Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Категория 5Мк(Е) является у-допусгпигиой. 6.7. Замечание. Известно (см. [Пе71, Пе74, да90]), что с каждым гладким квазипроективным многообразием 17 над Е можно связать его реализацию Н(17), являюшуюся объектом категории СкЩ) (например, его реализация де Рама — это гиперкогомологии комплекса де Рама на П), со следующими двумя оговорками: ° нужно определить изоморфизмы сравнения 1м» для всех конечных р: это уже сделал Фалтннгс ([Ра89], см. также [1190] в случае прОективного Н; общий случай должен следовать из работы Фалтингса [Ра90]); ° можно показать, что для каждого (7 существует конечное множество точек 5 поля Е, содержащее 5 (Е), такое, что М допускает функцию 1з, но не всегда известно, что можно взять 5=5 (Е).
Пусть 5МЕ „Щ) — наименьшая подкатегория Таннаки в Ск(С)), содержан1ая любой объект, изоморфный Н(П) для некоторого гладкого квазипроективного многообразия Н над Е. Предполагается, что 5МеЯ) содержит 5Мк з(Я). Следуя Янсену [да90, з 4], можно спросить, верно ли, что 5МеЩ) = 5МЕ зЩ), т. е, является ли категория 5МкзЯ) «достаточно большой», что можно также пе'- реформулировать (фиксировал простое число 1) как утверждение о том, что для любого объекта М категории 5Мг з(«1) естественное отображение "и ®О Ням „НЗХу(Е М); » Н)(г' М) сюръективно. К,сожалению, в настоящее время эта задача предста- вляется совершенно неприступной. 6.8.
В дальнейшем будем предполагать, что задана некоторая полная подкатегория М в 5Мн(Е), являющаяся 1-допустимой (если «гипотеза», приведенная выше, верна, то это условие эквивалентно требованию, чтобы М содержала 1ев и являлась устойчивой относительно взятия подобъекта, факторобъекта и прямой суммы, а также удовлетворяла условию, что если она содержит объект М, то содержит и М'(1), и любое расширение 1р,н с помощью объекта М, класс которого лежит в Нз1м (Е,М)). Положим Н](Е', М) = Н,',,~ 7(Е, М) для $' = О, 1. Будем называть объекты категории М л«о«пивными структпу-.
рпл«н. 208 Жан-Марк Фонтен 6.9. Для любого Е-векторного пространства Х конечной размерности и любой точки Л поля Е положим,Хл = Ел ВнХ и обозначим: через Х„' его Ел-двойственное векторное пространство. Пусть М вЂ” мотивная структура и Л Е Я,(Е). Если р Е Я (Р), то Мр л является смешанной Ел-структурой Ходжа над Рр. Можно,', следовательно, рассмотреть (см. п. 5.3) отображение 9 амь,»: ® Мн,р ь тм,л Реь (ь) Рея»Р) (где Мн+ „= (Мн 'р)), и (1ос.стт) Ел-векторные пространства Кет ам„. аь и СоЫтам.<т)„являются двойственйыми друг другу, так же как и Со)гегам„и Кетам.ьт)„.
Обозначим через им„композицию естественных отображений Н (Е,М)л ь ®Н (Рр,Мл) ь ®Кетам» = Кетам через ем„композицию Н~У(Г,Мл) ь ®Н"(Р~ Мл) — + ®СоЕетам, » = Со)тесам„, через рм . Кетам, ь Нут(Р,М'(1))'„сопряженное отображение к ем.~т), и через им» . Со)тесам» вЂ” > Не(Е; М*(1))' сопряженное отображение к им.ьт)„. Пусть М вЂ” мотивная структура и Лт — некоторое расширение объекта 1 ни с помощью М в категории М, класс которого лежит в Ну»ЯМ). Если х б Нут(Е,М'(1))», то обозначим чеРез хьь еге образ в Н'(Р, Ль*(1))', и пусть Л(М,И,Л) = (х б Н~У(Р,М'(1))~~хрт с 1шетт„).
Еслих б Л(М,Ж,Л) и хи =ерь,(у),тообразувКетат совпадает: с образом некоторого х с Н~(Р, 1к я)л и образ бм ль л(х) элемента х в Нут(Р, М)л не зависит от произвола в выборе у и х. Нетрудно видеть, что из у-допустимости вытекает существова-' ' ние единственттого естественного преобразования функторов бл = (бм,л)меоьм, где бм,л: Н~(Г,М*(1))л -+ Н~ЯМ)л, такого, что ЗНАЧЕНИЯ Ь-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 209 если М и М означают то же, что и выше, и если х Е Л(М, гУ, Л), то бм,л(х) = бм,гр,л(х). 6.10. Из условия 7-допустимости можно также вывести, что для любой мотивной структуры М и любого Л Е 5 (Е) последовательность конечномерных Ел-векторных пространств здл(М): 0-р Нв(КМ)л — р Кегалг,.
-р Нуг(Г~М (1))л > — > Н~(Р, М)л — р Сойег ам, -+ Н~(Р, М*(1))» -+ 0 является точной. Отсюда получаем канонический изоморфизм из (лу(М) ®и Ьу(М'(1)))л (здесь мы используем обозначения введения) на дегн» (Кег ам„) игл„бег~„(Сойег ам„). С другой стороны, очевидная точная последовательность 0-э Кетам„-р ® Мвьр -+гм,л -р Со)гегам, -+ 0 »Р) дает изоморфизм между (г(еги(® <.~МВ+ ) ЗВ г1еглгм)» и ггегй„(Кег ам„) йгн, ггеги, (Сойег ам„). Тензорное произведение этих двух изоморфизмов дает изоморфизм гм,л . 'гну(М)л — р Ел. имеем к эсг ьу(м) = 9» з <В> глу(м)л, тогда как к 8сг е = Юл з ~и> Ел и йзомо1»физлг гм, входЯщий в фоРмУлиРовкУ гипотезы СОВ(М), определяется как прямая сумма изоморфизмов гм,л.
Наконец, если Л вЂ” конечная точка поля Е, то свойство Сл(М) позволяет отождествить Ьу(М)л и Ьу(М») (см. разд. 3 и 4) и, таким образом, определить норму ) (л Вр, что позволяет сформулировать гипотезу Сия(М). 6.11. Замечание. Если М вЂ” мотивная структура над Е, то 11еврчсг(М) является объектом категории СО(Е), допускающим Е-функцию, причем она совпадает с Ь(М,з). Естественно предположить, что Везрусг(М) есть мотивная структура над б) н что, обратно, если )р' — мотивная структура над»Е, то Ехгсг гз()У) является мотивной структурой над Р я что функторы кевк~сг и ЙхгО~з 210 Жзн-Мзрк Фонтен являются сопряженными друг к другу' >.
Если это так, то гипотезы для М эквивалентны гипотезам для Кеэрус>(М), что позволяет, не ограничивая общности, считать, что Г = ьб, что мы и будем иногда делать >. 7. УПРОЩЕНИЯ И РЕДУКЦИИ Т.1. В большинстве случаев, которые поддаются эффективному рассмотрению, по меньшей мере два из четырех пространств Но(Г, М), Н'(Г, М), Но(М'(1)) и Н'(Г, М" (1) равны нулю, что упрощает структуру точных последовательностей зу х и формулировку гипотез С,(М) и Сон(М). Так обстоит дело, если ИгоМ = 0 (в частности, если М вЂ” чисгнал структура веса ) 1); и этом случае Н (Г, М) = Н~~(Г, М) = Но(Г,М*(1)) = 0 (для Н это следует из равенств дгоигМ рго>УМ'(1) = 0; что же касается Н~, то заметим, что любое расширение >У объекта 1р и с помощью М расщепляется, поскольку Иго>У = 1ре является подобъектом в )У, откуда вытекает, что Нг(Г, М), а значит, и Нг(Г, М) — нулевые группы).
Если Л е Б (Е), то последовательность вйх сводится к одному изоморфизму Кег сгьг„— э (Н~У(Г, М'(1)))» (в частности, гм = г)1тнН~(Г„М'(1)) = Ей>не,Кетам„, и эту размерность можно вычислить, зная лишь смешанные структуры Ходжа Мр г для р Е 5 (Г)). Обратно, если И' зМ = М (в частности, если М вЂ” чистая структура веса < — 3), то Ив(М'(1)) = 0; тогда гм должно равняться нулю, и если Л Е Я (Г), то ву л(Мх) сводится к изоморфизму Н~(Г, М)л — + Со1сегам„. Ожидается (хотя это и не следует из развитого к настоящему времени формализма), что не существует нетривиальных расширений менСду двумя чистыми мотивами одного и того же веса.
з> Ожидается, что то же самое верно для фуикторов Певгур и Ексг уг для произвольного подполя р' поля г. >Иногда, однако, удобно работать с «полуствбильными» мотивами и неполными ь-функциями (см. рвзд. !з). В этом случае уже нельзя, вообще говоря, считать, что Е = й. ЗНАЧЕНИЯ ь-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 211 Если это утверждение верно, то можно показать, ~то нри угле вин Рр' гМ = 0 (в частности, если М вЂ” чистая структура веса 0) зу,л(Мл) сводится к 0 -+ Не(г, М)л — р Кетам. — + (НХ1(Е ЛХ'(1)) л — р 0 (и, следовательно, снова к одному изоморфизму Негам„нп двойственное пространство к (НХ(Л; М*(1))л, если Н~(Р, М) = О), тогда как если 11 зМ = М (в частности, если ЛХ = чистая с.
руктура веса — 2), то гм должно равняться — г11шиНв(Г,ЛХ'(1)) и вХ „(Мл' сводится к 0-+ НХ(Р,М)л р Со1 егам„— + Н" (Л;М*(1)),", -+ О. Наконец, если М является чистой структурой веса — 1, то Кегам = Со1гегам, — — Нв(Р,М) = Не(ХзМ'(1'; = 0 и последовательность ву л(ЛХл) сводится к изоморфизму Нх(г 1Х (1))л — + Нх(г,ЛХ)л вли, иначе говоря, к совершенному спариваникр НМЪХ)л х Н~~(Е,М'(1))л — р Е, 7.2. Ситуация оказывается особенно приятной, если М есть Х-замкнутая стпруктура, т. е, если НХ(Г„М) = НХ(Л', М" (1)) = 0 (для этого достаточно, чтобы Нуг(Г, Мл) =- НХг(Л; ЛХ'(1)л) .=- 0 хотя бы для одной конечной точки Л).
Тогда все отображения, входящие в последовательность вХ л(М), являются тривиальнымн, что позволяет сформулировать-гипотезу Сон(М) особенно простым образом, тем более если Нв(г, М) = Нв(Г, М'(1)) == 0: пусть В (соотв. В') — некоторый базис в ®р з 1~> Мввр (соотв. в гм) над Е; для любого Л Е Н (Е) отображение ам„: (вр9вр9рез (к)Мйр)л — р гм,л должно быть изоморфизмом, и если бл — определитель матрацы— ам„относительно выбранных базисов, то должен существовать элемент с Е Е*, такой, что ЦЛХ, 0) = с (Ьл) л я 1нр Назовем Х -зквиввлентностыв на Л4 наиб лес ограничительное отношение эквивалентности на ОЬ(М), такое, что 212 Жан-Марк Фонтен (1) если )У вЂ” расширение 1 р я с помощью М, класс которого лежит в Н~(Е, М), то М и )У у-эквивалентны; (й) если М и Х являются у-эквивалентными, то это же верно и для М*(1) и 1У*(1).
Если М и 1У у-эквивалентны, то С„(М) (соотв. Срв(М), Слк(М)) верна тогда и только тогда, когда верна С„(1У) (соотв. Сов()У), Снк(ге)). Поскольку любой объект категории М является у-эквивалентным некоторому 7"-замкнутому объекту, то теоретически эти гипотезы достаточно проверять только для у-замкнутых объектов. 7.3. Чистая мотивная структура М веса и называется критической, если существует точка Л Е Я (Е), такая, что еем„— изоморфизм (и тогда ам„будет изоморфизмом для любой точки д Е Я (Е)).
Если вес структуры М не равен — 1, то отсюда следует ее 7'-замкнутость. Если же вес М равен — 1 и М является критической, то гипотетически тм ) О'и М является.у-замкнутой тогда и только тогда, когда гм = О, т. е. когда 1.(М, 0) э~ О. В. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 8. СЛУЧАЙ 1-МОТИВОВ 8.1. Напомним [Ое74, З10], что полуабелево многообразие над Г— это расширение абелева многообразия с помощью тора и что гладкий 1-мотиив над Р— это комплекс коммутативных групповых схем над Е, сосредоточенный в степенях -1 и О, Х вЂ” и 5, где 5 — полуабелево многообразие, а Х локальна постоянна над Е в этальной топологии, т.
е. Х(Е)' является свободным Е-модулем конечного ранга. Гладкие 1-мотивы над К образуют алдитивную категорию ММр и Обозначим через ММр1(Я) категорию 1-мотивов с точностью до нзогении, т. е. следующую категорию: ° ее объекты — это гладкие 1-мотивы, ° Ношммайсц(Мм Мз) = Ч Зг Ношмма, (Мм Мг). Нетрудно видеть, что Я-линейная категория ММьдЩ) является абелевой. Обозначим через ММяз(Е) категорию 1-могпивов ЗНАЧЕНИЯ Ь-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 213 над Е с коэффициентами в Е, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
