Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Теорема 3.2.1 (Нори). Группа С являетася факторгруппод1 груп- пы яп. Следствие. Гипотеза 3.1.1 верна для групп БЬп(в'д)>Брга(ид) ,оз(г д). Доказательство (Ж. Ламан). Пусть В+ и  — противоположные борелевские подгруппы группы Е, а У+ и У вЂ” их унипотеитные радикалы. Отображение умножения У+ х У -д Е является изоморфигмом на замкнутое подмногообразие И С Е (замкнутость 1г в дальнейшем не будет использоваться). Обозначим через у: Е -+ Е изогению Ленга, определенную формулой 1(х) =х 'г(х), где à — эндоморфизм Фробениуса группы Е по отношению к х д. Эта изогения определяет связное накрмтие Галуа группы Е, группа Галуакоторогоесть С. Пусть И~ = 1 '(И). Многообразие И" связно.
Действительно, пусть Иг~ — его компонента связности, содержащая 1, и пусть Со — нормализатор компоненты Иго в группе С. Поскольку И'а содержит У+, группа Со содержит У+(Рд); аналогично, она содержит У (х д). Известно, однако (см. (2О, лемма 64)), что группа С порождается Г+(х д) и У (г д). Позтому С = Со, откуда следует, что Иг связно. Таким образом получается связное накрытие Галуа И' -д )', группа Галуа которого есть С.
Но И изоморфно У+ х У и, следовательно, является аффинным пространством размерности ) О (за исключением случая Е = (Ц, но в атом случае доказывать нечего). Ограничивая накрытие И' д И на прямую Ь в И, получаем накрытие прямой Ь с группой Галуа С. Согласно одному из вариантов теоремы Бертини, зто накрытие является связнмлд, если прямая Ь достаточно общая. Отсюда получается требуемый результат, поскольку Ь изоморфна Р. НАКРЫТИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ 157 Замечание.
Это доказательство приложимо также к «подкручен- ным» группам типа Судзуки и Ри в характеристике 2 и 3. 3.3. Примеры Абъянкара. Теорема 3.3.1 (Абъянкар [2]). Следующие группы являютсл факторгруппами группы кгг. гнакопеременная группа А„при р ф 2 и п > р; симметрическая группа оп при р = 2. Метод доказательства состоит в том, чтобы явно выписать уравнения и-й степени, определяющие этальные накрытия прямой 11 степени и, и показать, что группы Галуа замыканий Галуа этих накрытий являются подгруппами группы 5„, изоморфными А„или о„, как указано в теореме.
Для этого показывается, что исследуемая группа в достаточной степени транзитивна (в некоторых случаях Абъянкар вынужден использовать «классификационную теорему» для конечных простых групп). Одно из используемых уравнений таково: 1'" — Х.1'+ 1 = О, где и = р+ 1, Ф > 1 и 1 ф 0 (тасар). Абъянкар (см. [2, 3]) доказывает, что группа Галуа этого уравнения есть если 1=1; если 1=2 р=7; если 1=2,рф2,7; если 1>2р~2; если р = 2. Приведем доказательство в самом простом случае — это случай, когда 1 > 3.
Пусть С вЂ” группа Галуа уравнения (1). Это подгруппа группы о„, обладающая сдующими свойствами: она транзитивна; она содержит цикл с порядка р (из-за группы инерции точки Х=со, У=со); она содержит элемент порядка, взаимно простого с р, который циклически переставляет 1 неподвижных точек цикла с (группа инерции точки Х = оо, У = 0). Поскольку и = р + 1 и (р,1) = 1, легко проверяется, что из указанных свойств следует примитивность группы С.
Поскольку 158 Жан-Пьер Серр С содержит цикл простого порядка, не превосходящего и — 3, по теореме Жордана (см. (23, р. 39]) С = Я„или А„. Если р = 2, то из того, что С содержит транспозицню, следует, что С = Я„. Если р ф 2, то, поскольку С является квази-р-группой, С ф Я„. Следовательно, С = А„, откуда и вытекает требуемый результат. Замечания..1) При р = 2 использованный метод, по-видимому, неприменим к случаю А„с и ) 5. Тем не менее, Рено мне сообщил, что можно исследовать этот случай с помощью теоремы 1.1 работы ]17] и процедуры «переклеивания» группы Аь (см.
п. 3.5). 2) С помощью редукции шов р некоторых известных уравнений в характеристике нуль можно получать явные уравнения, имеющие интересные группы Галуа. Например: а) Согласно Фрике (см. ]6, 24]), существует накрытие Галуа проективной прямой с группой Галуа С = ЯЬт(Рв), разветвленное в трех точках с порядками ветвления 2, 3 и 7, определенное над полем Щсов(2к/7)).
Соответствующая кривая имеет род 7. Если представить С как транзитивную подгруппу группы Аэ, то при этом возникает накрытие степени 9 проективной прямой, уравнение которого выписал Гурса [6]. Приводя это уравнение в характеристике 7 (после соответствующей замены переменных), получаем уравнение Абъянкара Уэ — Х.Уз + 1 = О, что еще раз приводит к основному результату работы ]3]. 6) Приводя в характеристике 11 уравнение Мацата ]13], получаем уравнение 1 и+2 +31' — Х =О ( =И), которое определяет этальное накрытие прямой .0 степени 11, группа Галуа которого есть группа Матье Мм.
в) В характеристике 23 уравнение У(У 1)з(У + 1)4(У2 + 17У+ 4)в Хв О ( 23) определяет этальное накрытие прямой С степени 23. Повидимому, группа Галуа этого накрытия должна быть группой Матье Мзз, было бы интересно доказать это. 3.4. Расширения разрешимых групп. Рассмотрим точную последовательность конечных групп 1 -+ И -+ С -+ С -+ 1.
Предположим, что С является квази-р-группой, а М разрешима. Тогда, НАКРЫТИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ 159 если гипотеза 3.1.1 верна для С, то она верна и для С. Иными словами, справедлива Теорема 3.4.1 (см. 1191). При указанных выше предположениях, если С является факторгруппой группы кр, то это верно и для С.
Следствие 1. Гипотеза 3.1.1 верна для разрешил«ых групп: всякая разрешимая квази-р-группа является факторгруппой группы кр. Это — частный случай с С = (Ц. Следствие 2. Если С является факторгруппой группы кр, то факторгруппой группы кр лвляетсл также и вслкое расширение р-группы с поз«ошью С. Действительно, такое расширение является квази-р-гругшой, что позволяет применить теорему 3.4.1. Доказагпельство шеврез«ы 3.4.1. Ограничимся для простоты случаем, когда М вЂ” элементарная абелева группа типа (с,...,с), где й — простое число, и действие группы С на Ф неприводимо.
По условию теоремы существует сюръективный морфизм ф: кр -» С. Согласно сказанному в п. 2.3, его можно поднять до морфизма ф: кр -» С. Если С вЂ” нерасщепленное расширение с помощью С, то ф сюръективен и теорема доказала. Случай, когда С является полупрямым произведением группы С на Ф, более тонок. Если й = р, то доказывается, что можно выбрать ф сюръективным. Если 4 ~ р, то это в общем случае невозможно. Тем не менее в этом случае можно изменить ф так, чтобы это стало возможным. Точнее, выберем целое число т > 1, взаимно простое с р. Морфизм Р -» Р, заданный формулой Х»э Х, индуцирует эндоморфнзм : кр -+ кр (в качестве базисной точки выбирается 0). Этот эндоморфизм сюръективен. Его композиция с ф дает гомоморфнзм ф; кр — » С, который, подобно ф, сюръективен, но «более разветвлен» (его инвариант Свана в бесконечности в т раз больше).
Доказывается, что можно поднять ф до сюръективного морфизма ф: кр -+ С (доказательство основывается на изучении модулей Галуа накрытий, снабженных гомологиями ( шой 1), см. [19, ГЬ. 2]). Отсюда следует утверждение теоремы. 3.5. Конструкции Харбатера и Рено. Сначала заметим, что гипотеза Абъянкара 3.1.1 приводит (с помощью индукции по (С( и 160 Жан-Пьер Серр сведения к случаю ци)«лической группы С) к следующему утверж- дению: (3.5.1») Если С порождена двумя подгруппами 6» и Сг, которые являются факторгруппами группы ко, то С является фактор- группой группы кгэ.
Харбатер [9] и Рено [17] доказали это утверждение при некоторых ограничительных предположениях. Например: Теорема 3.5.2 [9, гЬ. 4(1)]. Утверждение 3.5.1» верно, если Сг является р-группой, содержащей сиповскую р-подгруппу группы Сг. В следующем утверждении Рено участвуют группы инерции в бесконечности рассмотренных накрытий (определенные с точностью до сопряжения); Теорема 3.5.3 [17, 1Ь. 1.1]. Пусть Я есть р-подгруппа группы С. Лредлоложим, что для» = 1,2 существует связное накрытие Галуа Р, -+ Р; с группой Галуа С,, группа инерции которого в бесконечности есть подгруппа ф группы Я.
Тогда существует связное накрытие Галуа прлмой Р с группой Галуа С, группой инерции которого в бесконечности является Ч. Доказательства теорем 3.5.2 и 3.5.3 используют соответственно «формальный вариант САСА» и «жесткий вариант САСА», а в остальном практически совпадают (см. [15]). Вот изложение (очень неполное) метода, примененного Рено в работе [17]: Используется жесткая геометрия над локальным полем К = 1«((Т)). На проективной прямой Рг над К выбираются два замкнутых диска Ь| и Аг, не содержащих оо, на положительном расстоянии друг от друга (например, диски ]г] < 1/р и ]г — 1[ < 1/р).
Затем выбираются содержащие их чуть большие диски Ь,+, удовлетворяющие тем же условиям. После этого определяются три накрытия Галуа (в жестком смысле) с группой Галуа С: (аг) накрытие диска Ь+,; (аг) накрытие диска Ь,+; (аг) накрытие множества Рг — Ь| — Ьг — (со), которое продолжается до накрытия, разветвленного в бесконечности, с группой инерции Я. НАКРЫТИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ 161 Конструкция накрытий (ат) и (аг) такова: диск Ао «приведенный шот)Т», можно отождествить с аффинной й-прямой Рь С;-накрытие В; -+ Пт определяет путем поднятия на К жесткое С;-накрытие диска Аь и можно показать, что это накрытие продолжается на чуть больший диск. Тем самым получается С;-накрытие, и индуцирование с, С, на С дает искомое накрытие (а;) (заметим, что в общем случае это накрытие не является неприводимым; число его неприводимых компонент равняется индексу подгруппы С; вС).
Что касается (аз), то оно получается при вложении «1 в С из (алгебраического) «З-накрытия пространства Рт — (со]. Последнее нужно выбрать так, чтобы выполнялось следующее свойство; (Ь) Для т = 1, 2 ограничение накрытия (аз) на открытую корону тл,+. — А, нзоморфно ограничению накрытия (а;) на эту корону (по крайней мере, если с»~ доетаточно малы). Это свойство позволяет склеитпь (в смысле жесткой геометрии) три накрытия (а;) и получить накрытие ГалУа пространства Рт с группой Галуа С, разветвленное только в бесконечности, группой инерции которого является «г. По «жесткому варианту САСА» (см.
[11, 12]) это накрытие является алгебраическим. Кроме того, конструкция показывает, что это накрытие является геометрически не- приводимым (именно здесь используется предположение, что С порождена подгруппами Ст и Сг) . Априори это накрытие определено над К; путем специализации (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
