Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 63
Текст из файла (страница 63)
334 Мартин Барлоу Естественно, требуется некоторая работа, чтобы показать, что (7 (, у) « р. Наиболее быстрый способ — использовать форму Дирихле Е = а(у,д) + Е(7,д). Из неравенства (3.7) следует, что < с«Е«~ У Б '0 таким образом, отображение Т„; с -+ К, определенное формулой Т„(д) = д(у), является ограниченным. Отсюда следует (как в [Е1, З.З.З[), что Е допускает такое воспроизводящее ядро и (х,у), что (4.2) Е (н (,у),д) =д(у), УБЕЙ Теорема 4.1. (а) и (х,у) = и (у,х), х,у Б Р. (Ь) и есть непрерывная функция класса Гельдера д — ду на РхР. (с) 0„1(х) = [„.
и,„(х, У)у(У)р(ПУ), У Б С(Р). Из этого результата вытекают разнообразные вероятностные свойства процесса Х. В силу ограниченности функции и (ч у), записав Т» — — 1пЦ1 > 0: Х~ — — у), получаем на(х~у) ~ е на(у у) так что Р" (Т» — — 0) = 1 и у регулярна для (у).
Из гельдеровской непрерывности функции и вытекает, что Х имеет локальное время, непрерывное по совокупности пространственной и временной переменных (плотность времени пребывания) (Б,*, х Б Р, т > 0), откуда следует, что процесс Х «заполняет пространство»: Р*((ХБО < Ф < )т') = Р для некоторого Ф < оо) = 1.
Некоторые свойства процесса Х могут быть сформулированы проще, если вместо него рассмотреть процесс на неограниченной версии фрактала Р. Возьмем а1 —— О, чтобы подобие уУ1 задавалось формулой «р1 (х) = Л 'х. Затем положим Построение формы Дирихле Е, лапласиана Ь и диффузии Х на Р происходит непосредственно путем использования покрытий. При этом процесс Х удовлетворяет скейлинговому соотношению ГАРмОнический АнАлиз нА ФРАктяльных пРОстРАнстВАх 335 которое полезно сравнить с соотношением д Вг», = Вт для стан(т) дартного броуновского движения в Рсе.
Поскольку [Лт — Хо[ = 0(1), из (4.3) следует, что [Хт — Хо[ = 0(НУ" ) при г > О. (Напомним, что 1/д =!ойЛ/1ойт.) Точнее, мы получаем Предложение 4.2. (а) Процесс Х непрерывен по Гельдеру класса д ~ — е для любого е ) О, но не являетпся непрерывным класса т1,». (Ь) Существуют такие константам сысе, что при» > О с»Сете < Е*[Хт х[г < сгСгУе Более тонкие результаты, дающие точный модуль непрерывности для траекторий процесса Х, содержатся в [ВР, ВВЗ, Кшп].
Этот результат дает интуитивное объяснение «размерности» д : она управляет пространственно-временным скейлингом диффузии Х таким же образом, как число 2 управляет пространственно- временным скейлингом обычного броуновского движения. Следствие 4.3. (а) Процесс Х не являетсл семимартингалом. (Ь) Если т Е Сч(НЕ) и ДР Е 'В(с»Р), то ДР— константа. Пункт (а) следует из предложения 4.2 и того, что траектории семимартингалов имеют конечную квадратичную вариацию.
Что касается п. (Ь), то для у Е 'В(С») процесс тт М~ = ~(Х,) — ДХо) — / д»|(Х,)де в является мартингалом, а потому у (Хт) — семимартингал, что невозможно, если ДР не константа. Отсюда видно, что «гладкие функции» в с (ст Р) не имеют ничего общего с обычными гладкими функциями на Рс~. На настоящий момент не слишком много известно о структуре и форме функций из '0(О Р) или В. Из теоремы 3.1 мы видим, что они непрерывны класса д — ду по Гельдеру всюду; они также непрерывны класса -'д почти всюду в смысле меры и на Е. (Отметим, что поскольку -'д ) 1, последнее утверждение не может быть верно всюду.) Несколько более точный результат получен в [К2[: если оу — локальная мера, ассоциированная с Е(у,у), так что ЕД, () = / Рт(йх), т«Е 'В, ЗЗБ Мартин Барлоу то существует такая мера и на г', что и .1.
и и иу « и для всех у Б 'О. Неформально мы можем сказать, что для у Б Р получаем ('7Д = 0 д-почти всюду, где )((17Я, = оо. Так как функции и (х,д) непрерывны, а операторы У компактны, мы можем записать и (х,д) = ~~ (а+ Л,) 'ф;(х)ф;(д), ьы где 0 < Л1 < Ла < ...
суть собственные значения оператора — Ьр, а ф; — нормированные собственные функции. Отметим, что Л; и ф, удовлетворяют соотношению Е(фо У) = Л,(У, д) для всех д Б Ю. Теперь мы изучим асимптотическое поведение собственных значений. Положим ьч = (у Б Р: у = 0 на Р;), 1 = 0,1, м ЕлУ,д) = ЕЕи 1У РьдоФ,); значит, для у, д Б Р имеем м Е(у,д) = ~ рЕ(~ о ф;,д о ф,). (4.4) Так как Р1 С 'Рю то Л1(х) < тто(х). Однако если д есть собствен- ная функция оператора — Ьо и Ьод + Лд = О, то для 1 < 1 < М определим Ь, Б С(г') формулой ) доф, ' для х Б ф(Р), 0 для х ф ф;(г').
и обозначим через Ь, соответствующий лапласиан (который отвечает граничному условию Дирихле на Р;). Заметим, что если (Э,,У;.), а' = 1,2, — формы Дирихле с В1 С Ра и Е1 — — Еа на Ры то принцип минимакса (см. (СЬ]) показывает, что для Л'„, и > 1, являющихся собственными значениями оператора — Ь;, мы имеем Л„' > Л~. Следовательно, если М;(х) = ф(Л'„: Л„' < х), то Ф1(х) < Ф~(х).
Назовем функции Л, интегрироеаннмми плотпностями состояний (для (РОУ;)). Пусть Ж, Ф; — интегрированные плотности состояний для (Р, У), (Р„У,) соответственно. Если у,д Б В(Г„), то гармонмчнский янядмз ня фрактальных пространствах 337 Тогда для е 6 Р~ из формулы [4.4) и из того, что Ь, о ф, = д, получаем 5(бп н) = рб(д, е о ф,) = рЛ[д, е о ф,) = МрЛ[Бн, е).
Поэтому тЛ есть собственное значение оператора Ь| с кратностью М и М~(х) = МИ~(х(т). Сходную операцию мы проделаем и для неймановских собственных значений на Р, только на этот рэз она будет включать сечения в точках из Рм заменяя Р на дизъюнктное объединение пространств ф;[Г), 1 < 1 < М. Обозначая через ь" ассоциированное пространство Дирихле, а через Ю' интегрированную плотность состояний, мы получаем (осуществляя подходящее вложение) Р С Ю'.
То же рассуждение, что и в случае Дирихле, приводит к соотношению Ае(д) = М 'юг[ту) < М '~~о[гд) < М 'И(тд) < М-'йГ'[тд) = 1д[д) (здесь д = х(т). Поэтому существуют такие константы сг и сю что с~х~~' < Ме[х) < Ж(х) < сухэ~' для х > хе. [4.5) Теперь естественно спросить о более тонких деталях асимптотик Ю(). Однако Фукусима и Сима [РВ] доказали, что для салфетки Серпинского 1пп !пГ х э 'М(х) < 1пп еир х ~~'у(х); г-+со ~-+ос таким образом, невозможно надеяться на асимптотическое разло- жение в стиле того, которое имеется для областей в К".
Замечания. 1. Работы [В] и [РВ] дают весьма детальное описание спектра оператора Ь для салфетки Серпинского. 2. Уравнение (4.5) объясняет происхождение термина спектральная размерность для числа 4,. 5. ГРАНИЦЫ ЯДРА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ До сих пор мы уделяли мало внимания геометрии фрактала Г. Однако когда мы рассматривали форму ядра теплопроводности, 338 Мартин Бэрлоу метрика (х — у~ оказалась неадекватной: лучше рассматривать внутреннюю метрику д(х, у), определяемую кратчайшим путем от х до у по Е.
Пусть н„= ж"(н ) — замкнутое связное множество, получаемое в результате и итераций отображения Ф, определенного в (1.2), и пусть а,(х, у) — длина кратчайшего пути в Н„, соединяющего х и у. Для фракталов типа салфетки Серпинского имеем |х — у~ < Н„(х, у) < с1х — у~ для всех и, но для более общих фракталов, предельное множество которых не содержит отрезков прямых, это неверно. В общем случае существует такое число Ь > А, что точки из Го могут быть соединены цепочкой из 0(Ь") н-клеток; таким образом, положив д = 1ОКЬ/10КА, получаем ~(„(х, у) — (х — Я"' (Ь/Л)".
Переходя к пределу по подпоследовательностям, получаем метрику на Е, для которой Н(х,у) и (х — у) '. Эта метрика называется в физической литературе химическим расстоянием, а показатель д, известен как химическая экспонента. (В противоположность тому, что могли бы ожидать математики, физики обычно не измеряют длину полимеров с помощью этой метрики.) Полезно переопределить фрактальную размерность и размерность блуждания в терминах новой метрики, полагая а' = ЬзК М/ 1оК Ь = Иу/И„ д' = 1оКт/1оКЬ= И /Н,.
Отметим, что спектральная размерность удовлетворяет соотношениям -'Ы, = Иу/Н = 4~у/д' и не изменяется при замене метрики. Рассмотрим теперь случайный процесс Х на неограниченном фрактэле Р, н пусть р(1,х,у) — соответствующие плотности вероятностей перехода. (Существование таких функций следует нз р-симметричности процесса Х и из существования плотности ре- ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА ФРАКТАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 339 зольвент У .) Плотность р является решением уравнения тепло- проводности на Р: д — р(г, х, у) = й,р($, х, у) д1 р(О,х,у) = Б„(х) Верхние границы на р(1, х, у) могут быть получены с помощью масштабирования формы б и общей теории из [СКЯ]. Приводимое здесь рассуждение принадлежит Фицсиммонсу и Хзмбли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
