Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Поскольку [г1, Р 211 Е(/, У') = впР(а,Г', У' — У /) > (У', 1' — У1 У), а имеем []э][г < []„ [[ [[э][э + б(( э,) Заменяя у на Дх) = /(Л"х), используя масштабирование и опти- мизируя по и, получаем неравенство Нэша [[Д + У ' < сб(У, ~)]Щ[г~ '. (5.1) Отсюда следует [СКЯ], что (5.2) р(г,х,х) < с|1э '. Нижние границы на диагонали также весьма просто получить— они вытекают из оценки 1ппзпр (Р*[Хс — х[ > дг'~~ ) = О. Отсюда следует, что для подходящего т > О, обозначив э = г1г1", имеем — < / р(1, х, у)р(йу) < п(В(х, г))р($, х, х) э вирр($, у, у) з. 2 эвбь ) э Используя оценку р(В(х, э)) > сх"э, получаем нижнюю границу р(г, х, х) > сгзв', О < г < со.
(5.3) 340 Мартин Барлоу Замечания. 1. Связь между асимптотиками ядра теплопроводиости и количеством собственных значений означает, что можно ожидать границ такого вида для малых 1 из (4.5). Из скейлингового соотношения (4.3) будет следовать тогда, что эти оценки верны при всех й 2. Отметим, что показатели в (5.2) и (5.3) не связаны с изопериметрической размерностью, которая равна нулю у конечно разветвленных фракталов. Таким образом, ситуация здесь существенно отличается от изученной в работе [Ч], в которой из изопериметрического неравенства вытекало неравенство Нэша с правильным показателем.
Следует также сравнить границы для ядра теплопроводности, полученные в [О] и [ВВЗ]. Оценки вне диагонали оказываются более тонкими. Имеется общая «машина» для получения внедиагональных оценок сверху— это «метод Дэвиса» (см. [СКЯ]). Он существенно опирается на рассмотрение полугруппы е ЕР,е", использует глобальную верхнюю границу, полученную из верхней границы на диагонали, а также подходящим образом варьирует ф.
К сожалению, оказывается, что этот метод не работает в случае фракталов. Основная причина состоит в том, что, с одной стороны, требуется, чтобы ф Е 'В, но в то же время оценки сверху в более или менее явной форме используют величину ]]~7«р[[, которая, как показано в [К2], равна +со для гнездовых фракталов. Приемлемая техника для получения верхних и нижних границ называется шехникой связывания.
Для нижних границ она совпадает с классической. Предположим, что р(С,х,у) > с1 ~'~~ при 1 > О, [х — у[ < са1'~~ . (5.4) Положив В = ]х — у], мы получаем, что х и у могут быть соединены цепочкой из и = с(В/е) * шаров евклидова радиуса е; обозначим их В; = В(х;, е), 1 < г < п с хо = х, х„= у. Возьмем е = сз(1/и)'~~"; тогда р(т,х,у) > (' . (' р(1/п,хо,х1)...р(Ь/п,хн му)р(с(х1)...п(еХх„1) ив, ив., и-1 > Цд(В)с"Ф ) ""'~' > ( ")" 'сГФ Г"*"(е/сзГ"'" " «=1 > т-ы,/2сн ~-е,/2 ехр( сл) гармонический лнапнз на фрактальных пространствах 341 Подставляя выражение для п, получаем р(с,х,у) >1 ~'~~ехр( — с(1х — у1~-/С)~'Д~- аО); (5.5) экспоненту в (5.5) можно записать в виде с(а(х, у)л" /1) д Итак, связывание превращает «полуфабрикатную» оценку (5.4) в глобальную нижнюю границу, которая с точностью до константы является наилучшей.
Теперь остается доказать оценку (5.4). Но она выполняется при х = у, и гельдерова непрерывность функций из П позволяет распространить ее на некоторый шар. Похожая техника годится и для получения верхних оценок, но рассуждения здесь являются более вероятностными. Для х 6 Р, е > 0 ~ело~им Я(х, е) = 1пГ(1 > 0: 1Х» — х) < е).
Пространственно-временной скейлинг процесса Х означает, что величина е '~" Я(х, е) имеет порядок 0(1); используя это соображение и элементарное неравенство Р(л < 1) < (1гаг(г) + э»Ес)/Есг которое выполняется для любой неотрицательной случайной вели- чины С, мы получаем Р(Б(х, е) < 1) < р+ ае '~~ 1, 1 > О. (5.6) Следующая лемма [ВВ1, 1епппа 1.1] является ключевой для при- менения техники связывания. Лемма 5.1. Пусть Т, Яы..., ߄— неотрицательные случайные величины, удовлетворяющие следующим условиям при некоторых р<1, а>О: (а) Т>~ ",Я,; (Ь) Р(Бг < 1(о(Яы..., Яг»)) < р+ а1.
Тогда Р(Т < Ф) < ехр(2(ане/р)»1г — п 1ойр»). Зафиксируем теперь х,у,1 и положим А = (г 6 Р: 1г — у( < '1г — х1). Если обозначить Яо = О, Яг+г — — Я(Хв„е), то, так как 342 Мартин Барлоу кратчайший путь от х до А пересекает и = с(]х — 9]/е)"' шаров радиуса е, мы получаем, обозначив Тд = !пЦ! > О: Хг Б А), !АР*(Тл < !) < (2ае и!/Р) — п1обр < с(]х — у] -/!) Комбинируя это с глобальной верхней границей (5.1), получаем та- кой результат: Теорема 5.2. Пусть ф(г,!) = (г" /!)где г1.
Тогда плотносгпь ядра теплопроводностпи р(с,х,у) на Г прн О < ! < со, х,у Б Р, удоелегпворяегп неравенствалг сг ! ~'у~ ехр( — сгф(а(х, у), !)) < р(1, х, у) < св! 'У ехР( — свф(а(х,у), !)). Замечание. Оценки такого вида непривычны для классической ситуации, но тем не менее они возникают в менее необычных предположениях, чем сделанные здесь. Например, пусть д есть неограниченная двумерная салфетка Серпинского (у которой Ы, = 1, д = 1о55/1о52 и ду = !о53/1о52). Вложим С в Вв, полагая и М = дМ'. Тогда М является многообразием с богатой скейлинговой структурой, которая имитирует структуру салфетки Серпинского. Если р(1, х, у) — ядро теплопроводности на М, то при малых ! и [х — 9] = 0(1) его поведение подобно поведению ядра теплопроводности на 1е~.
Однако следует ожидать, что оценки теоремы 5.2 имеют место в области 1 < ! < ]х — у]. (При [х — у[ > ! мы оказываемся в классической ситуации большого уклонения.) ЛИТЕРАТУРА [В1] Ваг!отч М. Т. Ввлдош тча!Ьв, е1есйбса1 гев!в!авве, авд вен!ей !гас!а!в, ш: Авушра РгоЬЬ гп РгоЬ.
ТЬ., К. !У. ЕЬчогГЬу, !в. 1Ьеда (едв.), Рйшап Вев. !то!ее МаГЬ. Бег. чо!. 283, ! опйшвв Ясб ТесЬ., Нвг1огч, 1993. [ВВ1] Ваг!ои М. Т., Вввв В. Р. ТЬе сопвггисйоп оГ Вгогчп!ав пюйоп оп гЬе 8!егр!пвЬу свгрек Апв. 1пва Н. Рошсаге. 25 (1989), во. 3, 225- 257. Мартин Барлоу 344 [О] [НТ) М. Т. ВАВХ ОЪЧ 1терат!тпеп1 о! Ма(Ьеша!тся ()и!четв!!у оГ Вг)!!яЬ Со!шпЬта Напсопчег Вп!!яЬ Со! шпЬта Сапайа Н6Т 1Е2 Е-шаз1: Ьаг1ои Фша!Ь.пЬс.са Ояайа Н. РворетппеЬйс йппептйоп апй еятппатев о! Ьеат !тегпе!в оГ рте-3!етр!пв)ту свхретя.
РхоЬаЬ. ТЬ. Ке!. Р!е!йв, 86 (1990), 469 — 490. Катпша) К., Топ1опве С. Напйош ттвПтв оп !таста! вттпстпгев апй регсо!а!топ с1пятетя. Л. РЬув. Ье!тгея, 44 (1983), ЫЗ вЂ” Ь22. 8Ьтша Т. Оп е!8епта!пе ргоЫешв Гог тЬе гвлйош ттвЛ)т оп тЬе 8!етр!пв)ту рте-8яя1теа Ларап Л. Арр!. 1пй. МатЬ., 8 (1991), 127 — 142. Чвхороп1оя Ы.
ТЬ. 1яорейптеайс !пес!па!!т!ев апй Маг!тот сЬашв. Л. Вшса Апа1., 63 (1985), 215 — 239. КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРИНФЕЛЬДА (по работам Ломона, Рапопорта и Штулера) Анри Карайоль1) О. ВВЕДЕНИЕ 0.1. Пусть / = 2 а„д" — нормализованная (т. е. с а! — — 1) параболическая модулярная форма веса 2 относительно группы Гп(дг), являющаяся собственным вектором операторов Гекке. Классическая теория Эйхлера — Шимуры (обобщенная Делинем на случай форм веса > 2) позволяет построить по такой форме «двумерное представление сгд группы Галуа Св1Щ7'«4) над полем с10 Представление ог не разветвлено над точками р «г»гс и удовлетворяет соотношениям г)есос(ггоЬр) = р, 1гггг(ггоЬр) = аю где гг.оЬр обозначает автоморфизм Фробениуса точки р (мы неявно выбираем вложение в Цг поля, порожденного элементами ар).
Известно, что представления ггс возникают при разлозгсеиии с-адических когомологий л«одуляримх криемх относительно действия операторов Гекке. Более общая теория, глубоко разработанная за последние годы (см. ]Ко]), пытается сделать то же самое для гомологий многообразий Шиглурм, т. е. по некоторым автоморфным представлениям редуктивных групп над числовыми полями построить с-адические представления Галуа (точнее говоря, некоторые мотивы). Эта программа, являющаяся составной частью «философии Ленглендса» (см.
[Ьа, С1]), в настоящий момент полностью завершена только для некоторых типов групп, по существу в тех случаях, когда соответствующие многообразия Шимуры комиакглна!. 0.2. С 1973 г. Дринфельд начал развивать аналогичную теорию для полл функций от одной переменной над конечным полем, т.е. для поля г' = гд(Х) рациональных функций на алгебраической кривой Х/г д. Аналогия между функциональными и числовыми полями хорошо известна в теории чисел, в которой как первый, так и второй тип полей называются глобальными полями. «Философия» '! Сагауо! Непг!. Чаг!414« с!е ВнпгеЫ согпрас!ед, д'арсе« Ьапгппп, Нарпрог! е! 3!пыег.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
