Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Вместе с тем детерминантные множители для уравнения з в оо равны хта (лемма Гензеля, см. [Ро)), так что! Т, (Х) — одномерный тор, и группа формальной монодромии М «! равна Е~2Е (т. е. уже не содержит унипотентных элементов!) Одной~ этой информации, вообще говоря, недостаточно, чтобы определить! Са1(7) (окончательный ответ см. в [Ко2[ или ниже). Разумеется, мы располагаем принадлежащим Ганкелю выраж; нием для стандартного базиса решений уравнения 7: ' .7»«(а) = г 7 (с»„е мН„(а) + сь„е" Н„( — г)), 1'„(а) = а '7г(СсмН„( — а) + с'„'е "Н„(-г)) (для целых и) в терминах функции Н„, аналитической при [Агя(г)[ < а.
и им ющей в окрестности оо асимптотическое разложение Й„Б К у„ Но гомоморфизм «перехода к асимптотнческому разложению» и К(Н„) в К у не продолжается, вообще говоря, до дифференци" ального гомоморфизма из К(,7„.)'„'„У «(или 1„)) в К у(ат7г, е") Так, 2« э!п(а) равно Я(г)е", где 5 имеет на бесконечности в обла,' сти 1ш(г) < 0 асимптотическое разложение 5 = 1, но не существу ' дифференциального гомоморфизма из К(э!п(а), соз(а)) в К, у(ем) переводящего Яе" в Яе" = е". Следовательно, мы пока не мож переносить информацию между М,„н с'„,у. Теория Рамиса, к изложению которой мы переходим, дает реш ние этих проблем, обращая направление искомых изоморфизмов::„' 3.
ГРУППА СТОКСА (по Рамису) В этом разделе будут рассматриваться локальные вопросы; п этому мы будем считать, что основное поле К = Не,„есть п АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 171 ростков мероморфных функций в окрестности точки о = О. Обозначения, относящиеся к его формальному пополнению К = С((г)),— такие же, как в, разд.2.
Предположим для простоты, что детермннантные множители (1дн...,1дь) пространства У = Уо,„не рагвствляютсл (т.е. что Ж = )), и обозначим через )г($') гнрг(де(Щ)) ранг Каца пространства У. Что более важно, мы ограничимся случаем общего положения (с диаграммой Ньютона пространства Епд(У), состоящей из одного отрезка), в котором все ненУлевые Разности 1чч — цд имеют степень, РавнУю )с = к(Енса(У)).
Сначала мы дадим обзор метода Рамиса в его аналитической форме (см. [МН1, МН2, НВ, В1]), а затем опишем его когомологическую версию, предложенную Делинем и Мальгранжем (см. [Ма2, МН2, ВУ2, ЬН]). В следующем утверждении собраны в более классической форме ключевые факты, необходимые для этих двух подходов (см. [М-Н, НВ]). В дальнейшем мы фиксируем изоморфизм У на нормальную форму Ъо, матрицу которого обозначим через Ф.
Предложение 3. Пусть  — росток открытого сектора в окрестности точки О. (1) (Пуанкаре — Хукухара — Турритин) Если Онч(В) < к/й, то существует голоморфная матрица Фв, асимптотически равная Ф в секторе В, длл которой матрица (/в(В)(г) = Фв(г)г" ехрЯ(г ')) является фундаментальнойматрицей решений уравнения ВУ = О. (й) (Ватсон — Неванлинна) Если Оич(В) > л/)г, то любая функция, голоморфнря в В ц имеющая в точке О экспонснциальное убывание порядка к, тождественно равна О.
[Здесь Онч(В) обозначает угол раствора сектора В. Напомним также, что голоморфная в В функция / допускает асимптаотичсскос разложение в О, если существует (обязательно единственный) формальный ряд Лорана / = Тв(/) = ~„„171<„/„г", такой, что для любого целого т ) О функция ограничена на любсе)г относительно компактном подсекторе в В.] 172 Даниель Бертран Согласно Коши, удовлетворяющие утверждению (1) матричные функции Фв(а) = Ув(а) ехр(' — Я(г '))г ~ аналитически продолжаются в любой сектор с углом раствора ( 2х, содержащий В. В общем случае для этого продолжения Ф более не будет асимптотическим разложением, оно вообще может не иметь такого разложения (так что мы не можем использовать п. (й)), но, учитывая указанное выше соотношение, мы можем утверждать, что такие разрывы могут возникнуть только вдоль направлений с аргументом д, для которых в окрестности г = О при переходе через линию Агя(а) = д выражение неЯ; — Яу)(а ') меняет знак хотя бы для однбй пары (т,у).
Эти направления называются линиями Сптокса. Для того чтобы оказаться в ситуации утверждения (й), поставим им в соответствие ° сингулярные лпявп, т.е. такие направления с аргументом тт, что хотя бы одно из выражений ехр(1;1; — 1„11)(а ') убывает с максимальной скорсстью (экспоненциально порядка Й) при г -+ О, Агя(а) = о; ° «хорошие» покрмптил окружности Я направлений из О. В случае общего положения, которым мы занимаемся (по поводу общего.
случая см. [МН2, БН]), мы можем, например, взять объединение по различным сингулярным линиям (с аргументами а) интервалов вида Ва =] а — ( ее ), а + ( ае ) + б [, В' =] а — ( за ) — б, а + ( за ) [, ограниченных линиями Стокса и не содержащих других линий Стокса вне б = В' П В (см. [М1, 2.3.6]). Наконец, перенесем эти обозначения на универсальное накрытие 5 окружности Я и отождествим соответствующие интервалы на Я с открытыми секторами с центром в О, которые ими задаются. 3.1.
Аналитический подход. Отправной точкой этого подхода .является то обстоятельство, что коэффициенты матрицы Ф принадлежат (собственной) дифференциальной подалгебре поля К, над которой отображение Твйй допускает каноническое сечение для любого сектора В(п) с несингулярной биссектрисой и' и углом раствора немного больше х/к (см. [%, А.4.1.2]). Дело в том, что плоские функции из образа Тнрй имеют экспоненциальное убывание порядка lс, а следовательно, равны О согласно предложению 3(й). Рамис описывает это сечение, используя операцию повторного суммирования Ее = Ее ю которая есть композиция формального преобразования Бореля и преобразования Лапласа (см.
[МК2, 31]) и тем самым перестановочна с алгебраически- АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 173 ми операциями и дифференцированием. Следовательно, Еа есть изоморфизм дифференциальных алгебр К[Ф] и К[ЕаФ], который легко продолжается до дифференциального изоморфизма алгебры К[Ф,»х,ехр(>;(» '),Бок(»)] на К[ЕаФ,»",ехрц,(» '),1лк(»)] (см. [МК2, Ргор. 9]).
Следовательно, для любого несингулярного направления д матрица ЕаФ = Фвбй удовлетворяет условиям предложения 3(1) в В(с() (в случае общего положения можно прямо из утверждения 3(1) вывести существование н единственность такого решения; см. [1К]РО). Теперь сопоставим каждому сингулярному направлению, или, более точно (с учетом матрицы Л), каждому из соответствующих сг Е Я фундаментальные матрицы Са(Р) = Еа.~.йу»1(Ф» ехрД(» )), С (Р) = Еа-ру»1(Ф» ехрЯ(» )) решений уравнения Ру = 0 в В,В'.
В секторе Ь они связаны соотношением С„'(Р) = (7 (Р)С, где унипотентная матрица С представляет канонический С-эндоморфизм гг пространства Ие решений уравнения РК = О, голоморфных в Ь . Но г1„есть композиция дифференциальных изоморфизмов Е,+Й/г) и Е 07»Н и, следовательно, принадлежит дифференциальной группе Галуа пространства И над К. Назовем группой Стокса (в иррегулярной особенности о. = О) алгебраическую подгруппу ЯГ,'(Р) = Яго(Р) в Со,„(Р), порожденную~~> элементами ега, где а пробегает множество всех прообразов в Я различных сингулярных направлений для У'.
Уже из данного определения видно, что группа Стокса, вообще говоря, не является нормальной подгруппой в Са,,„, но Мо Г ее нормализует. С другой стороны, каждый изоморфизм г» 1 вычисляет аналитическое продолжение решения С' (Р) с В' на Ва (ср, [РМ, Ргор. 6.1]). Взяв их композицию вдоль Я и применив оператор формальной монодромии, чтобы вернуться к начальному значению аргумента, мы, таким образом, получим образующий элемент группы аналитической монодромии Мо,,„(Р). Следовательно, природа отмеченной выше несогласованности междУ Мо Г и Мо,„пРоаснена.
Именно отсюда Стоке начал путь к своему феномену, как он это описал в одном из писем к своей невесте [Б», р. 62],— женитьба, тем не менее, состоялась. Более общим образом, Рамис установил следующее: 174 Даниель Бертран Теорема 2. Аналитическая локальная группа Галуа Сол„(Р) пег рождена своими гамкнутими подгруппами Со 1(Р) и $1о(Р) (или, если угодно, подгруппами Тол(Р); Мо, (Р) и $1о(Р)) Доказательство этой теоремы (см. ]МВ2, ел. 6]) основано на теореме 1 и том факте (эквивалентном предыдущему замечанию), что решение, инвариантное относительно группы Стокса и формальной монодромии, равномерно в окрестности точки О.
Доказательство в духе таннакиевых категорий предложил Делинь. 3.2. Когомологический подход. Этот подход опирается на классификацию с точностью до' К-изоморфнзма векторных К-пространств У со связностью, снабженных, как и выше, формальным изоморфизмом Ф пространства У на фиксированную нормальную форму Уо (теорема Сибун — Мальгранжа; см. [Ма2, $1, ВЧ2]). Пусть А — пучок ростков над $ мероморфных функций, допускающих асимптотическое разложение в О, а БТ(У) — пучок (неабелевых) групп горизонтальных сечений пучка А ог Епд(У), асимптотически равных тождественному отображению. Применяя предложение З(1) (З(В)) в ситуации, когда й = со (соответственно й = 1/2 или й = О для $), мы получаем,'что БТ(У) локально изоморфен БТ(Уо)(е> и что искомое множество классов изоморфных пар (У, Ф) с естественной отмеченной точкой (Уо,1д) (зто с точностью до изоморфизма единственная пара, для которой не возникает феномен Стокса) отождествляется с множеством одномерных когомологий Н'(Б,БТ(Уо)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
