Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 36
Текст из файла (страница 36)
1ср -+ йр отображение х н+ хР, а также лежащий над ним непрерывный автоморфизм поля (Гр)о. Группа Ср/1р отождествляется с Са1((Гр)о/(Гр)а) = Са1(/ср/Ер) н топологически порождена геометрическим морфизмом Фробениуса /р — — ар "', где гр [1ср: Рр] А. ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 3. Ь-ФУНКЦИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ПРЯМАЯ Л-АДИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ Ср В дальнейшем Л обозначает конечную точку поля Г, лежащую над простым числом 1.
3.1. Пусть р — конечная точка поля Г, лежащая над простым числом р. Отсылаем читателя к [Г190, П90] нли к [Вогез] за определением поля Вал р р-адических периодов и его подкольца В„и р, соответствующих расширению Гр/Гр. Поле Вкн р является Гр-алгеброй, ЗНАЧЕНИЯ б-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 193 снабженной убывающей фильтрацией (Рту Ваи р),ех и действием группы 6р. Кольцо В„м р ~~лис~си (Ьр)о-подалгеброй в Вил,р, инвариантной относительно действия группы Ср н снабженной эндоморфизмом ф, коммутирующим с этим действием и являющимся пр-пслулинейным.
Имеем (Вин р)О» = Рр, тогда как (В,н, р)О (Рр)о. 3.2. Положим Ел,р — — Ею если ( ф р, и Ел,р = (Рр)о ЗО, Ел в противном случае. Пусть И есть Л-адическое представление группы 0р размерности Ь(И). Положим 1)„(Ъ') = р'ге, если ( ф р, и Юр(г') = (В„м р Зс1, 'р')От, если ( = р. Это свободный Емр-модуль конечного ранга Ьр(И) < Ь(И), снабженный линейным действием 1р. если ) ф р, то это действие индуцировано действием 1р Е Ср/1р на Юр; если г = р, то гЬ действует на В,не р З)г по формуле ЬЗ о г-р фЬЗн, ~~ инвариантно относительно ф и 1р.действует как ф" '1. Говорят, что И имеетп хорошую редукцию, если Ьр(И) =' Ь(И).
Если ( ф р, то это значит, что И нерэзвегвлено, в то время как если ( = р, то это означает, что И является кристаллическим. Обозначим через Н'(Рр, И) линейное Ет-подпространство в Н'(Рр, И), образованное теми классами Иг расширений поля Ет с помощью И, для которых естественное отображение .0р(И') р Пр(Ет) = Ел р является сюръективным; в том случае, когда И.имеет хорошую редукцию, это условие эквивалентно тому, что И' тоже имеет хорошую редукцию.
С другой стороны, если ( = р, то положим Р,яр(у) (Вал р Зс1, 'и')Ог. Это Рр ЗО, Ет-модуль, обладающий убывающей фильтрацией Рр З Ел-подмодулями РтЩщ р(И) = (РИрВнл р ЗО, И)ог (ГдЕ т Е Е). РаЗМЕрНОСтЬ Вен р(И) КаК ВЕКтОрНОГО ПрОСтраиства над Рр не превосходит [Еа .
ьбр) Ь(р'). Говорят, что и' пмеепт шип де Рама, если имеет место равенство; в этом случае Дол р(И) является свободным модулем ранга Ь(И) над Рр ЗЕт и естественное отображение Вен,р Зрр Д,щ р(И) -'+ Вон,р Згт И есть изоморфизм. Н Обратите внимание: мы берем 1р равным ф" г, а не его обратному! Жри-»в»врк Фантен 194 Наконец, в случае 1 = р назовем касательным пространством и 1 Рр ЭЕА модуль»$. р ((Вал р/Рт» Вал р)к~»с» 1') . Если Ъ' имеет„ тип де Рама, то»»т р можно отождествить с Рал р (7 ) (Гт»аР ~я р(1т).
З.З. Пусть теперь )т †некотор Л-адическое представление группы Ср. Для каждой конечной точки р поля Р положим Рр(Ъ; ») = йе»и,,(1 — ур»»Рр(1')); это поливом с коэффициентами в Ет (включая саучай1 = р); имеем бек Рр < 6(Ъ'), и равенство выполняется тогда и только тогда, когда »т имеет хорошую редукцию в р. Далее нам потребуются три следующих определении: (1) Пусть Я вЂ” конечное множество точек поля Р, содержащее Яве(Г).
Скажем, что 1' допускаепт Тз-функцию над Е, если для всякой точки р»е 5 многочлен РрЯ») принадлежит Е(»] и если бесконечное произведение сходится в С Эс» Е для Вез )) О, В случае Я = Я„(Р) будем го-»' варить, что У допускает Ь-функцию над Е, и положим Т(Ъ; з) =,'. Ез»х»(»т,з). (й) Скажем, что Ъ' является псевдогеометприческим, если оно не-', разветвлено в дополнении к конечному множеству конечных точеа„' поля Г и имеет тип де Рама во всех точках, делящих й (»»Т) Обозначим через Ну»(Р, Ъ') Ет-векторное подпространств»ь1 в Н» (К ~'), состоящее из элементов, образ которых в Н'(Рр, т') ле-„ жит в Ну»(Гр, »') при любом р. Это конечномерное векторное про-, странство над Ел. Тривиальное представление Ед является псевдогеометриче;,» ским и допускает Ь-функцию над Е, которая является обычно(»» ~-функцией Римана' », и Н~(Р, Ед) = О.
Свойство представлений,' быть псевдогеометрическими сохраняется при переходе к подобь';,' ектам, факторобъектам, прямым суммам, тензорным произведе-', ниям и двойственным объектам. Если У вЂ” псевдогеометрическое» 1» Автор имеет в виду ~-фуикцию Дедекиидв паля Р. — Прим. перев. ЗНАЧЕНИЯ Ь-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 195 представление, то для любого г Е Е представление Ъг(г)'! тоже является псевдогеометрическим, и 1(Ъг(г), з) = 1(Ъг, г + л). 3.4. Для всякого псевдогеометрического А-адического представления Ъг группы СР положим Ру(Ъ') = п]есн,Н~(Е„Ъ')Эс]ес~„Н~у(Е, Ъ'), Ъ'т = сЕ«р л (Р! Н~(Ср, Ъг) и Гу = Щрез,(Р! ьцр.
Введем фундолпентальнрю нрллеую представления Ъ' ,глу(Ъг) = Ьу(Ъ') З Ьу($" (1)) Э с]есй„Ъ'+ Э п]еЪВ,(р. Цель следующего раздела — ввести на этой прямой некоторую каноническую норму. 4. НОРМА ЭЙЛЕРА-ПУАНКАРЕ ПСЕВДОГЕОМЕТРИЧЕСКОГО Л-АДИЧЕСКОГО П РЕДСТАВЛ ЕН И Яз! 4.1. Пусть Сл, — кольцо целых поля Ел. Обозначим через Рр„(Ол) (соотв. Рр„(Ел)) производную категорию категории совершенных комплексов Ол-модулей (соотв. Ел-модулей).з! Если д Е (л(, з Е 2 и М вЂ” свободный С«л-модуль (Ел-модуль) ранга д, то оббзначим через с(еслМ внешнюю с(-степень модуля М, если з четно, и двойственный к ней модуль, если з' нечегно. Коли С: ...— «С' ' — «Сп — «С!+' — «.. — совершенный комплекс Ол-модулей (Ел-модулей), то положим !]есл(С) = ®1 е!]еслС! и назовем его детерминантом комплекса С.
Любой квазиизоморфизм индуцирует изоморфизм детерминантов, что позволяет говорить о деп«ерминанп«е объекта категории Рра„(Ол),(нли Рр„(Ел)). В частности, можно говорить о ДетеРминанте Сл-моДУлЯ конечного типа (если М = Мо]М 1, где Мо и ])4 1 — свободные модУли конечного типа, то де1лМ = с(есолМо З с]еСл ~ М вЂ” 1). Если С' «С — «Сн ««Как обычно, Ез(1) = !!шп! (С1), и если г Е Е, то Е«(г) = Зуш" Е«(1), и Е«(-г) — двойственное представление; наконец, Ъ (г) = Ъ'б«х, Е!(г] длн всякого геЕ. з! См. в [РР91, по1е 1] или в (Ка91, 1 3] бонее элементарное изложение в терл|ниах когомологий Галуа. Я благодарен Деянию, познакомившему меня с точкой зрения, изложенной здесь, которая сразу показалась мне бапее простой и естественной.
з! Совершенный комплекс — зто комплекс конечной длины, состоящий из конечно порожденных проективных модулей.-- Прим. персе. 196 Жан-Марк Фантен выделенный треугольник в Рр„(ОЛ) (илн в Рр„(Ел)), то можно отождествить йеслС с йесл С' З йетлСл '>. Наконец, расширение скаляров определяет функтор нз Рр,„(ОЛ) в Рр,„(ЕЛ), и для любого С из Рр (Ол) модуль йе1л(ЕЛ З С) совпадает с Ел З йе1ЛС, что позволиет отождествить йетлС с Решеткой в с!е1л(Ел З С). 4.2.
В дальнейшем Б будет конечным множеством точек поля Е, содержащим все бесконечные точки и все точки, делящие 1. Обозначим через Яу множество конечных точек в Б, через Ор — кольцо целых поля Е и через Уз открытую подсхему схемы Брес Ор, являющуюся дополнением к Бу. Выражение «пучок» (соотв. Ол-пучок, Ел-пучок) означает пучок (соотв. Ол-пучок, Ел-пучок), конструк' тивный в этальной топологииз>. Для всякого Ол-пучка (соотв. Ел-пучка) Т на Уз ВГ«с(Пз, Т) является объектом категоринз> Р+(Ол) (Рр„(Ел))4>. Для всякой точки р б Яу это же верно и для ВГ(гр,Т) (определенного как ВГ«,(БресРрг рему,Т), где ир. БресЕр Р+ БресОр и у! Уэ -+ Брес Ор — естественные морфизмы).
Но определению комплекс, вычисляющий относительные когомологии ВГ,(Пз, Т) — это С[ — 1], где С вЂ” конус морфизма ВГм(Уз,Т) -+ (зур зВГ(Ер,Т). Имеем Нг(Пз, Т) = 0 при 1 уй 1,2,3, и ВГ,(Уз, Т) является объектом категории Рр„(Ол) (соотв. Рр„(Ел)). Теперь можно определить прямую Эйлера — Пуанкаре Т, Ьл,нр(Т) = г]е1ЛВГ.(Пз, Т). !> Существуют проблемы со знаками при определении детерминанта (если Ъ' = Щ,ег И вЂ” разложение в конечную прямую сумму, то отождествление йесл)г с теазориым произведением Яодулей бе»Л$'; ЗавиСит с тачиостьЮ да Знака от порядка И), которые не имеют для нас значения и которыми мы будем пренебрегать. , з> См.
в (ЯСА4, ехр. 1Ъ'; ЗСА5, арр. а!'ехр. 1, Лг, 'Л; ЯСА4.5[ общие сведения о пучках кручения, Ол-пучках и Ял-пучках, конструктивных в зтальной топологии. з! И даже Ср,(ОЛ)) при 1 ф 2. «! Назовем Ол-представленнем проконечной группы С любой Ол-модуль конечного типа с заданным иа нем линейным и непрерывным действием группы С. Пусть Сз — группа Галуа максимального иерезветвленного вне Я расширения Галуа поля Е, содержащегося в 7. Если Т есть Ол-пучок (соотв. Ел-пучок), то его общий слой являетсе Ол-представлением (соотв.
Л-вдическим представлением) группы Ся. Обратно, всякое Ол-представление (соотв. Л-адкческое представление) Т группы Сз является общим слоем единственного локально постоянного Ол-пучка (соотв. Ел-пучка), который мы снова обозначим через т, н ЯГ«г(сз,т) отождествляется с комплексом, вычисляющим непрерывные когомологин Галуа Не«вг(Сз, Т). ЗНАЧЕНИЯ»;ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 197 Нетрудно видеть, что этот детерминант зависит только от общего слоя пучка Т. Если Т вЂ” пучоккручения, то П, фН«(17в, Т)~ Н 1 и, следовательно, ллл Вр(р') = Ол.
Отсюда вытекает, что если р' есть Ел-пучок на Нл и если выбран Ол-пучок Т, такой, что Ел З Т = 1', то получающаяся решетка Ьл,лр(Е) в «лл,вр(»') не зависит от выбора Т. Обозначим через ~ ~л вр единственную норму на Ь» Вр(р"), такую, что если б — некоторьгй базис в Ьл Вр(Т), то Ялн =1. Нетрудно также видеть, что если 5' — конечное множество точек поля Р, содержащее В, и р" есть Ел-пучок на (7у с тем же общим слоем, что и у р", то Ьл Вр(~р") и Ьл Вр(Ъ'). нзоморфны как нормированные прямые над Ел. Это позволяет, в частности, определить нормированную Ел-прямую Ьл,лр(1') для любого Л-адического представления Сл, нервзветвленного в дополнении к конечному множеству точек: достаточно выбрать множество В так же, как и выше, и Ел-пучок на Нз с общим слоем р'; полученный результат не зависит от выбора В и 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
