Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 27
Текст из файла (страница 27)
1.1 оказывается очень простым: конечная группа С удовлетворяет рассматриваемому условию тогда и только тогда, когда ее можно задать 2д + з — 1 образующими. (Теория Римана па самом деле дает более точный результат: элемеиты сы...,с, могут быть выбраны таким образом, что оии порождают группы инерции точек множества о'.) 1.3. Случай характеристики О. Если характеристика поля Ь равна О, то принцип Лефшеца и рассуждения со специализацией показывают, что результаты п. 1.2 остаются без изменений.
Заметим, что, хотя результаты выглядят алгебраическими, единственное имеющееся доказательство опирается иа траисцеидеитиую теорию для случая Ь = С (существеииым моментом является доказательство того, что иа компактной римаиовой поверхности имеется достаточно много мероморфиых функций). Попытка алгебраического подхода к классификации накрытий была сделана Вайлем в 1938 г. (см. (21, р. 84-86], а также Ь1ог1 Ч. Сотр. Май., 33 (1976), 29 — 41). Его отправной точкой было следующее соображение: каждому накрытию Галуа С' -+ С с группой Галуа С соответствуют (через линейные представления группы С) векторные расслоения иад С, дискретные суммы и теизориые произведения которых связаны алгебраическими уравнениями.
Если бы удалось достаточно точно описать структуру пространств модулей векторных расслоений, то можно было бы выделить в ием алгебраические элементы и восстановить по иим иакрытия Галуа. Этот подход »по Танаке» интересен, ио до их пор ие привел к конкретным результатам; даже элементарный случай д = 1, з = О представляется слишком сложным для исследования этим методом. Жан-Пьер Серр 152 1.4. Случай характеристики р ) О. Этот случай долгое время оставался неизученным. Вот что писал в 1946 г.
Вейль в работе [22): «.. прежде чем приступить к описанию расширений числовых полей через их локальные свойства, было бы удобно решить аналогичную проблему, уже достаточно трудную, относительно алгебраических функций одной переменной нац конечным основным полем, а именно, распространить на этн функции теоремы существования Римана. В частности, играет ли модулярная группа, структурой которой определяются поля функций одной комплексной переменной, разветвленных в трех точках, ту же роль в случае конечного основного поля, по крайней мере для расширений степени, взаимно простой с характеристикой? Возможно, все такие вопросы можно изучать с помощью единого метода, который позволил бы для каждого установленного (например, топологическими методами) результата в характеристике О вывести соответствующий результат в характеристике р. Открытие такого метода означало бы очень важное продвижение ...
» В этом отрывке утверждается, что: [1) для групп порядка, взаимно простого с р, теория такая же, как для случая характеристики О; [й) должна существовать возможность перехода от характеристики О к характеристике р [и обратно). Утверждение [!) было уточнено в 1956 г. Абъянкаром [1[ в виде следующей гипотезы: [1') Пусть яс, — наибольшая факторгруппа группы яс, порядок которой [как проконечной группы) взаимно прост с р. Тогда я~ изоморфна группе, соответствующей кривой над С с теми же инвариантами д и з. 2.
ТЕОРЕМЫ ГРОТЕНДИКА И ГИПОТЕЗЫ АБЪЯНКАРА 2.1. Теоремы Гротендика. Одним из первых достижений теории схем Гротендика было доказательство в 1958 г. гипотезы [1') п. 1.4 [см. [7, р. 182-27[, а также [8, р. 392)); метод состоит в переходе к характеристике О, как и было предсказано Вейлем.
Точнее, выберем в поле вычетов й полное кольцо дискретного нормирования А, поле частных К которого имеет характеристику О. Доказательство происходит в три этапа: НАКРЫТИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ 153 (2.1.1) Можно «поднять» проективную кривую С над й до гладкой проективной схемы Сл над А (которая дает кривгую Ск над К, обладающую хорошей редукцией). Этот результат почти очевиден в случае о < 5, но неочевиден для больших значений д.
Гротендик доказал его, перейдя от С к формальной схеме и показав, что эта схема алгебраическая, поскольку на ней имеется обильное расслоение ранга 1 (а именно, расслоение, определенное над точкой). В доказательстве используются теоремы сравнения типа «формальная теория <=у алгебраическая теория», т. е. «формэльный вариант САСА». (2.1.2) После того, как Сл выбрана, пусть Як — накрытие множества Я над Сл(А) = Ск(К).
Если С' — » С вЂ” накрытие Галуа кривой С с группой Галуа С, которое является «ручным»И во всех точках множества Я, то можно поднять С' единственным образом до накрытия схемы Ск — Як. это опять-таки доказывается применением «формального варианта САСА». (2.1.3) Обратно, пусть Ск -+ Ск — Як — абсолютно неприводимое накрытие Галуа с группой Галуа С. Предположим, что порядок группы 0 взаимно прост с р. В этом случае можно доказать, что после замены А на более разветвленное кольцо накрытие Ск «хорошо приводится», т.
е. продолжается до накрытия схемы Сл — Як, которое определяет накрытие кривой С (в доказательстве используется лемма Абъянкара и теорема о чистоте иакрытпия). Из этих результатов следует,что: («) Если р не делит ~С(, то 0-накрытия в характеристике р и в характеристике О одни и тпе же, см. (2.1.2) и (2.1.3). Это очень неплохой результат, несмотря на то, что условие «р не делит ~0(» является весьма ограничительным: при р = 2 оно выполнено только для разрешимых групп, согласно Фейту и Томпсону.
(**) Если р делит (С), но мы ограничиваемся накрытиями, «ручными» во всех точках множества Я, то накрытий в характеристике р существует не больше (как правило, строго меньше), чем в характеристике О. (Точную формулировку результатов (*) и («») в терминах специализации фундаментальной группы можно найти в [8].) 2.2. Случай полной кривой С. В этом случае Я = Ет. Все накрытия С «ручные». Согласно утверждению (**), группа нс является О В оригинале глоаеге, что соотиетстиуег термину гаги« а англоязычной ли- тературе. — Прим. Ред.
154 Жан-Пьер Серр факторгруппой соответствующей фундаментальной группы в характеристике О. Какова эта факторгруппа? Ее удается определить только в случае д = О или 1, когда она коммутативна: для д = О группа яс равна (1); для д = 1 группа кс изоморфна ]] (Ег х Ег) или Ег х []г~ (Ег х Ег) в зависимости от того, является кривая С супер«ее сингулярной или обычной. В случае д > 2 структурной теоремы не существует даже в виде гипотезы. Имеются только сведения о когомологиях. В частности, когомологии группы кс изоморфны этальным когомологиям кривой С, совсем как в случае, когда «универсальное накрытие» кривой С стягиваемо (это доказывается с помощью спектральной последовательности Картеле — Лере для накрытий, см. [14, с. 134, теорема 2.20]). Из этого, согласно [4, ехр.
1Х, Х], вытекает, что сд»(кс) = 1 н бйшН'(кс, Е/рЕ) < д; сдг(кс) = 2, бйшН'(кс, Е/И) = 2д и дйп»Н~(лс, Е/ЮЕ) = 1 при « ~ р. (Напомним, что с«(р(к) означает когомологическую р-размерность проконечной группы к, см. [18, с. 23]. Утверждение сйр(кс) < 1 эквивалентно тому, что сиповские р-подгруппы группы кс являются свободными про-р-группами; этн группы нетривиальны, согласно Рено [16, сот. 4.3.2]). 2.3.
Случай аффинной кривой С: гипотеза Абъянкара. В этом случае Я ф е1. Фундаментальная группа над С является свободной группой ранга 2д+ э — 1 (см. п. 1.2). Пусть группа С конечна. Обозначим через р(С) = О" (С) подгруппу группы С, порожденную ее силовскими р-подгруппами. Группа С/р(С) — наибольшая факторгруппа группы С, порядок которой взаимно прост с р. Если С является факторгруппой группы кс, то, согласно Гротендику (см. (2.1.2)), С/р(С) является фактор- группой группы, аналогичной группе кс в характеристике О. Иными словами, эта группа может быть задана 2д+ г — 1 образующими. В работе [1] Абъянкар предположил, что это условие являетсн достаточным: Гипотеза 2.3.1.
Конечная группа С является факторгруииой группы кс тогда и только тогда, когда факторгруипа С/р(С) мог«сет быть порождена 2д+ э — 1 элементами. Если эта гипотеза верна, то она дает ответ на вопрос (а) п. 1.1 (но не дает ответа на вопрос (Ь)). НАКРЫТИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ 155 Замечание. В этом случае когомологии группы кс также совпа- дают с этальными когомологиями кривой С, откуда выводится, что сдг(кс) = 1 для всех г, ) ) Саго(к), если г = р, [ 2д + г — 1 в противном случае. В частности (см.[18, с.79]) группа кс обладает свойством под- нятия: если 1: С -+ С вЂ” сюръективный гомоморфизм конечных групп и ф — гомоморфизм группы кс в С, то существует гомомор- физм ф: кс — э С, такой„что 1 о ф = ф (но если ф сюръективен, то не всегда можно выбрать ф сюръективным, даже если С удовлет- воряет условию гипотезы 2.3.1).
3. ГИПОТЕЗА АБЪЯНКАРА ДЛЯ АФФИННОЙ ПРЯМОЙ 3.1. Гипотеза и результаты. Мы сейчас ограничиваемся случаем, когда С является аффинной прямой Р = Бреск[Х], причем поле (г алгебраически замкнуто и имеет характеристику р > О. В дальнейшем д = О н г = 1, откуда 2д+г — 1 = О, и гипотеза 2.3.1 принимает следующий вид: Гипотеза 3.1.1. Конечная группа С яв яется факторгруппой группы кс тогда и только тогда, когда С = р(С), иными словами, когда С порождается своими силовскими р-подгруппами. Группа С, для которой С = р(С), называется квази-р-группой. Пример. Простая группа, порядок которой делится на р, является квази-р-группой.
Из гипотезы 3.1.1 следует, что прн р = 2 каждая простая неабелева группа является факторгруппой группы кр. Позднее мы увидим, что гипотеза 3.1.1 доказана во многих частных случаях, а именно, когда С вЂ” группа рациональных точек полупростой алгебраической группы, односвязной над конечным полем характеристики р (Нори [10]); С вЂ” знакопеременная группа Ат и > р > 2, или симметрическая группа Бт и > р = 2 (Абъянкар [2]); С разрешима [19]; С порождена своими подгруппами, удовлетворяющими некоторым условиям (Харбатер [9], Рено [17]).
Замечание. Прямая 19 играет до некоторой степени универсальную роль для накрытий аффинных многообразий. Точнее; пусть 156 Жзн-Пьер Серр И вЂ” неприводимое аффинное многообразие над й размерности ) О, и пусть С вЂ” конечная группа, являющаяся факторгруппой группы ко. В етом случае существует связное накрытие Галуа 1' -д И с группой Галуа С, см. [19, и' 2]. 3.2. Примеры Нори. Пусть ц — степень числа р, и пусть Е— полупростая алгебраическая группа, односвязная над гд. Пусть С = Е(рд) — группа х д-точек группы Е. Группа С является квази-р-группой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
