Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 29
Текст из файла (страница 29)
п. 1.1) из него получаем накрытие над тс, обладающее требуемыми свойствами. Следствие 3.5.4. Если С вЂ” группа Галуа связного пакриптия прямой,0, тпо зтпо покрытие можно вибратпь. так, чтобы группы инерции в бесконечности били силовскими р-подгруттпами группы С. Пусть 1 — группа инерции в бесконечности.
Применяя лемму Абъянкара (т.е. замену переменных Х»+ Х" с соответствующим и), можно предположить, что 1 является р-группой. Пусть Р— силовскэя р-подгруппа группы С, содержащая 1. Применим теорему 3 5 3 с Ст = С, Сг = Р, »11 = 1, «Зг — — Р, Я = Р (этЬ законно, поскольку известно, что каждая конечная р-группа является факторгруппой группы квц см., например,[19]). Из этого результата следует, что теорема 3.5.2 является частным случаем теоремы 3.5.3. Дополнения. Из теоремы 3.5.3 Рено вывел следующий результат: 162 Жан-Пьер Серр Пусть С в конечная квази-р-группа и Р— ее силовсквя р-подгруппа. Тогда существует подгруппа Н группы С, содержащая подгруппу Р, являющаяся факторгруппой группы к!э и максимальная среди всех подгрупп, обладающих этими свойствами.
В частности, Н сохраняется любым автоморфизмом группы О, сохраняющим Р. Кроме того, всякая подгруппа группы С, являющаяся факторгрупой группы хп, сопряжена с некоторой подгруппой группы Н. Наконец, Рено показал [17, 1Ь. 1.5], что если Р ~ С, то Н ф, Р (это зачастую позволяет доказать, что Н = С, т. е., иными словами, что гипотеза Абьянкара выполнена для С). Приложение. Покажем, например, как можно вывести из теоремы 3.5.3, что знакопеременная группа А„, п > 5, является при р = 2 фактпоргруппой группы'ягг. Пусть Р— силовскел 2-подгруппа группы А4.
Покажем индукцией по и > 5, что существует связное накрытие Галуа прямой Ю с группой Галуа А„, группы инерции которого в бесконечности сопряжены Р. Это верно для и = 5, поскольку Ае — — Ях з(Ех) (применяем теорему 3.2.1 и следствие 3.5А или, что проще, используем уравнение 1'е + Хз'г + 1 = 0). Если п > 6, применяем теорему 3.5.3 к группе С = А„с А„г, стабилизатор числа и в А„; Р; стабилизатор числа п — 1 в А„ (следовательно, 02 А„г); Р; По предположению индукции все необходимые утловия выполняются. ЛИТЕРАТУРА [Ц АЬЬуап1гех Б.
Сочег!пйв о! а!ЯеЬгэлс сагчее, Ашег. 3. МаГЬ., 79 (1957), 825-856. [2] АЬЬуапйаг Я. Са!о!е ГЬеогу оп гЬе !ше ш вопзего сЬагасгепег!с, Вп!!. Ашег. МаГЬ. Бос., 27 (1992), 68 — 133. [3] АЬЬуапЬах Б. Бггпаге-гоог рагагпеег!заг!оп о! р!апе сигчее, Рпгвие 11шч., 1991. НАКРЫТИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ 163 [4] Агбп М., СгоСЬешВес1с А., Чегй!ег Л.-Ь. ТЬеопе йев Тороя ев СоЬошо!о8!е Ега1е с!ев ЯсЬешаз (БСА 4), чо!. 3, Ьесы !Човев !п МаСЬ., чо!. 305, Брйп8ег-Чег!а8, 1973.
[5] Ооиайу В., Воиайу А. А16еЬге ег СЬ4ойея Ба!оы!еппгн. 2. ТЬеопез -8а!оы!еппев. СЕВ!С, Р. ХаСЬап, Рапв, 1979. [6] Рг!сЬе В. ()Ьег еше еш(асЬе Сгирре чоп 504 Орегагюпеп, МагЬ. Апп., 52 (1899), 321 — 339. [7] СгосЬепсбес1с А. Сеошеийе Гогше!!е ес Беошевг!е а16еЬгщие, Яеш. ВоигЬаЫ, ехр.
182, 1958/1959, СоВесбоп Ноге Бйпе Аввег!вг1ие, 5 (1995), 193-200. [8] СгосЬепй!есЬ А. Вечесешепсв еса1ез ес 8гоире Гопйашепга) (БСА 1), ! еса Новее 1п МаСЬ., чо!. 224, Брпп8ег-Чег!а8, 1971. [9] НахЬавег О. Рогша1 рассЬш8 апй айй!п8 ЬгалсЬ рогпсз, Ргерг!пс, 1991. [10] КашЬауавЬ! Т. !Чог!'в сопя!хиос!оп о! Са!оы сочепп8в !п роз!Иче сЬзхасгепвбсз, ш: А18ебгвхс апй Торо!о8!са) ТЬеопев, То1суо, 1985, 640-647. [11] К!еЫ В. Оег Епй11сЫсе!Сава!в Рйг е!БепВ!сЬе АЬЬ!1йип8еп !и йег и!сЬгагсЬ!шейысЬеп РипЬг!опепгЬеог!е, !пчел!. Ыа!Ь., 2 (1967), 191-214.
[12] Кор! !Л. 0Ьег е!Бепз!!сЬе Рюш!!еп а18еЬгаЬсЬег Чаг!есаасеп 5Ьег а!6- поЫеп Вашпеп, ЯсЬИВепге!Ье 1)п!ч. Мйпввег, 2 Бейс, Ней 7„1974. [13] Ма!за! В.Н. Колвсги1сбоп чоп ЕаЬПгогрегп ш!С йсг Са!оыйгирре Мы 6Ьег Щ~/-Г11), Мап. МаГЬ., 27 (1979), 103 — 111. [14] М11пе Л. Еса)е СоЬопю!о8у, Рппсе!оп МаГЬ. Яепев, чо1. 33, Рппсе!оп, 1980. [Имеется перевод; Милн Дж. Эталонные когомологнн. — Мс Мнр, 1983.] [15] Ваупаий М. Оеошегг!е апа!убщие г!8!йе, й'аргез Тасе, К!еЫ, ..., Ви11. Бос.
МагЬ. Ргапсе, Мешо!ге !Чо 39-40 (ТаЫе хопйе апа1. поп-вхсЬпп. 1972), 1974, 319-327. [16] Ваупаий М. Бесс!опв йев 6Ьгев чессойе!в виг ипе соигЬе, Ви1!. Бос. МагЬ. Ргапсе, 110 (1982), 103 — 12э. [17] Ваупаий М. 'Аи!оиг й'ипе соп)ее!иге й'АЬЬуап1саг, неопубликовано, 1991. [18] Бегге Л.-Р. СоЬопго!о6!е 8а!оы!еппе, 45гпе ей!г., 1,еси !Чо!ев ш МагЬ., чо!. 5, Брйпбег-Чег1а6, 1973.
[Имеется перевод издания 1964 гх Серр Ж.-П. Когомологии Галуа. — Мх Мнр, 1968.] [19] Бетте Л.-Р. Сопя!гас!!оп йе гечесешепгв еса!ея с1е 1а йгоИе а!Бпе еп сагасхегыащие р, С. В.. Асас1. Яс!. Рагпк 311 (1990), зйг!е 1, 341 — 846. [20] Язе!пЬег8 В.
Ьесхигез оп СЬеча1!еу 8гоирв, !Чогез ргерагей Ьу ЛоЬп Раи!Ьпег апй ВоЬегг )Ч!!воп, Уа!е 1)шчегвИу, 1967. [Имеется перевод: Стейнберг Р. Лекции о группах Ш)евзлл. — Мх Мир, 1975.] [21] Ч~е!! А, Сбпега)!ваг!оп йез Гипс!!опя аЬ4!!сипев, Л. 1,юиИ1!е, 17 (1938), 47 — '87 (=Ос [1938а]). [22] %е!! А. Ь'ачеп!г йея ша!Ьешас!Янез, 1 ез Огаайз Списан!в йе 1а Репзее Ыа!Ьйшас!Яие, ей. Р.
Ье Ыоппа!з, Са1иегз йи Яий, 1947, 307 — 320 (= Ос [1947а]). Жан-Пьер Серр 164 [23] ЧЧе!апг!г Н. Ргпие Реггпигабоп Сгопре, Асаг!. Ргеее, Хегч г'огк, 1964, [24) ЪуоЫ!аЬгч К. МесЪеаГЬ'е спгче апг! ГЬе гоог!и!аг бгопр, С!аебокс МаГЬ. 1., 27 (1985), 239 — 247; Согббепдшп, !ЬЫ., 28 (198б), 241. Добавление, сделанное в сентябре 1992 г. Гипотеза 3.1.1' Абъянкара для аффинной прямой доказана М. Рено. См. Вау-", папг) М. Вечйешепге г)е )а 6го!ге а(йпе еп сагас!бг!ес!г!пе р > 0 е соп)ес!пге сРАЬЬуап)гаг, 1пчеп!.. МаВЬ., 116 (1994), по.
1 — 3, 425 — 462:", (в оригинале ссылка на еще не вышедшую статью. — Ред.). Яклн-Ргкпнк ЗЕВ.В.Е Со))ейе г)е Ргапсе 3, гпе г!'Иш Р-75005 РАЙБ. Е-ша(1: ееггейепе.1г АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Даниель Бертран>) Приводя частичное описание списка Шварца [Бс], полученное с помощью теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях, Ландау в 1904 г. отмечает: «Замечательно, что данная теоретико-функциональнал проблема, которая связь?вает воедино различные геометрические, аналитические и алгебраические результаты, дает повод к применению теоремы чистой теории чисел... » [?,а]. Проблема, о которой идет речь, состоит в том, чтобы составить список гипергеометрических уравнений Гаусса, которые допускают базис из алгебраических решений; т.е.
группа монодромии которых конечна. Более общо, для данного линейного дифференциального уравнения с рациональными коэффициентами можно пытаться определить степень трансцендентности поля, порожденного его решениями. При наличии иррегулярных особенностей группа монодромии уже не контролирует эту степень; но дифференциальная теория Галуа позволяет преодолеть эту трудность.
(В силу своей алгебраической природы эта теория позволяет упростить вычисления и в фуксовом случае.) Известно [В!], какого развития достигла эта теория в работах Колчина. Мы не будем здесь заниматься ее обобщениями (см. [Ко1, Ро]) или приложениями (см., например, [?>?е, Бп1, ??ш]). Предметом нашего изложения являются недавно разработанные, в частности Ж.-П. Рамисом и Н. Кацем, методы явного вычисления дифференциальных груйп Галуа классических уравнений.
Переходя к их обзору, мы будем придерживаться порядка, предложенного Ландау: геометрические методы рассматриваются в разд.2, аналитические — в разд.З, алгебраические — в разд.4 и, наконец„арифметические — в разд. 5 (а в равд. 1 собраны основные понятия). 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ (см. [Ое]) Пусть С вЂ” алгебраически замкнутое поле характеристики нуль, (К,д) — дифференциальное поле с полем констант С и ?г — векторное пространство конечной размерности и над К, снабженное > Вегггапс1 .1>ап!е1, Сгопрев а!еьг»Леев е« еяпа«!опв 0!йегепг!е11ев 1!пэа!гев.— Эйп!па!ге Вопгэа>г>, 1991-92, и' 760, Ав«эивлпе, 206, р. 163-204. 166 ДаниЕль Бертран связностьюО1О. Свертывая ее с д, мы получаем дифференциаль-:( ный оператор Р на 1', задаваемый в К-базисе пространства 1' фор-" мулой У -+ РУ = ВУ + АУ, где А — квадратная матрица порядка: и с элементами из поля Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
