Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Они положили Таш(Е) = рвк П Ае(®) Ае(ч) рея(с)) (это также равно)»вк,,, (Ае(К))АеЯ)) Пр~ )«вк,р, (АеЯр))) и предположили, что конечная группа Ш(Ог) равна нулю для почти всех 1'и что если положить 1П(О) = П~ „р н» ш(%), то , Т (О) = УНе(0,М*(1)~О'(1)УУШ(О). для р ~ 5я) положим )»икр = )«вк,рм~ если р ,е =))р (М,1)(-' рвк в противном случае (таким образом, это мера, рассматривавшаяся в п. 11.3). Обозначим через )»евк соответствующую меру-произведение на П Ае(Яр) и положим Таш'(М) = )»вк Ц' Ае(Чр) Ае(Ф рея(с)) Гипотеза, Блоха и Като эквивалентна следующему утверждению: Ст„„(М): ЦМ,О) = Таш (6)фШ(0)/ЭГНаЩ М"(1)/О'(1))) Из предложения 11А нетрудно вывести, что эта гипотеза эквивалентна Свк(М). 11.7.
Замечание. Похоже на то, что гипотезу Свк(М) можно переформулировать в духе Ст, (М) для любой мотивной структуры М. Но тогда нУжно Работать с меРой )»ел к (в дополнении к области сходимости мера )»вк не определена) и заменить «группу» Ае на некоторый»)омплекс. ЗНАЧЕНИЯ б-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 229 12. Л-АДИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ПОЛУПРОСТЫЕ МОТИВЫ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕПОЛНЫЕ 1 ФУНКЦИИ'1 12.1. Положим для любого и Е С (см. [Ве70]) Гн,(и) = и '72Г(в/2).
Пусть К Е (К, С) и У вЂ” смешанная структура Ходжа над К с вещественными коэффициентами. Определим на У убывающую фильтрацию Н;векторными подпространствами, полагая для любого т Е Е Т'У = наибольшее подпространство в У, такое, что (у"У)О С Рт'1" УО. В случае К = К заметим, что подпостранства .у"(У) инвариантны относительно группы Са1(С/К), которая, таким образом, действует на дт'У; положим тогда и+ = г[1шн(дт' У)+ и и„ г[[шн(дг" У) . Если же К = С, то положим пт = и„= г[[шндг"У.
В любом из этих двух случаев положим21 г (У,в) = П 1 н(я +ег — и) " Гн(и+ 1 — сг — г)™" геХ где е„Е (О, Ц определяется из соотношения е„= г (шог[ 2). Аналогичным образом (см. [РР92]) можно определить также «локальную константу» с(У, г/о, Ро). Заметим, что (уоУ)+ отождествляется с Кегсгу и что функция ЦУ, и) имеет в точке я = 0 полюс порядка г[ппиКего~ . 12.2. Замечание. чХорошие свойства» локальных архимедовых факторов не меняются при замене Гн(в) на а Гн(в). Недавние работы Денингера [Оеп90, Оеп91) подсказывают, что нужно взять а = 1/~/2. 12.3. Пусть теперь р — конечная точка Г и В,г р есть В,„а р-алгебра Вы, соответствующая расширению Рр/Рр (см., например, [1!90, и'.
1.2.3]). Пусть[ — произвольное простое число; тогда говорят, что 1-адическое представление У группы Ср является полдсгпабильмым (1) в случае, когда р не делит 1, если действие группы инерции Тр унипотентно; О См. [РР92[. Для простоты мы будем предполагать, что Е = С1, но обобщение не представляет труда. >Легко проверить, что в случае чистой структуры Ходжа получается обычное определение [Бв70[. 230 Жан-вларк Фоитеи (й) в случае, когда р делит 1, если с1ип1Р,1«(В,с Зс1, 'г)~ = Йшс1,И. Говорят, что представление И является потенциально полустабильным, или ргс-представлением, если существует такое конечное расширение Гр' поля Гр, что И является полустабильным как представление группы 6а1(Г»/Гр). Если р не делит 1, то это всегда так (это утверждение теоремы Гротендика об 1-адической монодромии, [БТ68, Аррепс11х]).
Если же р делит 1, то это уже не всегда верно'1. С любым 1-адическим рэс-представлением»г группы Ср можно связать некоторое линейное представление группы И'р, группы Вейля — Делиня поля Гр, с коэффициентами в ь41, еели р не делит 1 (см. [Пе73; Та79, 34])г1, и в (Гр)о, если р делит 1 (см. [Вцгеэ]). Это приводит к тому, что У можно сопоставить не только множитель Ьр(7;г) = РрЯ А1(р) ') ', определенный, как в п. 3.3, но также кондуктор ар(И) и «локвльную константу» гр(Ъ; гр, с(х, в) [Та79, 3 4].
12.4. Говорят, что 1-адическое представление СР является геометрическим, если оно является рэс-представлением во всех конечных точках и неразветвлено в дополнении к их конечному числу. «Гипотеза» (см [ГМ92]). Пусть 1 — простое число. Функтор М ье М1 индуцирует тензорную эквивалентность между ь41- линейной категорией, получаюгцейся из категории оМРЩ) расширением скалярое Сг -» (41, и полной подкатегорией категории 1-адических предсглаелений группы СР, обвектами которой яеляюглся геометрические представления. В частности, если М вЂ” объект категории ВМРЕ), то для любого простого числа 1 его 1-адическая реализация является геометрическойз1. Если это так и если р †точ поля Г, лежащая нэд простым числом р, то имеется занумерованное простыми числами 1 семейство представлений группы И'з, о которых предполагается, 0 Любое потенциально полустабильное представление является представлением типа де Рама; я не знаю, верно ли обратное утверждение, представляющее собой что-то вроде теоремы о р-адической монодромии.
з1 Конструкция етого представления зависит от выбора некоторых данных, но его класс изоморфизма не зависит. з1 Таким образом, «хорошими» являются полусглобнльнме мотивы, т.е. такие М, что для любых 1 и р представление М~ группы С» является полустабнльным. Должна иметь место теорема о нолусшлбнльиоа редрицон, утверждающая, что каждая мотивная структура нцц Р становится полустабильной после конечного расширения сквляров. Для 1-мотивов зто утверждение без труда выводится из теоремы о полустабильной редукции для абелевых многообразий. ЗНАЧЕНИЯ Ь-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 231 что они определены над ьй и совместимы [1)е73, и' 8.7]. Это позволЯет опРеДелить ар(М) и ер(М, «Р, Их) как ар(М~) и е»(МБ«Р, дх) для любого выбора ), включая 1 = р.
Если р Е о (Р), то обозначим через ер(М фо ио,в) константу ер(М, фо;)»о), где Мр — смешанная структура Ходжа над Р, ассоциированная с М. Пусть»р — нетривиальный алдитивный характер группы Ар/Р и с)х = Зарх» — мера Тамагавы на Ар, тогда можно определить множитель е(М, 9) обычной формулой е(М, 9) = Пер(М,«др,гзхю 9), Р В ЗтОй ОбЩЕй СнтУаЦИИ, ЕСЛИ Л(М, 9) = П ЗО») Ьр(М, 9) — «ПОЛ- ная» 1 функция объекта М, то функциональное уравнение записывается в следующем виде: «Гипотеза» СВР(М).
чзункция Л(М,9) допускает мервмвр4ное пропвлженив на С и ус)ввлептворлет уравнению Л(М, 9) = е(М,9) . Л(М'(1), — 9). 12.5. По-видимому, можно проверить, что если О-»М' — »М — +Мн-+Π— короткая точная последовательность в оМР(ь1) и если выполНяЮтея дВЕ ИЗ трЕХ ГИПОТЕЗ СВР(М'), СВР(М), СВР(Мн), тО таК же обстоит дело и с третьей. Если СВР(М) выполнена, то можно проверить, что гипотезы С„(М) и С„(М'(1)) эквивалентны, так же как и гипотезы Срв(М) и Срв(М'(1)). С гипотезой,СВК ситуация болееделикатна: Б. Перрин-Риу анонсировала (РР92) некоторую гипотетическую формулу Скрр(Ъ'), элементарную по сути, но слишком длинную для того, чтобы ее здесь привести, для вычисления «характеристики Эйлера — Пуанкаре» р-алического рве-представления Ъ' группы Ср (где р делит р). Можно доказать, что если мотив с)ес(М) является скрученным по Тейту мотивом Лртина, Снрр(М) верна для любого р и верна Сир(М), то гипотезы Свк(М) и Свк(М"(1)) эквивалентны~).
Н Интересно отметить,что в доказательстве Блоха и Като их гипотезы для значений дзета-функции Римана, которую они формулировали лишь для значений в положительных целых числах,им приходится сначала проводить доказательство для целых отрицательных чисел, затем проверять Спр,»Щ»(»)) и использовать функциональное уравнение. Жги-Марк Фантен 12.6.
Пусть 5-- конечное множество точек Е, содержащее все бесконечные точки. Тогда можно сформулировать гипотезы С, з(М), Сов,з(М) и Снк,в(М) о поведении функции Ьв(М, г) в точке з = О с помощью формализма, совершенно аналогичного тому, который был развит для ЦМ, г) и который мы не будем здесь развивать за недостатком места. Скажем только, что группы Н~ЯМ) и Ну»(Р, М'(1)) следует заменить на Ну» в(Е, М) и Ну» з(Е, М*(1)), где Ну~ з(Е, М) = (х е Н (Е, М) ~ х»,р е Нг(Рр, М») для любого простого 1 и р ф Я), что ожидаемый порядок нуля функции Ьв(М,з) в точке з = О равен с)(шс»Ну» в(Л; М'(1)) — д»шс»Но(Г, М'(1)) и что естественное отображение из Н' з(Р, М) в Н'(К, М») должно индуцировать изоморфизм ь1» Эс» Й~з(М) на Г Н 1 Е М Р Л4)) ~ У( Н,'(гр', М»), если р Е 5, где Н'(Рр, М») обозначает подгруппу в Н'(гр, М»), классифицирующую рз»-расширения ь1» с помощью Мь Интересно отметить, что единственный разумный способ сделать все эти гипотезы совместимыми друг с другом заключается во введении следующих гипотез: «Гипотеза».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
