Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Е;/1(Е, 1) как Оххв-модуль изоморфен прямому образу (Г, ),А; локально свободного Ов-модуля А, ранга д относительно сечения со. збО Анри Карайоль (!й) Нуль. Е;/1('Е; 1) как Ол„з-модуль изоморфен прямому образу (Г,),В, локально свободного Ов-модуля 6; ранга Ы относительно сечения Г,: 5 -+ Х х Я, являющегося графиком морфизма Рд-схем г: Я -+ Х вЂ” (со) — Е. 3.1.2. Нормализация. Условия (й) и (ш) показывают, что характеристика Эйлера — Пуанкаре пучка Е; в любой геометрической точке з схемы 5 при переходе к Е;+1 увеличивается на Ы.
Поэтому имеет смысл наложить условие нормализации, аналогичное условию (Ы) и. 2.1, например Х(Ео~х,„) е (О,д[. В нашем обзоре мы будем считать, что эллиптические Р-пучки нормализованы таким способом. В статье (Ь-В;Я, напротив, никаких условий нормализации не налагается. Вместо этого рассматривается естественное действие (сдвигами) группы Е на стэке модулей эллиптических З-пучков, и после перехода к фактору получается то же самое. 3.1.3. Точно так же, как и в случае эллиптических пучков, морфизм г корректно определен; таким образом, каждому эллиптическому Х>-пучку на схеме Я соответствует Я-точка кривой Х вЂ” (оо) — Е.
3.1.4. Пример: случай матричной алгебры Р. Предположим, что Р = Мз(Г) и Р = Ма(Ол). Каждому эллиптическому пуч; ку (Учо з,1) можно сопоставить тройку (г) И Ох,у И Ы,1 И 1и). Эта тройка является эллиптическим Р-пучком (Е,,у', 1'), в котором Е, есть прямая сумма И экземпляров пучка гп а алгебра Р действует справа матричным умножением. Обратно, разлагая эллиптический Р-пучок относительно действия диагональных идемпотентов алгебры Р, несложно проверить, что любой нормализованный эллиптический Р-пучок получается таким образом (эквивалентность Мориты). Поэтому в случае матричной алгебры ничего нового мы не получаем.
3.2. Структуры уровня. Пусть 1 С Х вЂ” (оо) — конечная непустая подсхема и (Е;, з, 1) — эллиптический Р-пучок на Я, такой, что 1 не пересекаетсл с образом соответствующего морфизма г. При этих условиях пучок Ег = Ейг„в не зависит от 1 (пучки Е; 1~г„э и 'Ейз ив отождествляются морфизмом з) и морфизм 1 индуцирует изоморфизм 'Ез = Ег. Определим теперь структуру уроввл 1 как задание Огнвлинейного изоморфизма с: Юг И Ол:-+ Ем согласованного с дей- КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРИНФЕЛЬДА 361 ствием Р! на обеих частях, такого, что следующая диаграмма коммутативна: 1Е 3.3.
Многообразие модулей. Зафиксируем непустую конечную подсхему 1 с Х вЂ” [оо). Пусть г: Е -+ Х вЂ” [оо) — 1 — Е есть 5-точка схемы Х вЂ” 1оо) — 1 — Я.. Обозначим через ЕИх и г(Я) мно- ' жество классов изоморфизма эллиптических 'Р-пучков на 5 с нулем г, снабженных структурой уровня 1 и нормализованных, как в п. 3.1.2. Первый важный результат, доказанный в [1 В-З], — это 3.3.1. Теорема.
Функгпор ЕИх и ! представим схемой, квазипро-, ективной над Х вЂ” [оо) — 1 — й: ЕИх и! --4 Х вЂ” [оо) — 1 — У1. Схема ЕИх,п г гладкая, чистой относительной размерности д — 1 над Х вЂ” [оо] — 1 — й. Если Р— алгебра с делением, то схема ЕИх од проективна над Х вЂ” (оо) — 1 — и.. Например, если Р— матричная алгебра, то рассуждения п. 3.1.4 и теорема п. 2.4 показывают, что в этом случае схема ЕИх и ! изоморфна схеме М~е, где,! — идеал в кольце А, соответствующий подсхеме 1.
3.4. Наметим вкратце доказательство теоремы о представимости. 3.4.1. Одна из важных составных частей доказательства — это утверждение о (почти). стабильности векторных расслоений Ен А именно, существует константа С, такая, что для всякого эллиптиче-ч ского Р-пучка (Ен 1, !) нвд полем и всякого собственного векторного подрасслоения У в Ео выполнено неравенство дея У вЂ” С бек Ео — С г1с У г1с Ео где йея обозначает степень, а г1с — ранг векторного расслоения. Для доказательства этого утверждения используются свойства канонической фильтрации Хардера — Нарасимхана — Квиллена [На-На]. 362 Анри Карайоль 3.4.2.
Если степень 1 больше чем С (мы всегда можем это предполагать, переходя впоследствии к фактору по конечной группе) и (Е;, 1,1) снабжен структурой уровня 1, то приведенное выше неравенство означает, что расслоение Ее стабильно как расслоение со структурой у ровня. Поэтому существует схема над Гд (квазипроективная и гладкая), классифицирующая такие расслоения. Отсюда можно вывести, что существует Гр-схема Чесс» р р классифицирующая последовательности +Е-1 +Ее +Е) +Е2 1 1 1 1 1 векторных расслоений ранга о2 над 'Х х Я с (согласованным) действием пучка алгебр с и с (согласованными) структурами уровня 1 ьч И Оэ 'а' Ег, такие, что условия (1) и (й) п.3.1.1 выполнены, а расслоение Ее стабильно (как расслоение со структурой уровня) и .нормализовано, как в п.
3.1.2. Далее, существует также Гд-схема Нес)сел р г, классифицирующая коммутативные диаграммы — Е 1 ~ Е, 1 Е+1 / I / I в которых строки — это последовательности из дессх р р а отображвния 1 являются Ох „язлинейными вложениями, согласованными с действием Р и со структурами уровня, и удовлетворяют условию (ш) п. 3.1.1. 3.4.3. Можно доказать, что схема Несся р г гладкая н проективная над Гд и что морфизм Нес)се»,рд -'--1 (Х вЂ” (оо) — 1 — 1с) х десс» рг, бьи ) переводящий диаграмму в пару (нуль и первая строка), — гладкий морфизм относительной размерности и' — 1.
Остается заметить, что следующее расслоенное произведение является гладкой квазипроективной схемой относительной размер- КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРИНФЕЛЬДА 363 ности 4 — 1 над Х вЂ” (со) — 1 — гс и, очевидно, представляет функтор ЕИх,пд- «г 3.4.4. Проективность схемы в том случае, когда Р является алгеброй с делением, доказывается с помощью валюативного критерия: для этого применяется теорема о иолвстабиоьной ред((кции, доказанная Дринфельдом в работе о компактификации многообразий модулей штук [1)гб]. 4.
КОГОМОЛОГИИ МНОГООБРАЗИЯ МОДУЛЕИ: ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА Всюду в дальнейшем мы предполагаем, что Р— алгебра с делением. Для упрощения обозначений мы будем писать ЕИг вместо ЕИх,о,г и ЕИАР вместо ЕИг хх ВресГ. 4.1. Многообразия ЕИАР— гладкие проективные (4 — ' 1)-мерные многообразия над Г. Для 1' Э 1 ограничение структуры уровня определяет (конечную этальную) проекцию многообразия ЕИР и на ЕИАР. Мы интересуемся пространствами 1-адических когомологий (где 1 1Е р фиксированное простое число и О < и < 24 — '2) Н" = Н™(Е Идя ВР К Ю а анже их индуктивным пределом Н" = 1пптНг".
На каждом иэ этих пространств действует группа Сэ1(г'/г ). 4.2.1. Обозначим через С алгебраическую группу над Е, определяемую равенством С(В) = (Р ЗР В)', где В есть Г-алгебра. В частности, С(Р) = Р'. Обозначим через С(А) (соотв. С(А( ))) группу ее адельных точек (соотв. точек со значениями в «коиечных» аделях). Определим дейсшвие справа группы С(А( )) на проективной системе многообразий ЕИГ яч в результате чего мы получим левое действие (коммутирующее с действием группы Галуа) ЕИ ., 1 Нес1сех,о,г ~о Х вЂ” (со) — 1 — гс Чессх,)э,( (!в,ггоь) (гьгг) — ' — ) Чес(х,пд х Чессх,пд 364 Анри Карайоль на пространстве Н". Для того чтобы 'задать это действие, достаточно определить действие «целых» элементов д Е С(А(~>) П с д, гдеА=П ч О и«д=с ЗдА=(сшХ>с=п,~ Х>«.
4.2.2. Пусть 1 = прес(А/1) — замкнутое множество. Обозначим теперь через Ус конгруэнц-подгруппу группы '0'-, состоящую из элементов, равных 1 по модулю 1. Пусть д — целый элемент, а множества 1 и 1' таковы, что дУ> д ' С Ус . Задание структуры уровня 1 на эллиптическом с-пучке (Е;, 1, 1), определенном на сепарабельно замкнутом расширении К поля Р, равносильно заданию морфизма с: с «Э К вЂ” » Ес Здэк (А З К), определенного по модулю действия группы Ус. Элемент д задает эндоморфизм пучка Э-, а следовательно, посредством изоморфизма с, и пучка Е, Здэк (А Э К).
Теперь мы можем построить эллиптический Х>-пучок (Е',1',с'), входящий в декартов квадрат Е,' — + Е; Эдик (АЗ К) Е » Ес Эдэк(АЗК) Точнее говоря, локальные сечения пучка Е,' — это локальные сечения пучка Ес, удовлетворяющие некоторым условиям (лежать в образе д) в тех точках х, в которых компонента д, не биектнвна. Мы снабжаем пучок (Е,',1',1') структурой уровня с' (корректно определенной по модулю действия группы.Уп) так, чтобы следующая диаграмма стала коммутативной: с д З К вЂ”.+ Е,'Эдик (А Э К) 1 РА ЗК > Е Эдэк (АЗК) Можно также проверить, что отображение (Е«,1, Ф, с) — » (Е,',1',1', сс) шоб Е (т.е.
с точностью до сдвига, необходимого для выполнения условия нормализации и. 3.1.2) задает морфизм д: ЕИт и -+ ЕИп,р. 4.2.3. Предыдущая конструкция задает действие группы С(Ао») на проективной системе ЕИкг, а также на ее проективном пределе ЕИр. Можно, кроме того, ввести соотеетпствил Генке. Элемент д е С(А ) (или, точнее говоря, его двойной класс смежности КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРИНФЕЛЬДА 365 по модулю ЛАГГ) индуцирует на проективной системе ЕИЛР соответ- ствие бИР/ГГГ где морфизм о индуцирован вложением Ггг й д 'ГГгд в ГГг, а морфизм )У ицдуцирован действием элемента д ' на 5'ИР и вложением и ~ дид ' из Уг П д '0~д в 5ГО Можно проверить, что если компонента д, в точке т ф оо тривиальна, то соответствие продолжается до соответствия на бИГ х х Врес(Ох,ь), причем а и  — этальные конечные морфизмы.
4.3.1. Рассмотрим пространство ьэ = Ь~(С(Г)~С(А)/шк ) квадратично интегрируемых функций на (компактном) пространстве С(Г)~С(А)/шк,. Пространство Ьэ разлагается относительно естественного действия группы С(А) в гильбертову прямую сумму: 1,'=® (П)П, п с конечными кратностями т(П). Неприводимые представления П, входящие в это разложение, являются по определению аетаоморфнмми предсглавлениями (с тривиальным на сп,0 Е А' центральным характером) группы С(А). Можно~ однако, дать и более алгебраическое определение. Для этого вместо пространства 1.~ возьмем пространство локально постоянных функций и рассмотрим все его неприводимые подфакторы (см. [Во-Ла]). Это определение сохраняет смысл, если поле С заменить произвольным алгебраически замкнутым полем характеристики О, например полем (~п Именно такой точки зрения мы и будем придерживаться в дальнейшем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
