Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 65
Текст из файла (страница 65)
— Зепппмге ВопгьаЫ, 1991 — 92, и» 756, Агсег!елее, 206 (1992), р. 369-409. 346 Анри Карайоль Ленглендса, так же как и теория полей классов, которую она обобщает, должна применяться ко всем глобальным полям. 0.3. Первое понятие, введенное Дринфельдом,— это «эллиптический модуль ранга д». Это понятие зависит от выбора точки поля Р, обозначаемой оо, и использует подкольцо А поля г', состоящее из рациональных функций, регулярных вне со. Эллиптические модули обладают формальными свойствами, аналогичными свойствам эллиптических кривых.
Например, снабженные структурой уровня У (где У вЂ” идеал в А), они параметризуются многообразием модулей М~н, которое является гладким аффинным многообразием относительной размерности 4 — 1 над А],У ']. В частности, при И = 2 мы получаем семейство кривых над и',которое является аналогом модулярных кривых над полем (4. Изучая когомологии этих кривых (подходящим образом компактифицированных), Дринфельд развил теорию, параллельную теории Эйхлера— Ш1иМур, н доказал, что любому параболическому автои«орфному представлению П адельной группы СЬа(Ар), такому, что компонента П является специальным представлением, можно сопоставить двумерное 4-адическое представление группы Са!(г'/г'), где 7 обозначает сепарабельное замыкание поля Р (эти представления удовлетворяют соотношениям, аналогичным тем, которые определяют представление пг (см.
выше)). В следующей своей работе [Рг2] Дринфельд построил систему этальных накрытий многообразия М~н, с помощью которой (при 4 = 2) он сумел сопоставить представления Галуа автоморфным представлениям П с каспидальной компонентой П 0.4. Как будет видно из этого обзора, определение эллиптического модуля алгебраически элементарно. В 1976 г. Дринфельд ввел новые, более геометрические объекты, называемые «эллиптическими пучками», которые представляют собой специального вида диаграммы векторных расслоений на кривой Х.
Он доказал, что понятия эллиптического пучка и эллиптического модуля эквивалентны, а возникающие многообразия модулей изоморфны. В следующем году он модернизировал понятие эллиптического пучка так, чтобы точка оо не играла особой роли. Используя полученные объекты, называемые «штуками» или Г-пучками, он сумел сопоставить 4-адическое представление Галуа любому автоморфному параболическому представлению группы С1 а(Ар). 0.5. При д ) 3 многообразия эллиптических модулей (илн пучков) ранга 4 имеют относительную размерность 4 — 1 и играют для КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРИНФЕЛЬДА З4Т группы СЬг(Г) роль многообразий Шимуры (которые, однако, для группы СЬг над числовым полем при Ы > 3 не существуют).
Изучение когомологий этих многообразий должно было бы позволить сопоставить д-мерные 1-адические представление Галуа автоморфным параболическим представлениям П группы СЬг(АР), таким, что представление П специально. Однако такое изучение весьма затруднено тем, что рассматриваемые многообразия не являются собственными. В связи с этим возникает множество сложных проблем, как геометрических (вопросы компактификации, формула следа Лефшеца), так и автоморфных (формула следа Артура— Сельберга не доказана для функционального паля).
Отметим, однако, что, воспользовавшись некоторыми гипотезами (а именно гипотезой Делиня, дающей простую формулу Лефшеца для соответствия, скрученного большой степенью оператора Фробениуса, а также формулой следа Артура — Сельберга), Ломов [Ьац2] вычислил виРтУальный модУль 2„( — 1)гн,'(мг зР У,ь1г) относительно действия группы Са1(г/Г) и операторов Гекке. Проблемы, связанные с некомпактностью, для штук оказываются еще сложнее.
Даже в случае д = 2 они весьма серьезны, хотя и успешно решены. 0.6. Чтобы обойти эти трудности, Делинь сразу после появления первой статьи Дринфельда предложил определить и изучить собственные аналоги модулярных многообразий Дринфельда. Эти новые многообразия должны были быть сопоставлены уже не группе СЬг(Р), а мультипликативной группе С центрального тела Й над Е размерности У, расщепляющегося над точкой оо. Именно эта проблема, решенная в статье [Ь-В-Б], является объектом настоящего обзора. Существенным моментом было нахождение хорошего определения аналога эллиптического модуля.
Более жизненным оказалось понятие эллиптического пучка, а не более элементарное понятие эллиптического модуля. Его непосредственным обобщением стало понятие эллиптического ь-пучка. При этом, если база является спектром совершенного поля, эти объекты могут быть интерпретированы как Авекторные расслоения над некоммутативной проективной прямой» вЂ” понятие, которое более непосредственно обобщает понятие эллиптического модуля в духе работы Андерсона о «~-мотивах» [Ап]. 0.7. Ломон, Рапопорт и Штулер доказывают, что эллиптические ьпучки, снабженные структурой уровня 1 (где 1 — замкнутая конечная подсхема в Х вЂ” (со)), параметризуются многообразием модулей 348 Анри Карайоль ЕИх за г,которое является собственной гладкой схемой относительной размерности д — 1 над Х вЂ” 1 — Š— (оо) (й обозначает множество точек ветвг*ения тела 1г).
Затем они разлагают когомологии Не '(ЕИхтгг хх Брест',ь1г) относительно действия операторов Гекке и доказывают, что таким образом автоморфным представлениям П группы С(Ар) со специальной компонентой П можно сопоставить представления Галуа. При этом возникают именно те представления группы Са1(Е/ Р'), которые и должны были возникнуть (в частности Й-мерные), при условии, что кратность, с которой представление П входит в пространство автоморфных форм, равна 1. Гипотетически это верно всегда (это следует из существования соответствия Жаке — Ленглендса между автоморфными представлениями групп С(Ар) и СЬе(Аг)).
К несчастью, полного доказательства этого факта для функционального поля не существует (см. [Ое-Ка-г'1] и [Гсо]). Поэтому с кратностью т(П), входящей в условие основной теоремы работы [1-П-Б], связаны многочисленные технические сложности на протяжении всей статьи. 0.8. Изучение когомологий Н'(ЕИх р т х х Зрес У, 14г) и их разложения по действию операторов Гекке использует технику, хорошо знакомую специалистам по многообразиям Шимуры: описание множества точек многообразия над конечным полем, вычисление орбитальных интегралов, сравнение формул следа Лефшеца и Сельберга и т.д. Кроме того, при доказательстве того, что существенная часть когомологий расположена в размерности д — 1, используются сильная теорема Лефшеца и теорема Делиня о чистоте монодромической фильтрации.
Эта часть доказательства существенно упрощается, если воспользоваться обобщенным соответствием Жаке †Ленгленд. 0.9. Наконец, в завершение, в статье [1-П-8] доказана локальная гииатеза Ленглендса длл грунин С1 е над нолем равной характерпстикш здесь используется глобальная конструкция представлений Галуа (в применении к автоморфному представлению П кратности 1), а также многочисленные результаты Энньяра.
В семидесятых годах Делинь получил аналогичные результаты для г( = 2, опираясь на теорию Дринфельда. 0.10. В этом обзоре мы ограничимся описанием теории эллиптических модулей, затем эквивалентной ей теории эллиптических пучков, после чего изложим содержание работы [1-К-8]. Мы не будем затрагивать вопросы, связанные с накрытиями пространств Мге, КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРИНФЕЛЬДА 349 построенными в [11г2], и с аналогичными накрытиями пространств ссс»,п и построенными в (1 -В;'о], а также со штуками.
0.11. Обозначения. Начиная с этого момента, Х обозначает алгебраическую гладкую проективную и геометрически связную кривую над конечным полем Рт (где д = р' — степень простого числа р). Обозначим через Г = Гд(Х) поле рациональных функций на Х;, Г обозначает сепарабельное замыкание поля Г. Для всякой замкнутой точки х е ]Х] (соответствующей точке поля Г) обозначим через О, и Г, пополнения локального кольца О» и поля Г в точке х. Поле вычетов кольца О, обозначается через к(х), а его мощность — через о, = д~'э~*).
Пусть о,: Г, -+ Š— нормирование, такое, что о,(ш,) = 1, где ш, — униформизующая кольца О,; обозначим через ] ], = д, "* соответствующую абсолютную величину. Мы фиксируем замкнутую точку со кривой Х и обозначаем через А = Но(Х вЂ” (оо), О») подкольцо поля Г, состоящее из элементов, являющихся целыми во всех точках х ф оо. Для такой точки х пополнение А, отождествляется с кольцом О,. Вся теория становится несколько проще при условии бек(со) = 1. Для упрощения изложения мы будем считать это условие выполненным. 0.12. Полезно иметь в виду аналогию между функциональными и числовыми полями.
При этом поле Г соответствует полю 14, точка оо соответствует вещественному нормированию поля ь4, а ]Х] — (со) соответствует множеству всех простых чисел. Аналогом кольца А является Е, а различным пополнениям О, (соотв. Г,) при х ф оо соответствуют Ер (соотв. ь4р), в то время как аналогом Г является поле Н. 0.13. Наконец, через АР, или просто А, обозначим кольцо аделей поля Г (ограниченное произведение полей Г,).
Для конечного множества точек 5 через Аз обозначим ограниченное произведение полей Г, при х К о. Часто мы будем рассматривать А:= А( 1. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛИ 1.1. Определение эллиптического А-модуля над А-схемой о. 1.1.1. Начнем с изучения частного случая, когда 5 является спектром воля К, и, таким образом, мы имеем гомоморфизм 1: А — > К. 350 Анри Карайсль Напомним, что если К вЂ по характеристики р ) О, то аддишивнал группа С и = БресК(Т) имеет, в частности, следующие эндоморфиэмм: гомотетии Л: Т ь+ ЛТ (Л й К), гомоморфизм т: Т» Тг и его степени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
