Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(д((1)) — + Н,(д1(1, )). Наконец, легко сравнить гомологии алгебр Лн д((1») и д1(1). П 2.5. Замечание. Отметим, что верно и обратное утверждение к предложению 2.4 (М. Водзицки, частное общение). 3. ГЛАВНАЯ ТЕОРЕМА Мы ограничимся следующим случаем теоремы Суслина и Водзицки. 248 Жан-Лун Лоде 3.1. Теорема. Для всякой С)-алгебры (не обяэагпельно с единицей) 1 следующие условия эквивалентны. (а) 1 Н-унитарна, (Ь) Х НС-вьареэаема (с lс = ьг), (с) 1 выреэаема длл Кг1. Импликации (а) е» (Ь) и (с) => (а) есть уже в (%1] (ср. равд.
2 и 5.5). Новый результат, который появился в [Б-'1э], — зто импликация (а) ~ (Ъ), которую мы теперь и собираемся разобрать. Мы хотим выразить свойство К-вырезания (соотв. НС-вырезания) в терминах гомологий групп СХ (соотв. алгебр д1), ср. п. 1.4 (соотв. п. 2.4). Следовательно, нам нужно найти способ сравнить эти две группы гомологий. Идея состоит в том, чтобы использовать конструкцию Володина для описания гомологий групп СХ.
Эта конструкция использует возможность восстановления группы СЦ1) по подгруппе Т„(1) треугольных матриц. А именно, мы собираемся построить пространство Т(1) (соотв. Т(Х)), начиная с построения классифицирующих пространств ВТ„(1) (соотв. ВТ„'(1)), а затем применяя непрерывное отображение Т(1) -~ Т(1). Аналогичным образом, в рамках алгебр Ли, будем ставить в соответствие алгебре Ли д1(1) (соотв. д((1)) цепной комплекс 1(1) (соотв.
1(1)), строящийся по алгебрам Ли 1'„(1), соответствующим Т~(1). Затем строится морфизм комплексов 1(1) -+ 1(1). Ключевой момент, использовавшийся впервые в аналогичном контексте в статье Т. Гудвилли (С], состоит в том, что, поскольку Т„(1) — нильпотентная группа, можно сравнить ее рациональные гомологии с рациональными гомологиями алгебры Ли г-"„(1). Это позволяет сравнить Н. (Т(Х)) с Н,(1(1)) и Н,(Т(1)) с Н,(1(1)). Сформулируем план доказательства импликации (а) ~ (с) теоремы 3.1: 1 Н-уиитарна 1) (0) 1 НС-еырезаема Ы Н.(д1(1)) ~ Н.(д1(1)) Ы Н.(1(Е)) ьп Н.(1(1)) а (3) 1 Кп-вырезаема с:= Н,(СХ(1)) о' Н.(СХ,(1)) еа Н.(Т(1)) се Н.(Т(Х)).
Этапы (О) и (1) обсуяслались в равд. 2. Этап (1') обсуждался в равд. 1. Обсудим теперь некоторые подробности этапов (2), (2') и (3). ВЫРЕЗАНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ К-ТЕОРИИ 24О 4. КОНСТРУКЦИИ ВОЛОДИНА Пусть 1 — псевдокольцо. Для любого частичного упорядочения о набора (1, 2,..., п) обозначим через Т„'(1) подгруппу о-треугольных матриц группы СЕ„(1): Т„'(1) = ((ау) Е СЕ„(1)(а;,. = О, если1 у'. у' и ан — — 1, 1 < 1 ф г' < и).
В частности, если о — обычное упорядочение 1 < 2 « ... и, то Т„(1) будет просто подгруппой верхнетреугольных матриц в обычном смысле. Классифицирующее пространство ВТ„'(1) является подпространством пространства ВСЕ„(1) и пространство Т(1) ( )„, ВТ„'(1) является подпространством пространства ВСЕ(1) (замечание: это не дизъюнктное объединение).
Связь между гомологиями пространства Т(1) и гомологиями пространства ВС1(1) получается в виде спектральной последовательности следующим образом. Для любой дискретной группы С классифицирующее пространство ВС имеет универсальное накрытие ЕС, которое стягиваемо.
Если (С,) о — семейство подгрупп группы С, то существует связное надпространство У (С, (Су)) пространства ЕС над ()у ВС, на котором действует С и для которого имеется спектральная последовательность Ерг — — Нр(ВС;НгЯ(СЗ(С11))) =р Нръд ЦВС . (4.1) Это пространство, называемое пространством Володина, обладает, кроме того, следующим свойством. Для любого другого набора (С',(С'),) и любого гомоморфизма гг: С -+ С', такого, что р(СЗ) С С' и у: С/Сн П . Г1 С; — + С'/С',, Г1 .
П С', есть изоморфизм для любого набора из р индексов, индуцированное отображение И(С, (Су)) -+ Ъ'(С', (С'.)) является гомотопической эквивалентностью. На практике обычно эти конструкции работают в рамках симплициаяьных объектов. 4.3. Предложение. Для любого псевдокольца 1, такого, что 1 = 1г, следующие условия эквивалентньс 250 Жеи-Луи Лоде (а) Н„(С1.(1)) — Н,(С1(1)), (Ь) Н.(Т(1)) = Н,(Т(1)). Набросок доказательства. Из свойства (4.2) следует, что два пространства Володина У(1) и У(1) гомотопически эквивалентны. Затем можно показать, что СЦ1т) (соотв. С1(1т)) действует тривиально на Н,(У(1)) (соотв.
Н,(У(1)). Тогда наше предложение является следствием сравнения точных спектральных последовательностей (4.1) для Т(1) = (]„, ВТ„'(1) и Т(1) = (]„, ВТ„'(1). 0 Для доказательства этапа (2) повторяются предыдущие рассуждения, но в рамках алгебр Ли. Разница в технике состоит в том, что классифицирующие пространства заменяются комплексами.
Точнее, объект базы — это комплекс Шевалле — Эйленберга С. (ц, М): -е М з Л" ц — ~ М З Л" 'ц -+ " -+ М, где ц — алгебра Ли над коммутативным кольцом к, Л"ц — ее и-я внешняя степень, М вЂ” некоторый ц-модуль и д задается формулой д(90 91~ ° ° ° ~9и) = ~~~ ( 1) (90 ° ° ~й-1 [дг 91] 0<е<1<и д -,.",д„",9-), где дв Е М, де,,д Е ц. По определению гомопогии алгебры Ли ц с коэффициентами в М, обозначаемые Н„(ц, М), — это гомологии комплекса С,(ц, М). Для любого семейства (цу) з подалгебр Ли алгебры ц пространство Володина заменяется некоторым комплексом Володина о*(ц, (цу)) С С,(ц, П(ц)) ((1(ц) — универсальная обертывающая алгебры Ли ц).
Аналогом пространства Т(1) является комплекс 1,(Е), который строится следующим образом. Пусть 1'„(1) — алгебра Ли в-треугольных матриц из 91„(1). Комплекс С,(г„(1)) — это подкомплекс комплекса С,(д1„(1)). По определению 1,(1) — это следующий подкомплекс комплекса С,(9((1)): 1.(1):= у 'С.(1„(1)). п,е Свойства комплекса Володина, совершенно аналогичные свойствам пространства Володина, позволяют доказать ВЫРЕЗАНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ Б - ГЕОРИИ 251 4.4. Предложение. Длл любой й-алгебры 1, такой, что 1г = 1, следующие условия эквивалентнкс (а) Н,(д1(1)) — Н,(д1(1)), (Ь) Н,(1(1)) = Н,(1(1)). П 4.5.
Замечание. На самом деле комплексы 1(1) и 1(1) ацикличны, поскольку 1 является Н-унитарной (ср. рэзд. 9 в [Я-%]). В новом препринте [Яи2] А. Суслин дал прямые указания для доказательства этой ацикличности, сделав ненужными этапы (0), (1) и (2). Тем не менее они очень интересны для полного вычисления препятствия к вырезанию (ср. равд. 5.). 5. СРАВНЕНИЕ ГОМОЛОГИЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ И ЕЕ АЛГЕБРЫ ЛИ Теория Мальцева устанавливает взаимно однозначное соответствие между нильпотентными алгебрами Ли и над Се и нильпотентными группами 1У с однозначным делением. По этому соответствию Т„отвечает г'„(1). Главным моментом здесь является следующий результат. 5.1. Теорема (ср.
[Р]). Длл любой нильпотентной алгебры Ли и над Сг существует канонический извморфизм (градуированных коалгебр) Н. (и, Сг) — Н,(Н, Сг). Слева стоят гомологии алгебры Ли, справа — гомологии дискретной группы. Набросок доказательства. Универсальная обертывающая 11(и) алгебры и имеет пополнение в топологии, определяемой ее идеалом аугментации, которое обозначается У(и)". Такая же алгебра Сг[Ю] дискретной группы АГ допускает аналогичное пополнение, обозначаемое С)[Х]А. Тогда в силу условия нильпотентности выполняются следующие условия (ср. [Р]): (а) вложение Н с (Н(и)")» индуцирует изоморфизм алгебр ХОпфа ЩАГ]А И (1(и)л (Ь) Сг[Ж]~ плоская нзд ЩХ], (с) 11(и)~ плоская над (1(и). Два последних условия выполняются в силу свойства Артнна— Риса. 252 Жги-Луи Лоде Изоморфизм из теоремы 5.1 можно построить, сравнивая абстрактно резольвенты, дающие соответственно комплекс Шевалле— Эйленберга (для и) и комплекс Маклейна (для Н).
Но доказательство этим методом его каноничности представляется весьма тонким (ср. [3-%, 3 5]). Другой метод состоит в сравнении этих двух групп гомологий с Тот ~"~ Щ, ь)) = Тот'~( ) Щ, Я), как в [Ь2, ХЬ3.14].П С помощью классических аргументов из точной последовательности Майера — Вьеториса можно вывести следующий результат: 5.2. Теорема.
Для любого псевдокольца 1 имеется изоморфизм Н,(т(1)):= Н. ([ [НТ„.(1) ~ = Н, ('> С.(7„(1))) =: Н.И(1), ~т« / ~тс и аналогичный изоморфизм имее«п место для Т(7) и 61). Отсюда мы выведем последний шаг доказательства (3): 5.3. Следствие. Для любой йг-алгебры 1 следующие условия эквивалентны: (а) Н,(Т(1)) = Н,(Т(1)), (Ь) Н,(7(1)) = Н„(г(1)). П 5.4. Замечание. Теорема 1 (1 — псевдокольцо, 1<э Н-унитарна) происходит по существу из теоремы 3.1 (справедливой для 1сг) и того факта, что группа Н (Т„(1); Я) изоморфна Н,(Т„'(1о); С)) (и аналогичного факта с Т вместо Т). 5.5. Комментарии к 0оказательству импликации «1 Ксз-вырезаема => 1 Н-унитарнам Этот результат был прежде получен М.
Водзицки [«Уг] с использованием техники того же типа. Главное состоит в том, чтобы выбрать, начиная с 1, вырезание, что сводится к вычислению относительной К-группы К,(Н„7)сз, где 7 — нильпотентный идеал. Ключевым моментом является теорема Гудвилли [С], утверждающая, что тогда имеется изоморфизм К,(Н„7)с~ и НС,,(Я„7)о. (5.6) Предположение о К-вырезании (обращение в нуль некоторой относительной К-группы) влечет за собой тогда обращение в нуль ВЫРЕЗАНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ К-ТЕОРИИ 253 некоторой группы относительных циклических гомологий.
Пример (В,.Х) подобран таким образом, что группа относительных циклических гомологий содержит Н [В. [1), Ь') в качестве прямого слагаемого. Отметим, что представленные выше идеи относительно пространств и комплексов Володина проистекают из доказательства изоморфизма (5.6), предложенного Т. Гудвилли [6], и статьи [Бп1] А. Суслина. б. ПРЕПЯТСТВИЕ К ВЫРЕЗАНИЮ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ К-ТЕОРИИ Пусть 1 — двусторонний ццеал кольца А. Пусть Р: А — > В— гомоморфизм колец, такой, что при ограничении на 1 он становится ииъективиым и у(1), обозначаемый также Х, — двусторонний идеал кольца В.
Коммутативная диаграмма А — ~+ В А/1 — ~-+ В/1 [6.0) -+ К„(А) -+ К„(В) Ю К„[А/1) — ~ К„[В/1) -+ К„1(А) -+ .' + Ко[В/1). (6 1) Как уже указывалось во введении, Ке(А,1) — > Ке(В,1) — всегда изоморфизм. Если к тому же ~р сюръективен, то можно показать, что имеется также изоморфизм К1(А, 1) — + Кг(В, 1) (ср. [М, !ешше 6.3]). Если положить .7 = )сеттер, то это эквивалентно тому, что для кольца А и двух двусторонних идеалов 1 и 7 выполняется условие 1Г1,7 = 10).
В этом случае естественно построить биотносительные К-группы К„(А; 1, .7), составляющие точную последовательность . -+ К„(А; 1„7) -+ К„(А, Х) — > К„[А/1, 1 +,7/,7) -+ К„1(А;1, 7) -+ . (6.2) декартова. Если 1 является К-вырезаемым, то существует изоморфизм К„(А, 1) = К„[В, 1), из которого выводится точность последовательности Майера †Вьетори 254 Жан-Луи Лоде Эти группы — препягостеие к точности последовательности Майера — Вьеториса.
Предыдущие результаты выражаются в следующем виде: Ко(А; 1, 1) = Кг(А; 1, 1) = О. Первый пример, для которого Кг(А;1„1) ~ О, был построен Сваном [Яи]: А = Е[х,у]/(ху),1 = (х),.1 = (у). В этой ситуации Кг(А;1,.7) является прямым слагаемым в Кг(А). Элемент, нетривиальность которого доказал Сван, является образом стандартной порождающей группы Нг(Ег) (фундаментального класса тора) при гомоморфизме р,: Нг(Ег) -+ Нг(Е(А)) = Кг(А), индуцируемом гомоморфизмом р: Е~ -~ Е(А), р(1,0) =, р(0,1) = На самом деле можно точно вычислить первую группу препятствия. 6.3.
'Георема [6%-1,,К]. Если 1 П,У = (О), п~о Кг(А; 1, 1) = 1егл.Я, где А' = А З А г. Заметим, что эта теорема не требует предположения о рациональности. Если заменить К-теорию циклическими гомологиями (напомним, что имеется сдвиг размерности в обозначениях), то легко доказать, что НСо(А;1„7) = 0 и НСг(А;1,1) = 18д.Х Эти вычисления, соединенные с изоморфизмом Гудвилли (ср. (5.6)), сравнивающим К-теорию и циклические гомологии для нильпотентного идеала, и с доказательством теоремы Суслина— Водзицки, подсказывают следующую гипотезу: 6.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
