточнить двумя способами: (а) Пусть дана конечная группа С.
При каком условии существует связное накрытие Галуа С' -+ С с группой Галуа С? (Ь) Пусть яп = гг",8(С, х) — (алгебраическая) фундаментальная группа кривой С относительно базовой точки х. Эта группа проконечна. Требуется определить ее структуру. Замечания. 1) Заметим, что вопрос (Ь) — более конкретный, чем вопрос (а): конечная группа 0 удовлетворяет условию п.
(а) тогда и только тогда, когда она изоморфна факторгруппе группы ксг. 2) При замене основного поля )с его алгебраически замкнутым расширением Й' группа кгг не изменяется, если характеристика равна О. Это не так, если характеристика р больше О: в атом случае существуют непостоянные семейства накрытий. В любом случае, однако, рассуждение со специализацией показывает, что конечные факторгруппы группы дсг над к и над кг одинаковы. Вопрос (а) тем самым «не зависит» от выбора основного поля (разумеется, если предполагается, что оно алгебраически замкнуто).
1.2. Комплексный случай. Еспгг й = С, то теорема существования Римана утверждает, что каждое конечнолистное (в топологическом смысле) накрытие поверхности С(С) обладает ровно одной алгебраической структурой, совместимой с проекцией на С(С) ') зегге зеап-Р)егге. Негегегпепм аа сопгьеа а)кеьпаоее. — Беге)па)ге Вопгьайб 1991 — 92, п«749, Аесепеепе, 206 (1992), р. 187 — 182.
НАКРЫТИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ 151 (см., например,[5, сЬ. Ч1]). Это позволяет ответить иа сформулироваииые выше вопросы (а) и (Ь). Ответ иа вопрос (Ь) следующий: пусть д — род кривой С и з = ]5]. Тогда группа ло есть проконечное пополнение (т.е. пополнение в топологии подгрупп конечного индекса) группы, задавиой 2д + з образующими ан Ь; (1 = 1,..., д) и с, (у = 1,..., з), связанными соотиошеиием а1Ь1а,-1Ь;1 ...азЬза,-1Ь;1с1 ...с, =1. Если о ф И (т.е. если С аффиииа), эта группа является свободиой группой ранга 2д + з — 1. В этом случае ответ иа вопрос (а) п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
