Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ппи естественной проекции 50(3) -+ 5~ форма ы, опускается до подкрученной на касательное расслоение 0(2) к 5э = СР' голоморфной формы на 2. наконец, каждая точка т е м определяет сечение (т) х 5~ проекции р: г" = М х 5~ -+ СР', являющееся одновременно голоморфным н вещественным (т.е. о-инвариантным).
Нормальное 12б Найджел Хитчии расслоение этого сечения изоморфно расслоению Сг" э 0(Ц. Мы получаем, таким обраэом, основную теорему (НК1,Н]. Теорема 1. Если У вЂ” твисторное пространство гиперкзлерова многообразия М4", то (Ц У являетася голоморфным расслоением р: Я -+ СРт над проективной прямой; (2) морфизм р обладает семейством сечений, нормальное расслоение к каждому из которых изоморфно Сг" ® 0(Ц; (3) расслоение Л т~ «о 0(2) обладает голоморфным сечением «з, индуцирующим симплектическую форму на каждом слое; (4) Я обладает вещественной структурой и, согласованной с (Ц-(3) и индуцирующей антиподальное отображение на СР',. Обратно, пространство параметров семейства вещественных сечений любого комплексного многообразия Яг "+1, удовлетворяющего условиям (Ц вЂ” (4), являетпся 4п-мерт«ым многообразием с гиперкзлеровой метрикой, для которого У служит твисторным проспцюнством.
(Здесь 0(й) обозначает обратный образ относительно морфизма р соответствующего линейного расслоения на СР', а т„' — кокасательное расслоение вдоль слоев этого морфизма. Если Š— векторное расслоение,то через ЕЯ обозначается тензорное произведение Е З 0(к).) Ключевым моментом в доказательстве обратного утверждения является тот факт, что касательное пространство к пространству сечений отождествляется с и'(сР',т,) в и'(сР',тр(-Ц) з и'(сР',0(Ц). Кососимметрическая форма ю индуцирует симплектическую форму на первом сомножителе, которая вместе с канонической косо- симметрической формой на втором сомножителе задает симметрическую форму на тензорном произведении, т.
ц. метрику. 2.3. Таким образом, гиперкэлерова метрика «закодирована» в геометрии твисторного пространства Пенроуза. Дифференциальные уравнения, описывающие метрику, проявляются в нелинейности геометрической конструкции пространства Я. Кроме того, Я может рассматриваться как самостоятельный объект голоморфной симплектической геометрии. Можно рассматривать проекцию р и 127 ГИПЕРКЗЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ форму ы как задание симплектического многообразия, определенного над полем функций от одной переменной. Тогда сечения становятся рациональными точками этого многообразия. В отдельных примерах такой «диофантовь аспект становится естественным, и нахозкление сечений сводится к решению алгебраических уравнений с полиномиальными коэффициентами (Н1, Н4). 2.4. Пример. Пусть 3 — тотальное пространство двумерного векторного расслоения Е = Сг(1) над СР'.
Тогда 3 является твисторным пространством для плоской гиперкэлеровой структуры на В.«. Рассмотрим теперь не обращающееся в нуль сечение з расслоения Е. Оно порождает тривиальное линейное подрасслоение, а факторраслоение изоморфно 0(2). Сдвиги на кратное сечению з превращают Е в главное С-расслоение над тотальным пространством Т расслоения О(2). Для каждого Л Е Н мы определяем линейное расслоение Ьх на Т формулой 'Ьл=ЕХОС, где и Е С действует по правилу ю ~-~ е~"«и.
Обозначим через г тавтологическое сечение обратного образа расслоения О(2) в его тотальном пространстве Т. Тогда Я = ((х, у) Е 1 "(1) 9 Х (1): ху = г) определяет твисторное пространство для полной гиперкэлеровой метрики на 1ь~ — метрики ТаиЬ-1«(1Т. Явное вычисление метрики, исходя из твисторной конструкции, содержится в (Ве). 3, ГИПЕРКЭЛЕРОВА РЕДУКЦИЯ 3.1. Отправной точкой тцисторной конструкции для гиперкэлеровых метрик является тройка комплексных структур 1, 1 и К. На самом деле естественнее было бы рассматривать эти структуры на многообразии и без существования согласованной с ними метрики. Это более общая теория гиперкомплексных многообразий. Соответствующая твисторная теория отличается от изложенной выше отсутствием п. (3) в теореме 1.
Гиперкэлерова редукция, напротив, исходит не из комплексных структур, а из соответствующих кэлеровых форм ач, ыг и ьзз. Сворачивая эти формы с обратными формами, мы можем восстановить как автоморфизмы 1, 1 и К, так и саму метрику. Другими словами, стабилизатор форм ым ыг, ыз равен ор(п), в то время как стабилизатор автоморфизмов 1, .1, К равен СЬ(п, Н). 123 Найджел Хятчин Имеется очень простое описание гиперкэлеровых многообразий в терминах этих форм [НК1 В]: Теорема 2. Пусть М4" — многообразие с тройкой 2-форм юы ыю юз, таких, что их стабилизатор в группе СЬ(4п, Н) в каждой точке т й М сопряжен с Яр(п). Тогда зти формы определяют гиперкзлерову структуру в том и только в том случае, когда они замкнуты.
Эта теорема, являющаяся прямым следствием теоремы Ньюлеидера — Ниреиберга, прочно закрепляет теорию гиперкэлеровых миогообразий в царстве симплектической геометрии. 3.2.' Конструкция гиперкэлеровой редукции повторяет коиструкцию редукции Марсдеиа — Вайнштейна в симплектической геометрии. Если'(М,ы) — симплектическое миогообрззие,с симплектическим действием группы Ли С, то при слабых ограничениях можно определить эквивариаитиое отображение моментов р: М вЂ” > й', принимающее значения в двойственном пространстве алгебры Ли группы С, для которого выполнено следующее условие.
Для любого с б д имеем др(с) = г(Хе)ю, где Хе — векторное поле иа М, порожденное действием группы С. Отображение р определено с точностью до аддитивиой константы ~ б 3 С д', где э — подпростраиство С-иивариаитиых элементов в д". Симплектическая редукция заключается в следующем. Выберем регулярное для д значение ~ Е ь Тогда ограничение формы ю иа подмиогообразие р '(~) инвариантно и вырождеио в иапраллеиии С-орбит, а следовательно, опускается до формы ю иа фактор- многообразии р ~(~)/С.
Можно доказать, что форма м симплектическая. 3.3. Пусть М вЂ” гиперкэлерово многообразие с действием группы Ли С, сохраняющим три кэлеровы формы ю1е юг и юз. Мы полу-' чаем три отображения моментов ры рг и рз или, что то же самое, векториозиачное отображение моментов Р: М -+ 0' Э К Имеем следующую теорему [НК1,Щ: Теорема 3. Если ~ и з З Нз — регулярное значение отображения моментов р, то р '(~)/С вЂ” гиперкзлерово многообразие. ГИПЕРКЗЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 129 Доказательство основано на теореме 2.
Каждая из форм ыо как и в симплектическом случае, опускается до формы ьэь Остаатся проверить, что формы ьл, ьэг и Фг все еще удовлетворяют алгебраическим кватернионным соотношениям. Заметим, что айша ~(ь)/С = с1ппМ вЂ” 44ппб, 3.4. Симплектнческая редукция играет важную роль в кэлерооой геометрии, поскольку если .М вЂ” кэлерово многообразие и группа С сохраняет не только симплектическую форму, но и комплексную структуру, то результат симплектической редукции — тоже кэлерово многообразие (К1, НКЬЩ. Возникающая на нем комплексная структура отождествляет его с комплексным фактором М'/С' некоторого открытого подмножества М' стабильных точек в М относительно действия комплексной группы С', голоморфно продолжающего действие группы О. Точка является стабильной, если ее С'-орбита пересекает д '(~).
Эта симплектическая точка зрения очень хорошо работает для проективных многообразий и эффективно соотносится с геометрической теорией инвариантов (К1]. 3.5. Пример. Вот простейший пример кэлеровой симплектической редукции. Пусть М = С" со стандартной эрмитовой структурой и действием окружности 0 = У скалярными умножениями. Отображение моментов р: С" -+ эК определяется формулой д(г) = 1((г(( и р '(1) = 5г" '. Снмплектическая редукция равна ~го — 1!~1 СРо-1 Со ~ (О)(С» так что М' = С" 1 (0) и СР" наследует естественную кэлерову метрику — метрику Фубини — Штуди.
3.6. В гиперкэлеровой ситуации формы ьь, оэг и ыг задают автоморфизмы 1, 1 и К; поэтому действие группы О, сохраняющее эти симплектические формы, автоматически сохраняет комплексные структуры. Зафиксируем одну из комплексных структур 1. Тогда Функция,и, = рг + йиг голоморфна. На самом деле р, является отображением моментов действия комплексной группы С' по отношению к голоморфной симплектической форме ы,.
Таким образом, р '(~) = р, (а) П а, '(а) для некоторых а Е э и а Е э З С. 13О Найджел Хитчив С этой точки зрения гиперкэлерова редукция совпадает с симплектнческой редукцией кэлерова многообразия ре '(о). Следовательно,индуцнрованная комплексная структура 1 на гиперкэлеровой редукции совпадает с комплексной структурой фактормногообразия,и, '(а)/О' (фактор берется с учетом стабильности). Таким образом, гиперкэлерова редукция является голоморфным аналогом симплектической редукции. 3.7. Позволим теперь комплексной структуре 1 меняться (иначе говоря, будем рассматривать различные слои твисторного пространства р: Я -а СР ).
Твнсторное пространство гиперкэлеровой редукции по существу совпадает с послойной симплектической редукцией пространства Я по голоморфному действию группы С'. Для каждой из комплексных структур соответствующее комплексное отображение моментов д, является ограничением голоморфного сечения д расслоения (д')' ® О(2) (подкрутка появляется из-за скрученности формы ы из теоремы 1). Таким образом, твисторное пространство гиперкэлеровой редукции равно д '(~)'/С', где ~ Е й*®Вз С (й ). ® Но(СР .О(2)) С Но(Х. (д')' ~ВО(2)) На языке п. 2.3 это означает, что твисторное пространство гиперкэлеровой редукции является симплектнческой редукцией твисторного пространства над полем рациональных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
