Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Отображение б: П(п)/0(п) -+ У, и ~-т (с1есО и)г, индуцирует изоморфизмы хт(Л(п)) -+ кт(У), Н'(У, Е) -+ Н'(Л(п), Е). Определение. Пусть у: Ю вЂ” > А" — лагранжева иммерсия. Индексом Маслова пары (Лт,у) называется класс 3(т) Б Нт(тт', Е), где через т обозначена каноническая образующая группы Н'(Л(п), Е) и 1: х + Ту(Т,Н) — это отображение Лт -+ Л(п), порожденное отображением у. Жан-Кристоф Йоккоз 3!4 Теорема [Ч]. Индекс Маслова вложенного лагранжева тора, го- мотопного нулевому сечению (г = О) С А", равен нулю.
Определение. Пусть 1 — непрерывное отображение метрического пространства (Х, д) в себя. Точка х Е Х ценно рекуррентна, если для всякого г > О существуют такое и > О и такая последовательность точек х = хо,хы...,х„= х, что с!(1хнх;„г) < г для всех !, О < ! < п. Отображение 1 цепко рекуррентно, если всякая точка ценно рекуррентна. Для Н > О положим А" (Н) = Т" х [ — Н, +Рс]". Теорема [Нб]. Пусть ЦВ,г) = (В + 1(т),т) — вполне интегрируемый симплектический диффеоморфизм многообразия А"(И). Предположим, что Ш(т) > О для всех т Е [ — Н, +гс]". Пусть г > О. Всякое симплектическое вложение Е: А" (Н) А", достаточно Сг-близкое к отображению Ь, обладает следую- и!им свойством: всякое связное лагранжево компактное подмногообразие !Ч С А" (В) с нулевым индексом Маслова, инвариантное относительно Р и такое, что ограничение г"[н ценно рекуррентно, является тором, графиком некоторого отображения ф Е С~(Т",Нв), удовлетворянпцего условию [[Оф[[ < г.
Следующее замечание является решающим в доказательстве теоремы: обозначим через Х: А"(Я) х Л(п) -+ А"(Н) х Л(п) (где Л(п) — универсальная накрывающая многообразия Л(п)) отображение, отвечающее Т1; если точка (г,6) Е А" (В) х Л(п) ценно рекуррентна относительно некоторого малого Со-возмущения отображения Х, то проекция плоскости Ь в Л(п) близка к горизонтальной плоскости Ло. Относительно невозмущенных обобщений второй теоремы Бнркгофа см. [В!, В-Р2, Ро!]. 5.3. Динамика общего положения [Н5]. Рассмотрим, как и вы- ше, симплектический вполне интегрируемый диффеоморфизм ~В,г) = (В + 1(г) г) многообразия А" (Я) и предположим дополнительно, что Ш(г) > О для всех т Е [ — гг, +Я]".
Для симплектического вложения Р: А" (Я) + А", С'-близкого к Ь, обозначим через 1Т (Г) множество гладких инвариантных глботы эгмлнл он иннлгилнтных топях 315 диофантовых торов, гомотопных нулевому сечению [г = О). Такой тор автоматически лагранжев [ср. п. 2.7), и по теореме Витербо его индекс Маслова равен нулю. По второй теореме из п. 5.2 это означает, что существует С'-окрестность И отображения 1, такая, что для Р Е У всякий тор Т б 1Т [Р) является графиком некоторой функции ю~т Е С [Т", [ — Л, +)ь]"), удовлетворяющей условию ]]ВФт]! < 1 Введем на пространстве Я липшицевых отображений из Т" в [ — В,+Я]" с постоянной Липшица ( 1 Се-топологию. Пространство Я компактно.
Отображение Т ~+ 4т превращает множество 1Т '(Р) в подмножество пространства Я; обозначим через 1Т[Р) его замыкание в о. Для всякого отображения ф е 1Т[Р) его график Те является Се-лагранжевым Р-инвариантным тором. Для любого Р б У и всякого отображения ф б 1Т[Р) ограничение Р]т ценно рекуррентпно: график ТЕ является пределом диофантовых торов, а множество ценно рекуррентных отображений замкнуто.
Для всех Р Е 57 и некоторого остаточного множества отображений ф Е 1Т[Р) ° отображение ч' принадлежит классу С', ° ограничение отображения Р на Те минимально, однозначно эргодично, и его число вращения есть число Лиувилля. Наконец, для общего отображения Р е 17 и остаточного множества отображений ф б 1Т[Р) ограничение отображения Р на ТЕ имеет нулевую топологическую энтропию, не является перемешивающим, является слабо перемешивающим и единственная мера, инвариантная относительно этого отображения, сингулярна и ее носитель является'борелевским множеством хаусдорфовой размерности О.
Эти последние свойства, прежде всего свойство слабого перемешивания, показывают, насколько динамика на общем торе отличается от динамики поворота! Другие общие свойства и доказательства приведены в [Н5], где демонстрируется вся мощь методов, основанных на категории Бэра. Замечание. Может ли лагранжев тор, инвариантный относительно общего симплектического диффеоморфизма симплектического многообразия Мз", содержать периодическую орбиту? При п = 1 легко показать, что это не так; Арно [А] показал, что для п = 2 зто также невозможно.
При п > 2 вопрос остается открытым. Жан-Кристоф Йоккоз 316 5.4. Индефинитное кручение [Н4]. 5.4.1. Предположения на Г из предыдущих пп. 5.2, 5.3 выполняются, в частности, для всех симплектических диффеоморфизмов некоторой окрестности гладкого инвариантного лагранжева диофантова тора, если кручение этого тора положитпельно (ср. 2.7); это вытекает из нормальной формы Биркгофа. Аналогичное утверждение имеет место и для отрицательного кручения. При возмущении вполне интегрируемого диффеоморфизма с вырожденным или индефинитным кручением ситуация изменяется драматически. 5.4.2. Пример. Положим ЦВы Вг, ты тг) = (Вг + тг, Вг + ты ты тг), Р(Вы Вг,тм тг) = (Вг + тг, Вг + ты тг + е р(Вг + тг), тг), где 0<с«1, рЕС (Т'), де(тл = О.
т Для всех а б Й. подмногообразие М = (тг = а) инвариантно относительно Г. Для и > О имеем г'"(ВыВг,тыа) = (Ог ~,6~~ ~,Вг ~,а), где Ог ~ = Вг+па, О~~ =В,+птг+е,'г (и — г)р(Вг+га), 1 Нг"1 = тг + е ~~~ уг(дг + га). 1 1-й случай; уравнение ф(дг + а) — ф(Вг) = ~р(дг + а) имеет решение гр Е Со(Т'), для которого / „ф опг = О. Так происходит (при гР Е С'о(Т')), если а диофантово. Торы Т„заданные уравнением (тг — — егр(Вг) + с, тг = а), инвариантны относительно Г, а их объединение есть М . На торе Т, отображение г' Со-сопряжено повороту Н „в том и только в том случае, если у уравнения Ч(в1 + а) 71(в1) = гр(в1) есть решение гг е Со(Т ).
РАБОТЫ ЭРМАНА ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ТОРАХ 317 з-й случайт у уравнения ф(йт + о) — ф(бт) = ут(йт + а) нет решения ут е Со(Тт). Согласно Готтшалку и Хедлунду, для всех (Оы дг, гт, о) Е М выполняется равенство зир~Лт ~( =+со. л>1 Предположим, что среди коэффициентов Фурье функции ~р беско- нечно много ненулевых. Тогда ° для почти всех о Е В. М является объединением гладких инвариантных лагранжевых торов; ° для некоторого Сз-плотного множества значений а орбита каждой точки из М неограниченна.
Легко проверить, что инвариантные лагранжевы торы не могут удовлетворять никакому из априорных неравенств. Сопрягая диффеоморфизм р' точным симплектическим диффеоморфизмом, близким к тождественному, можно получить гладкие инвариантные диофантовы лагранжевы торы, гомотопные нулевому сечению (гт = гг = 0) и не являющиеся графиками. 5.4.3. Неустойчивость кручения. Для возмущения г' вполне интегрируемого симплектического диффеоморфизма Е с положительным кручением, как в пп. 5.2, 5.3, нетрудно показать, что всякий инвариантный тор Т Е ТТ (р') тоже имеет положительное кручение.
В частности, это имеет место, когда р' описывает (посредством нормальной формы Биркгофа) динамику симплектического диффеоморфнзма в окрестности инвариантного лагранжева диофантова тора с положительным кручением. Ситуация меняется радикально в случае индефинитного кручения. Пусть Š— симплектический диффеоморфизм симплектического многообразия (М,ит) и Т вЂ” (глздкий) диофантов лагранжев тор, инвариантный относительно г'. Предположим, что кручение диффеоморфизма г' вдоль Т вырожденно или индефинитно. Теорема. Существует С -возмущение Г диффеоморфизма г', которое сохраняет некоторььй диофантов лагранжев тпор Т, С' -близкий к Т, с произвольной заранее заданной отличной отп тождественного нуля сигнатпурой кручения вдоль Т.
Жан-Кристоф Йоккоэ 318 Неизвестно, можно ли полностью аннулировать кручение малым С' -возмущением. 5.4.4. Неустойчивость геометрии торов. Патология примера 5.4.2 при условии сохранения индефинитного кручения частично распространяется и на более общую ситуацию. Рассмотрим вполне интегрируемый симплектический диффеоморфизм Р(0,т) = (О+ Ит),т) многообразия А". Предположим, что матрица РВ(0) индефинитна или вырожденна; пусть о е К", е ф О, — такой вектор, что (е, Рс'(0)о) = О.
Возмущая при необходимости Ь (в классе вполне интегрируемых симплектических диффеоморфизмов), можно предполагать„ что с(0) Е Ц", о Е Я", (о, Р~~Яи,и)) ф О. С помощью линейной замены координат и взятия конечного накрытия добьемся того, чтобы В(О) =О, =(1,0,...,0). Тогда функция Я,т), такая, что Ж = В, имеет вид с'(ты О) = ат1 + 0(т41), а ф О. Рассмотрим гамильтониан Н(В,т) = Ят) — есое2х01 + а~"Вгть где 0 < )Д ),..., Щ, (е( «1. Гамильтоново поле Хн имеет и интегралов в инволюции тю...,т„,Н. Поверхности уровня при фиксированных значениях тз — — .. — — т„= 0 первых и — 1 интегралов и переменном значении последнего интеграла Н представляют собой произведение (п — 1)-мерного тора (с координатами Вы..., 0„) на кривые уровня функции (Выт1) ~+ 4(ННО) — есое2л01 + 01ть Эти кривые уровня изображены на рисунке ниже (для а > О, 01 < 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
