Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 67
Текст из файла (страница 67)
локально свободные Оххв-модули (или, что то же самое, векторные расслоения) ранга 11 (1 Е 2), У (1йх х РгоЬя/и ) У« (т. е. обратный образ относительно автоморфизма Фробениуса схемы о'), а 1 и г суть Охх з-линейные вложения. Кроме того, должны быть выполнены следующие условия: ' (1) Периодичность. У1+« = У;((оо) х В); д-кратная композиция морфизма у является естественным вложением (индуцированным вложением Ох "+ Ох(оо)).
(й) Полюс. У«Д(У«1) равен йрямому образу (Г««),А1 обратимого Оз-модуля А; относительно сечения со: Г:  — > Х х В, в + (со, е) (ш) Нуль. У;/1('У, 1) равен прямому образу (Г,),В« обратимого Оз-модуля В, относительно сечения Г,: о' -+ Х х В, являющегося графиком морфизма Р«-схем я: о' -+ Х вЂ” (оо). (1 я) Нормализация. Для всякой геометрической точки е схемы В характеристика Эйлера — Пуанкаре Х(Ус~хи«) равна нулю.
2.2. Замечания 2.2.1. В силу условий (1) или (й) переход от У;. к У;+1 увеличивает характеристику Эйлера — Пуанкаре на 1; поэтому для любого 1 Е У имеем Т(Уйх„«) = 1. 356 Анри Кэрайоль 2.2.2. Морфизм г из п. (ш) определен однозначно. Таким образом, каждому эллиптическому пучку на Я соответствует Я-точка кривой Х вЂ” (со), которая называется его нулем. 2.3.
Структуры уровня. Пусть 1 С Х вЂ” (со) — конечная непустая подсхема и (з-с, г, с) — эллиптический пучок на Я, такой, что Х не пгргсекаетсл 'с образом соответствующего морфизма г (нулл). При этих условиях пучок Уйс„э не зависит (отождествляется посредством морфизма 1) от с. Обозначим этот пучок через Ус. Тогда морфизм с индуцирует изоморфизм 'Ус = Уь Определим структуру уровня 1 как задание Ос„э-линейного изоморфизма с: Осг„э М Ум такого, что следующая диаграмма коммутативна: 2.4. Эквивалентность.
В своей короткой, но глубокой статье [ПгЗ] Дринфельд доказал, что понятия эллиптического пучка и эллиптического модуля эквивалентны. Вдохновившись идеей, происходящей из работы Кричевера [Кг] по дифференциальным уравнениям, он подчеркнул волнующую связь между этими двумя, далекими на первый взгляд, объектами. Об этом см. также статью [Ми]. Пусть [О) ф,УСА — идеал в кольце А, соответствующий замкг путай подсхеме 1 в Х вЂ” (оо) = Брес(А). Результат Дринфельда можно сформулировать так: Теорема.
Пусть Я -'с прес(А) — Х лвллгтсл А[1 ']-схгмой. Существует функгпориальнал по Я биекцил между множеством классов изоморф зма эллиптических А-модулгй ранга Н на 5, снабженных структурой уравнл,7, и множеством классов изоморфизма эллиптических пучков ранга И на Я с нулем г, снабженных структурой уровня 1. Функтор, сопоставляющий схеме Я множество классов изоморфизма эллиптических пучков ранга сс на Я со структурой уровня 1, следовательно, представим А[1 с]-схемой, изоморфной Мзг. 2.5.
Теперь мы изложим идею конструкции Дринфельда, предпо- лоясив для простоты, что 5 является спектром поля К. КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРИНФЕЛЬДА 357 2.5.1. Выберем эллиптический пучок (Уьу,1) на ЗресК с нулем ам з: А -+ К. Рассмотрим К-векторные пространства М, = Нв(Х З К,У»), которые морфизмом у' объединяются в возрастающую последовательность. Их объединение М отождествляется для всех 1 с Нв((Х вЂ” (оо)) З К,У;) (заметим, что у является изоморфизмом над Х вЂ” (оо)). Пространство М, очевидно, является (А Сэр, К)-модулем.
Воспользуемся теперь отображением $: М -+ М, индуцированным морфизмом г: 'У» -+ У;».ы Это отображение вкладывает М, в М,».1 и является А-линейным и К-полулинейным, т. е. (ат) = а1(гп) при а Е А, (Лга) = ЛЧ(гп) при Л Е К. 2.5.2. Если пользоваться обозначениями п. 1.1, то полулинейность отображения 1 означает, что пространство М можно рассматривать как левый К(т')-модуль, в котором т' действует оператором 1 (мы временно забываем о действии кольца А).
Докажем теперь, что М вЂ” свободный одномерный модуль. (а) Нуль и полюс эллиптического пучка не пересекаются; поэтому для всякого г морфизм г индуцирует вложение (а если поле К совершенно, то изоморфизм) 1: '(У;/у(У; 1)) -+ У;».1/у(У;); следовательно, отображение 1: М;/М; 1 -+ М»».»/М» инъективно. (Ъ) Ме — — (0). Действительно, в противном случае существовали бы ( < 0 и.элемент х Е М; — М; ы Воспользовавшись п. (а), мы получили бы, что 1"'х е М;».„, — М;».„, ~ для всякого гп > 0; следовательно, »Вши М;». > Га+ 1 (так как элементы х,гх,...,$~х линейно независимы). Однако для больших и» зто противоречит замечанию 2.2.1, поскольку нз него следует, что »11шк М» ь = Х(У)».
) = 1+»и. (с) Те же самые аргументы, что и в п. (Ь), показывают, что при 1 > 0 пространство М»».1/М; одномерно над К. Отсюда по индукции следует, что если д — базисный вектор пространства Мы то (д, 1и,..., 1" 'д) является базисом пространства М„над К. Следовательно, пространство М является свободным одномерным модулем над К(т') = К(1) с базисным вектором р. 2.5.3. Зафиксировав базис р, мы получим изоморфизм М = К(г) (мы отождествляем 1 и т'). Вспомним теперь о действии кольца А 358 Анри Кзрайоль на пространстве М. Это действие коммутирует с действием колытд К(с); поэтому мы имеем гомоморфнзм ф: А -с Епс1к(с)(К(й)) = К(с)'~", который в силу коммутатнвности кольца А можно рассматривать и как гомоморфизм А — т К(с) = К(т*).
Для вычисления производной (ф(а))' надо рассмотреть действие А на М/К с(М) Ы Мс. Это пространство естественным образом вкладывается в слой пучка У=с над нулем; поэтому (ф(а))' = с(а). Наконец, для каждого а Е А — (0) имеем аМс С Н (Х 8 К,тс( — и,ь(а))) = М, причем — с(и (а) — это самое маленькое целое число, при котором. включение всегда верно. Отсюда следует, что степень элемента ф(а) а К(т) равна р'( ~'ис"П = (д ' 00)и = )а)'~ . Таким образом, мы получили эллиптический модуль ранга с(. 2.5.4. Продолжим отождествление М и К(с). Задание структуры уровня 1 на эллиптическом пучке — это задание (А ет К)-линейного изоморфизма с: (А/,7) Зр, К вЂ” + М/М,7, такого, что действие автоморфизма Фробениуса на левой части со- ответствует действию оператора сна правой чадти.
Пусть А Е [(А/.7)~]* †элеме нз гт двойственного простран- ства к (А/,7)". Его композиция с отображением с ' дает К-линей- ный гомоморфизм Ьл из М/М,7 = К(т)/К(т) . ф(7) в К, удовле- творяющий условию Ьл(~тп) = Ьл(тл)'. Любой такой гомоморфизм однозначно определяется своим зна-, чением фл = Ьл(1) (так как Ьл(Ф ) = Ф',, ). Пусть а 6,7 и ф(а) = ио '+ ис1 + ° + и„Ф". Тогда значение фл должно удовле- творять уравнению ф(а)(фл) = иофл + исфлт + + и„ф~~" — — Ьл(ф(а)) = О. Иначе говоря, элемент фл должен быть точкой,7-кручения эллиптического модуля ф. Таким образом, отображение А -+ фл является А-линейной инъекцией (а следовательно, биекцией) Значит, на модуле ф возникает структура уровня 7 (зависящая от выбора изоморфизма (А/,7)' М,7 '/А), КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРИНФЕЛЬДА 359 Легко проверить, что все предыдущие конструкции с точностью до'изоморфизма не зависят от выбора элемента р.
3. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ Р-ПУЧКИ 3.1. Зафиксируем простую центральную алгебру Р размерности аа над своим центром Р, расщепляющрюся в бесконечности, т.е. такую, что Р ЗР Р,, = Мг(Р ). Кроме того, выберем когерентный локально свободный пучок Ох-алгебр Р с общим слоем Р, такой, что для любой замкнутой точки х кривой Х его слой Р, = РЭО„О, является максимальным порядком в Р = Р ЗР Р . Выбор пучка Р равносилен такому выбору всех Ю„чтобы они были когерентны в том смысле, что для почти всех х слой 'Р, должен порождаться над кольцом О, одним и тем же базисом алгебры Р над полем Р. Обозначим через ю множество тех точек, в которых алгебра Р, не расщепляется. Тогда для всех прочих точек х Й зс пара (Р„'0,) нзоморфиа паре (Ма(Р,), Мв(О,)).
Напомним, что мы для простоты ввели предположение, что бек(со) = 1. Эллиптический Р-пучок определен Ломаном, Рапопортом и Штулером следующим образом (напомним, что для Р -схем 5 и Т мы обозначаем через Э х Т произведение над Рг). 3.1.1. Определение. Пусть Е есть Рг-схема. Эллиптический Р-пучок ранга д (с полюсом в оо) на о' — это коммутативная диаграмма в которой Е, — локально свободный Ох„з-модуль ранга аг (1 Е Е) с правым действием Р, согласованным с действием Ох. Далее, 'Е, обозначает то же, что и в предыдущем разделе, а 1 и 1 — это Ох„в-линейные вложения, согласованные с действием Р.. Кроме того, должны быть выполнены следующие условия: (1) Периодичность. Е;+а = Ег((оо) х Э), с~-кратная композиция морфизма 1 является естественным вложением. (й) Полюс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
