Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 42
Текст из файла (страница 42)
доклад [На90] и недавние работы Хардера ([На89] и следующие) и Франке. ~!Это можно также вывести из и. 10.1, разлагая функцию,"(с, з! в произвеление Ь-функций »1ирикле. 224 Жан-Марк Фонтан (1ч) Помимо результатов о гипотезе Берча — Свиннертона-Дайера и о Х;функциях Дирихле имеются некоторые частные результаты для других мотивов. Отметим только следующее: а) Блох,и Като [ВК90, З7) получили результаты о Х(Н'(Х),2), где Х вЂ” эллиптическая кривая с комплексным умножением, определенным над Е; в общих чертах, они показали, что Сов(М) верна в этом случае, и, используя результаты Колывагина и Рубина об «основной гипотезе» в эллиптическом случае, проверили, что )1 об)сир = 1, если 1 является «регулярным для Е» [Во87]. б) Нековар [Хе92] получил некоторые результаты «в духе Колывагина», которые подтверждают гипотезу Блоха — Като для Х (М, т), где М вЂ” мотив ранга 2, ассоциированный с некоторой новой модулярной формой веса 2«п относительно Га(1У), имеющей рациональные коэффициенты.
(г) Общим для всех этих результатов является использование идей Колывагина (в частности, систем Эйлера, см. [Ре89, Ко90]) и то, что в них большую роль играет теория Ивасавы. В каждом случае используется «основная гипотеза» этой теории для соответствующего мотива, и в качестве первого шага нужно понять, как она формулируется. В «обыкновенном» случае это сделано Гринбергом [Ог89] и Шнейдером [Вс89]. Что же касается общего случая, то Като приступил к его изучению в [Ка91]. В общих чертах, речь идет о том, чтобы понять, как ведет себя мотив М над Е при конечном абелевом расширении Ь поля Е, что заключается фактически в переносе известного формализма на случай мотивов с коэффициентами в этальной алгебре Е[Оа((Цг")].
Параллельно с этим нужно развивать р-аднческую теорию, т.е. строить и изуЧать р-адические Х-фукнкции, стараясь понять, что является р-адическим аналогом гипотез Блоха — Като (см. среди прочего [Со89, Со91, СР89, Оге91, Хе92Ь, Ра91, Ре92,... ]). С. ДОПОЛНЕНИЯ 11. ГРУППЫ ШАФАРЕВИЧА И ЧИСЛА ТАМАГАВЫ В первоначальном виде гипотеза Блоха — Като, так же как и гипотеза Берча — Свиннертона-Дайера, включала в свою формулировку группы Шафаревича и числа Тамагавы. Для простоты мы ограничимся случаем Е = ь1. 11.1. Рассмотрим «и-модуль конечного типа Т, снабженный линейным и непрерывным действием группы «»р, неразветвленным в до- ЗНАЧЕНИЯ 1.-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 225 полнении к конечному множеству точек, и такой, что представление У = ОА Зя, Т является псевдогеометрическим.
Обозначим через Н~(Р,Т) прообраз Нуг(Е,У) в Н'(Р,Т). Это Е~-модуль конечного типа, и можно говорить о его детерминанте деЦН11(Р, Т), являющемся Епрешеткой в бе(еН1г(Е, У); аналогично, бегеНоЯТ) — решетка в беЦНо(Р, У) и 11(Т) = г)егеНо(Р Т) З йе(,*Н1т(Е,Т) — решетка в 11(У); если Т = ф„ез (р) Н (Ср,Т), то бе(чТ~ — Решетка в беЦУ+; наконец, если Т*(1) — скрученный по Тейту двойственный модуль к Т, то 11(Т'(1)) — решетка в 11(У*(1)). Следовательно, Ь~(Т) = 11(Т) З Ь1(Т*(1)) З бе(;Т+ является решеткой в Ьг(У) = 11(У) З Ь1(У, (1)) З де(~ У+.
Выберем базис ы1 в Ь1(Т) и базис ы в с)еЦ(~ . Проблема заключается в вычислении )ю' З ю)~ нр Е (Я (что априори зависит от выбора Т и ы, но не ы' ) 11.2. Для любой точки р поля Г обозначим через Нуг(Рр, Т) прообРаз Н1 (Ер, У) в Н' (Гр, Т). Если Р— конечнаЯ точка, то естественное отображение б)~/Е~ Зя Н1(Ер Т) + Н (Ер ЦТ) инъективно, и мы обозначим через Н1' (Ер, У1Т) его коядро. Если р бесконечна, то положим Н' (Рр,У1Т) = Н'(Р~,У1Т).
Выберем некоторое конечное множество о' точек поля Г, содержащее все бесконечные точки, все точки, делящие 1, и все точки, в которых представление У разветвлено. Блох и Като определяют тогда группу Шафаревича Ш(Т) как первую группу когомологий комплекса СЫХ, З„ЯУ,Т) — Н'(из, У(Т) — П Н~,,У(Т) Реп Легко видеть, что эта группа конечна и не зависит от Я ') 11.3.
Для любого конечномерного (инвентарного пространства И~ и любого базиса ы в деЦИ1 обозначим через р единственную меру Хаара на Иг, такую, что если Ло — решетка в И', удовлетворяющая условию йе(~Ло = Е~ ы, то р (Ло) = 1. Если Л есть Енмодуль конечного типа с заданным изоморфизмом б~~ Зя, Л на Иг и если бе(~Л=Е~ ага,где аЕ ьа*,тор (Л) =!а~ь Н В случае когда Т = Т~(А) — модуль Тейта абелева многообразия А, можно проверить, что если группа Ш(А)(!) конечна, то Ш(А)Ц) = Ш(Т). 226 Жан-Марк Фантен Пусть р — конечная точка поля Г; условимся, что 1г,р — — О, если р не делит Б Имеется (см. п.
4.3) точная последовательность О > Но(Рр Ъ ) Р 1зр(1'") Р 0р(1 ) ® 1~ р ~ Ну(Рр 1' ) + 0 позволяющая отождествить с1еС~Н~1(Рр, Ъ')Вбе~;Но(Рр, И) с бе1~1г р. Пусть шр — базис в дел;р, и ш1 и шо — базисы в с1еС~Н~(Рр, к') и бес~*На(Рр, И) соответственно, такие, что шр — — м1 Э шо; тогда число р,„1(Н'(Рр,Т))(р,„,(Н~(гр,Т)) (й (~) зависит только от шр, и мы обозначим его через Татр (Т). Если р не делит (, то беса р — — Яп и положим Татр(Т) = Таш„,(Т). Можно показать, что Татр(Т) = 1 для почти всех конечных точек р, не делящих Е Таким образом, произведение Д Татр(Т) х Ц Тато (Т) рр рр имеет смысл и зависит лишь от базиса аз = х рррр шр в йе1~1~ . Обозначим его через Тасос (Т).
11.4. Можно доказать следующее Предложение. В приведенных выше предположениях и обозна- чениях имеем урШ(Т) = урШ(Т'(1)) и ((ш~ З ш~р нр) ' = Тата (Т) х ррШ(Т*(1)). 11.5. Пусть теперь р — конечная точка поля Р, такая, что Рр Я, 1) ф О. Легко видеть, что тогда Н~(г р, Ъ") = 0 и, кроме того, ° если р не делит 1, то Н~(Рр, 'р') = 0 и, следовательно, Н~(Рр, Т) = Н'(Рр, Т),„; ° если р делит 1, то естественное отображение, определенное в п.
4.3 (экспонента Блоха — Като), р р Н~~(Рр Ъ ) является изоморфизмом; в частности, выбор базиса шр в йет~1г р опРеделЯет на Н~(Рр, Р) меРУ ХааРа Рвк,р,, „. Если Р не делит 1 и Татр(Т) оа ЯН'(гр,Т)„„, то можно проверить, что Татр(Т) = ~Бр(р',0)~~ Татр(Т). Аналогично, если р делит ( и Тап1р„,, — — двкр...(Н~У(Рр,Т)), 1о Тат~~~ (Т) = ~Бр(Ъ',0)(~ Татр а (Т) ЗНАЧЕНИЯ Ь-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 227 11.6. Предположим, что Р = ьс, и приведем оригинальную гипотезу Блоха и Като. Ее формулировка аналогична формулировкам теорем о числах Тамагавы полупростых групп [С)88), и нам придется ввести некоторые дополнительные обозначения. Пары (ЛХ,З), состоящие из мотивной структуры М над 1Е с коэффициентами в 1й и Х-модуля конечного типа О, снабженного линейным и непрерывным дейсгвнем группы Сс) на 0 = ю З 0 и нзоморфизмом ь1 З 0 на Мв,, н удовлетворяющие очевидным условиям согласования„составляют естественным образом абелеву категорию.
Обозначим через Н'Щ,О) = Н'Щ,(М,9)) группу классов расширений (1О,с), Е) с помощью (Л1, 0) в этой категории, и через Н~Щ,З) с Н'Щ,О) прообраз группы Н~(С~,М). Рассмотрим такую мотивную структуру М, что (а) И' зМ = М и (Ь) Р (М,1)(= Р(МБ1) для произвольного))~ Одля любогопростого числаз) р. Выберем модуль 0 так же, как и выше, без кручения. Положим АВЩ) = Н1 Щ, 0), Авар) = Н~~Яр, О) для простого р, АВ(С) = С З )М/1ш(0) и АВ(тхэь) = (АВ(С))О' КС1н) з)'з) Пусть 0 = П 61 и р — простое; тогда АВЩр) = П, Н~)(сер, 01), и пз (Ъ) вытекает, что группа Н~ Щр, 01) конечна прн ) ф р и тривиальна для почти всех 1. Следовательно, группа АВЩр) компактна, если точка р конечна, локально компактна при р = со й фактор с П АВЩр) /АВЩ) ге в(сз) компактен.
Выберем в Ае1с)гм некоторый базис и над ьг. Его можно рас' сматривать также как базис в йе1с),1аб для любой точки р Е НЩ). Если р = оо, то со определяет меру Хаара )гвк на АВ(В). Если р конечно, то меру Хаара рвк р на Н1 Щр, Мр) = С) Зя АВЩр) можно рассматривать как меру на Авар). Используя некоторое ~) Гипотетически (Ь) следует из (а), поскольку ожидается, что в кольце С(1] имеем Рр(МД) = П(1-аИ), где )и,) < рейт, если ИмМ = М; ожласно Делиню (гипотезы Вейля), это верно для почти всех р. з1 Блох и Като используют точку зрения Бейлинсона, т.е.
они рассматривают Н~~(С), М) как группу, определенную с помощью мотивных, когомологий и регуляторов. з1 Эти обозначения подсказывают, что должен быть способ о~~редеяить пучок абелевых групп Ао в некоторой топологии. В случае М .= Иеа'(Е -+ А), где А— абелево многообразие над ьс, и О = Н~ (А(С), й) можно пока~ать, что Ав(К) = А(К) при К = С1, С)ю С или 11.
'228 Жан-Марк Фонтен техническое предположение о р-адических изоморфизмах сравнения (которое на практике всегда выполнено), Блох и Като показали, что )»вкр„(АеЯ )) = Рр(М,1) для почти всех р и что бесконечное произведение П )«вк,р, (Ае((чр)) реву(с)) сходится. Это позволяет ввести меру-произведение )»вк = П двк р, на локально компактной группе П я(~) Ае Щр), которая, согласно формуле произведения, не зависит от ы и которую Блох и Като назвали мерой Тамагаеы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
