Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Заменяя М на его «скручивание по Тейту» М(т), можно ограничиться изучением значения Б-функции в точке з = О. Пусть гм— единственное целое число, такое, что з ™Л(М, з) стремится к конечному ненулевому пределу Ь'(М, 0) при з -+ О. Обозначим через 1р к «единичный объект» категории ММр(Е) и положим для любого т' б )ч) Н'(Р, М) = Ех1мм (н)(1р,я, М) Можно определить (см.
разд. 6 ниже) Е-векторное надпространство Нут(Р, М) пространства Н'(Р, М), классифицирующее расширения 1р,я с помощью М, имеющие «хорошую редукцию во всех конечных точках поля Рж «Гипотеза» С„(ЛХ) т). Пусть М" (1) — «двойственный мотив к М, скрученный по Тейту»; тогда гм = сйтяНу(Р, М'(1)) — сйтнН (Р, М'(1)). Определена реализация де Рама Мал мотива М, являющаяся Е Зс) Р-модулем конечного типа, снабженным некоторой убывающей фильтрацией (Р«РМзл)гея своими Е Зс) Р-подмодулямн— фильтрацией Ходжа.
Обозначим через 1м и назовем касатпельнььм простпранством к М фактор Мвн(Р«(ОМвн. Пусть р принадлежит 5 (Р), множеству бесконечных точек поля Р. Тогда'для нее определена реализация Бетти Мир мотива М, являющаяся конечномерным Е-векторным пространством, снабженным, если точка р вещественна, действием комплексного сопряжения с. Положим Мй = (Мн р)', если р вещественна, и Мй„= Мн,р в противном случае. Для любого поля К и любого К-векторного пространства Ъ' конечной размерности обозначим через с)е1к)г = Авк ~У детерминант пространства р' и через Йеск$' двойственное пространство к с)е1лЪ'. Положим Ь,(М) = десны'(Р,М) 8 бес Н,'(Р,М), ~ Поскольку на практике не всегда известно, что функция Ь допускает аналитическое продолжение на С, зту гипотезу нужно понимать следующим обречем: утверждается, что функция ь(М,»), определенная при йе(»)» О, допускает мероморфное продолжение в некоторую окрестность нуля, и ее порядок в точке » = О определяется данной формулой.
ЗНАЧЕНИЯ Х.ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 189 ХХ(М*(1)) = «1елвНо(г', М'(1)) Э деС~Н~~(г', М*(1)) и введем, наконец, фундаментальную прямую мотива М Ьу(М) = Ху(М) Э Х «(М'(1)) Э «1е1' ® Мн+„Э «1еСвсм, РЕЗ (Р) Мы увидим, что, по модулю некоторых «гипотетических» свойств категории ММР(Е), можно а) определить канонический изоморфизм «м: КЭ«1 Хл|(М) -» В.Эа Е; Ь) для любой конечной точки Л полн Е, используя Л-адичсскую реализацию Мл мотива М, снабдить Ел Эн ХЛ«(М) канонической НОРМОЙ ! )Л ЕР.
' «Гипотеза» Сгзн(М), Существует (обязатсльно единственный) базис 6 в Ьу(М), такой, что ам(1 Э Ь) .Х,'(М, О) = 1. «Гипотеза» Сн«г(М). «Гипотеза» Сон(М) верна, и для любой конечной точки Л поля Е выполнено равенство (1ЭЬ|леР = 1. Очевидно, что Срв(М) (соотв. Свк(М)) определяет Х*(М,О) с точностью до умножения на элемент из Е' (соотв. из Ой).
Следовательно, когда Е = Я, гипотеза Свк(М) определяет вещественное число Х'(М; О) с точностью до знака (который «легко» определить: ожидается, что нули и полюсы функции Х(М, з), лежащие на вещественной прямой, являются целыми числами; имеем гы10 = 0 для «» О, и знак должен быть равен четности числа ~,. гм10). Я взял здесь слово «гипотеза» в кавычки, поскольку в этих утверждениях рассматриваются объекты категории ММР(Е), точного определения которой я не знаю. Тем не менее известно много объектов этой категории. Пусть М вЂ” «известный мотив». По крайней мере в двух случаях можно получить «корректную» гипотезу; 190 Жан-Марк Фантен ° когда М является (-замкнутым, т.е. таким, что Н~У(ЕМ) Н'Я М'(1)) = ОП (если М является чистым веса ~ — 1, то это все равно, что сказать, что' М является критическим); ° когДа М вЂ” чистый мотив веса — 1, связанный с некоторым абелевым многообразием А над Р, снабженным вложением Е в «1 З Еп«1(А).
Теория 1-мотивав Делиня дает тогда некоторую корректно определенную полную подкатегорию в ММ р(Е), ко. торая является достаточно большой для всех необходимых вычислений (см. разд. 8). Кроме того, и это «класси ~еская» точка зрения Бейлннсона, можно обойтись без использования категории ММЕ(Е), введя «ма«пивные когомолагии», т.е. некоторые Е-векторные пространства, определенные с помощью алгебраической К-теории, о которых предполагается, что их можно отождествить с Н~г(Е,М) и Н'(Е, М'(1)). Кроме того, требуется определить некоторые Е-линейные отображения нз этихздвух векторных пространств, позволяющие построить регуллгпоры» и в некоторых случаях аналог высоты Нерона — Тейта для абелгвых многообразий.
Наиболее важным является случай М = Н'"(Х) (г), где Х вЂ” гладкое проективное многообразие над Е, т 6 1ч1, г 6 Е (и Е = С)); см. разд. 9. После введения некоторых обозначений и соглашений (разд. 2), мы переходим к первой части, посвященной общему формализму, где приводим обзор результатов о представлениях Галуа с коэффициентами в Ез (равд. 3); затем объясняем (равд. 4), как определить каноническУю ноРмУ ) )х ерыпсхоДЯ из Л-аДической РеализаЦии; в равд. 5 обсуждаются смешанные структуры Ходжа; в некотором смысле именно они играют роль Л-адических реализаций в архимедовых точках', далее (равд.
6) описываются формальные свойства, которым должна удовлетворять категория ММр(Е), определяется Н~(Е, М) и строится отображение тйг, используемое в гипотезе Св«з(М); в равд. 7 обсуждается, как гипотезы упрощаются при некоторых ограничениях на веса мотива М или если М есть у -замкнутый мотив. Во второй части обсуждаются различные частные случаи: 1-мотивы Делиня (равд. 8), мотивы вида Н'"(Х), где Х вЂ” гладкое П Если гипотетический формализм, связанный с категорией Л«л«» (Е), верен, то существует универсальный способ сопоставления каждому мотиву»г' некоторого у-замкнутого мотива лс, и наши гипотезы верны для М тогда и только тоГда, когда они верны Лля Л'. ЗНАЧЕНИЯ Ь-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 191 проективное многообразие над Г (разд, 9), смешанные мотивы Тейта, скрученные мотивы Артина,... (равд.
10). Третьи часть содержит различные дополнения: в разд. 11 объясняется, каким образом при вычислении чисел, входящих в Свк(М), появляются группы Шафаревича и числа Тамагавы. Это приводит к другой формулировке гипотезы Свк(М), совпадающей (по существу) с формулировкой гипотезы Берча— Свнннертона-Дайера в слу.чае абелевых многообразий и с оригинальной формулировкой Блоха — Като [ВК90] для тех случаев, которые они рассматривали. Наконец, в разд. 12 обсуждается понятие полустабильностаи Вх-представлений и мотивов (ожидается, что любой мотив над Р становится полустабильным над некоторым конечным расширением поля Р). Именно для полустабильных мотивов можно надеяться развить технику., которая, возможно, позволит достичь значительного прогресса в данной теории.
В этом контексте также можно интерпретировать значения неполных Е-функций, понять, почему обсуждаемые здесь гипотезы ведут себя хорошо относительно коротких точных последовательностей н являются совместимыми с функциональным уравне-. нием и каким образом они отражагот некоторые свойства категории смешанных мотивов (когомологическвя размерность 1, Р-полу- простота, . ) Эти «гипотезы» и/или их различные варианты являются рь зультатом (если так можно сказать) усилий многих математиков. После пионерских работ Берча и Свиннертона-Дайера [В863, В865), расширенных и углубленных Тейтом [Табб), наиболее существенный вклад, без сомнения, внегли Блох [В!84], Бейлипсон [Ве84) и Делинь [Пе79] для Сит!(М) и Блох и Като [ВК90] для Свгг(М).
С развиваемой здесь точки зрения некоторые идеи Блоха [В!80), Делиня [Пе85], Янсеиа [1а88, 1а89, 9а90), Като [Ка91), Лихтенбаума [Б«72з], Перрин-Риу [ГР91] и Шалля [Бс91) также сыграли большую роль' !. Наконец, я хочу поблагодарить Бернадетт Перрин-Рну, которой этот текст столь многим' обязан: в течение долгого времени мы обсуждали вместе данный предмет, и именно'наша совместная работа послужила для меня стимулом к этому докладу. О !!анге изложение в значительной степени обязано работам !РР9!. РРЭ2) и (Ка9Ц. Точка зрения Блоха и Като излагается в равд ! ! Оригинальные гипотезы рассматривали менее общую ситуацию, и докладчик несет ответственность за всю ту бессмыслицу, которая могла возникнуть в ре гтльгаге изменения точки зрения и обобщений, время для которых еще ве нргг~гглгь 192 Жан-Марк Фантен 2.
ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ Если С в проконечная группа и Л вЂ” конечная точка поля Е, то А-адическое представление группы С вЂ” это Е1-векторное пространство конечной размерности, снабженное линейным непрерывным действием группы С. Имеем На(С, И) = Ио, в то время как Н'(С, р') классифицирует расширения тривиального представления Ех с помощью И. В случае, когда С = Са1(К/К), где К— сепарабельное замыкание поля К, мы пишем также Н'(К, И) вместо Н'(С, У).
Для любого числового поля К обозначим через В(К) множество всех его точек. Отождествим В(С1) с множеством (простые числа)(] со. Для любого р Е ВЩ) обозначим через Вр(К) множество точек К, лежащих над р. Выберем алгебраическое замыкание Г поля Г и для всякой точки р Е В(Г) алгебраическое замыкание Гр полного поля Гр и вложение Г в Гр. Пусть Ср. = Са1(Г/Г) и Ср — — Са1(Гр/Гр) с Ср. Если р — бесконечная точка, то выберем отождествление замыкания Гр с С. Если р — конечная точка, лежащая над простым числом р, то обозначим через 1р подгруппу инерции в Ср, для всякого расширения В поля Гр, содержащегося в Гр, обозначим через Ва максимальное неразветвленное расширение поля ь)р, содержащееся в В; поле вычетов 1ср поля Гр совпадает с полем вычетов поля (Гр)о и является алгебраическим замыканием поля вычетов кр поля Гр, обозначим через о.р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
