Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Кажется естественным предположить, что Н>+ (Х, Щп))х должно отождествляться с Н~Щ,М*(1)), а сй„— с естественным отображением из Н~>Я, М'(1))н в Со)сегам-(ц . По модулю этого отождествления и функционального уравнения проверка эквивалентности гипотезы СОВ(М) гипотезе Бейлинсона является простым упражнением. 9.4. Используя 1-адические классы Черна, можно также для любо- го простого 1 определить [8081] отображения г, „> . Н'и+1(Х, Щп)) — > Н" Щ, Нес(Х З ф Я>(п))) Предполагается, что образ пространства Н~»1(Х, Щп))х содержитса в Н~ Щ, Не, (ХЗ(4, ьг> (и)) ) (пРи достаточно общих пРедположениях это доказано Гроссом [Сг90))з>. Разумеется, на самом деле ожидается, что это отображение индуцирует ь6>-изоморфизма> с„д > .
(~> З Нм' (Х, Щп)) х — > Н~У Щ, Не, (Х З (~, Я> (и)) ) и что последний совпадает с естественным изоморфизмом из ьб> З Н~Я, М'(1)) на Н~Щ, М'(1)1). Иначе говоря, использование мвтивных гРУпп когомвлогий Ны(Х, (4(п))х и РегУлЯтоРов со 1 > ДлЯ (конечных или бесконечных) точек 1 поля (4 позволяет нам опустить кавычки при формулировке гипотез СВН(М) и Свк(М (1)) т. е. переформулировать их таким образом, чтобы в них не упоминалась категория М. '> Более точио, де>аНрг (Х>а, К(п)) можно отоясаествить с В.ЭО У, где У = бессзн (х(с),с)(п — 1))< >> эдес~ре>"нг>я(х), и иужио взять 6п = 1э6, где 6 — некоторый базис в У. г> В контексте гипотез Блоха — Като кажется более простым определить НЧ (Х, Щп))у как подгруппу в Н'~~ (Х, Щп)), образованную такими х, что г„.ь>(г) Е Н)(С«, Н«(Х Э С2, >и> (и))) для любого 1, и заменить в формулировке гипотез Н*т~(Х, С)(п))я ва Н'~~(Х, Щп))у, избежав таким образом иеобходи- МОСТИ ПрЕдПОЛаГатЬ, ЧтО Н'~~(Х,>«(П))г = НМт~(Х, С)(П))у.
з> Тот факт, что с„» есть изоморфизм, доказав в некоторых частных случаях Янсеном ]Заа9, За90]. 220 Жан-Марк Фантен 9.5. Случай тп = з/2, где ( четно, очень похож на предыдущий; но, поскольку вес структуры М равен О, то возможно, что Но((.1, М) ~ О. Функция з,(Нтш(Х), з) снова должна иметь в точке з = т нУль порядка с(нннНй+'(Х~н, К(п)), но у нее также должен быть полюс порядка сйтс)Но(Я,Нз (Х)(т)) в точке з = и = т+ 1. При той же переформулировке, что и в случае тп < з/2, точная последовательность зу (М'(1)) записывается в виде О т В. ®с) Но+из (Х, Щп))я — » Н~~~(Хтн, К(п)) — + К зс) Но((;1, м) -+ О, и если Сь (Х) обозначает группу классов циклов коразмерности т по модулю гомологической эквивалентности, то отображение, входящее в гипотезу Бейлинсона (предполагается, что оно является изоморфизмом), имеет вид (В.
®ц Н'л+'(Х, Я(п))я) Ф (К 8 Сь (Х)) — + Н'~е'(Хун, К(п)), где К З Сь (Х) — > Н~+'(Хув„К(п)) индуцировано отображением цикла в когомологиях де Рама. По модулю той же интерпретации, что и при т < з/2, и стандартной гипотезы, которая утверждает, что естественное отображение Сь (Х)сз — е На Я, М) есть изоморфизм, можно проверить, что гипотеза Сов(М) снова эквивалентна гипотезе Бейлинсона') . 9.6. Рассмотрим, наконец, случай, когда тп = п = (з + 1)/2 (где з нечетно). Тогда М является чистой структурой веса -1 и отождествляется с М*(1), откуда следует (см. п. 7.1), что точная последовательность гу (М'(1)) соответствует наличию невырожденной билинейной формы (, ) м: К бг Ну (С1, М) х В.
Э Н~з Щ, М) — + К, и размерность ьг-векторного пространства Н'(ь1, М) должна равняться порядку нуля функции Х(Нз '(Х), г) в точке з = тп. О Чтобы зто доказать, нужно вычислить отображение-композицию К Э Сь" (Х) -» Н.'+'(Хун, К(п)) -» К Э Но(ь), М)'. Оно пропускается через естественное отображение В.Ф С~ж(Х) в К ® НоЯ, М). Возникающее при этом отображение КСр НоЯ,М) -» Ке НоЩ,М) получается расширением скаляров из изоморфизма НоЯ, М) » Но(С), М), который возникает из отождествления М с двойственной ей структурой («трудная» теорема Лефшеца плюс двойственность Пуанкаре).
ЗНАЧЕНИЯ Ь-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 221 Напомним [Ве87, В!84Ь), что в этом случае, если СН (Х)о обозначает группу классов циклов коразмерности т, гомологичных нулю, по модулю рациональной эквивалентности и А — размерность Х, то существует спаривание (Х)о „СНо+»- (Х)о Предполагается (1ос,сН), что 14 З СН'"(Х) имеет конечную размерность над ь», что В;векторные пространства И З СН'"(Х)о и В. З СН~+» (Х)о являются двойственными друг к другу относительно этого спаривания и что если Ь Е СН'(Х) — класс некоторого гиперплоского сечения, то (пусть т < (д+ 1)/2; если это не так, то нужно поменять местами т и»(+ 1 — т) естественное отображение Ьо+» — Я, О З СН. (Х)о» Я З СН~+»- (Х)о есть изоморфизм.
Если с его помощью отождествить два последних ь1-векторных пространства, то (, ) даст Некоторую билинейную форму на В З СН (Х)о. Ожидается, что существует естественный изоморфизм ь1 З СН (Х)о на Ну»(14„М), отождествлЯющий (, ) с (, )м. Если это так, то Спн(М) эквивалентна гипотезе Бейлинсона. Для каждого простого 1 можно определить [1а90) 1-адическое отобразсеиие Абеля — Якоби СН"'(Х)о — + Н'Щ, Н~,'" '(Х З С), С)»(т))) = Н'(ь1, М»).
Можно снова ожидать, что его образ содержится в Н~ и что это отображение можно отождествить с естественным отображением из Ну(С) М) ЗС)» в Ну(О М»). 10. СКРУЧЕННЫЕ МОТИВЫ АРТИНА 10.1. Блох и Като [ВК90) доказали (по модулю некоторых мелочей) свою гипотезу для значений дзета-функции Римана в целых положительных числах. Их метод дает несколько больше: пусть»( — целое > 1 и Х вЂ” характер Дирихле, т.е. гомоморфизм из Оа1(Щрл)/Я) = (Е/аЕ)' в Е*. Он определяет мотив Артина Е(у) нод ь1 с коэффициентами в Е (который можно рассматривать как реализацию 1-мотива [Е » О), где Сс» действует на Е умножением 222 Жан-Марк Фонген на характер Х). Нас интересует поведение функции ЦХ, в) в точке в = гп, т.
е. поведение ЦМ, в) при в = О, где М = Е(Х)(т). Скажем, что Х является четным (соотв. нечетным), если Х( — 1) = 1 (соотв. Х( 1) = 1). а) Если т = О или 1, то мы имеем дело с 1-мотивами и гипотезы верны. Ь) Если пт < О и гп и Х имеют различную четность, то С„(М) и Сов(М) утверхсдают, что Цх,пт) является ненулевым рациональным числом, что хорошо известно; в этом случае соответствующая мотивная структура является критической, и если 1 — простое число, то из «основной гипошеэы» теории Ивасавы (для 1) можно вывести, что если б такое же, как в формулировке Сов(М), то ]1 З б]блр = 1; согласно Мазуру и Вайлсу [М%84], эта гипотеза является теоремой, если 1 не делит г1О.
с) Если гп ) 2 и ги и Х имеют одинаковую четкость, то в этом случае наша мотивная структура снова является критической (двойственной к предыдущей, если заменить Х на Х '); функциональное уравнение показывает, что С,(М) и Срв(М) верны. Достаточно тонкий локальный анализ позволяет вынести из предыдущего случая, что если б такое, как в Срв(М), то ]1 З б]г кр = 1, по крайней мере если ( не делит гь гг) Если пт < О и пг и Х имеют одинаковую четность, то функция ЦМ, в) имеет простой нуль в точке в = О и, следовательно, ЙшнН~~Щ, М'(1)) должна равняться 1, где М*(1) = Е(Х ')(1 — т). Делинь построил некоторое нетривиальное расширение 1«1л с помощью М*(1) в категории Сс1(Е) ([Ве89, и' 3.18]; для полной строгости нужно еще проверить существование изоморфизмов сравнения для р, делящих гг).
Ожидается, разумеется, что это расширение является мотивной структурой н что его класс порождает Н~гЩ, М'(1)). Если это так, то Сов(М) верна и, в прежних обозначениях, ]1 З б[г нр = 1, по крайней мере, если 1 не делит уг(г(). е) Наконец, случай, когда гп ) 2 и четности различны, выводится нз с() так же, как с) нз Ь): по модулю того, что расширение Делиня является «хорошим», устанавливаем, что Сов(М) верна и что [1 З ]г кр = 1, по крайней мере если 1 не делит ~р(г1). 10.2.
Замечание. Рассмотрим случай е); можно определить группу мотивных когомологий Кв„, г(Х)<™>, являющуюся Е-векторным пространством размерности 1, и регуляторы [Бо79], позволяющие, И Иначе говоря, Свк(М) верна с точностью до умножения на рациональное число, являющееся единицей, помимо тех простых Ь для которых Р)о. ЗНАЧЕНИЯ Ь-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 223 как и в пп. 9.3 и 9.4, переформулировать гипотезы без ссылок на расширения мотивов. Похоже, что Вейлинсон доказал [Ве90], что эти конструкции совместимы с конструкциями Делння. 10.3.
Предположим, что поле г' является вполне вещественным, и рассмотрим функцию 1,(г',з) в окрестности з = т. Конечно, это частный случай ситуации; рассматривавшейся в разд. 9, где Х = Брес Р' и з = О. Видно, что целые отрицательные нечетные т являются критическими. Гипотеза Срв(М) утверждает, что для любого такого т число г,(Г,т) рационально и не равно нулю, и можно показать, что Свк(М) эквивалентна гипотезе Лихтенбаума [1372]. В тех же обозначениях, что и вьппе, Свк(М) сводится к проверке того, что [1 81 6]1 кр = 1 для любого !. Известно [ВХ78], что для фиксированного ! это условие следует из соответствующей «основной гипотезы».
В частности, если Р/Я абелево, это верно, по крайней мере если !з не делит кондуктор Г'1. 10.4. Замечания. (!) Рассмотрим категорию смешаннвгх мотивов Тейта над г', т. е. полную подкатегорию категории смешанных мотивов над г с коэффициентами в к1, объекты которой есть последовательные расширения скручиваний по Тейту единичного объекта. Разумеется, единственная интересная Ь-функция, возникающая из этой категории, — это функция г,(г', з). Между тем результаты Делиня о Р' — (0,1,оо) ([Ое89], см. также [!!89, ВСВУ90]), по-видимому, дают способ реализации этой категории как полной подкатегории категории СрЩ); интересно было бы проверить, так ли это на самом деле и является ли.полученная категория 7-допустимой.
Можно поставить тот же вопрос н для несколько большей категории, образованной мотивами, являющимися последовательными расширениями скрученных мотивов Артнпа. (й) Мы лишь слегка коснулись понятия мотивных когомологнй, которые все-таки являются одним из главных инструментов в исследованиях, связанных с данными гипотезами. (ш) Похоже, что блестящее будущее ожидает использование многообразий Шимуры длл построения смешанных мотивов (это позволяет, в частности, проверить в некоторых случаях, что если Х (М, 0) = О, то существует нетривиальное расширение единичного мотива с помощью М'(1)); см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
