Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Жги-Кристоф Йохкоз 308 Пусть Но Е С ([ — б, +б]г) — гамильтониан, зависящий только от гг, гг. Предположим, что Но(0, 0) = д„,Но(0, 0) = О, О„,Но(О,О) ~ О ~ а„',Но(О,О). Теорема. Пусть Н е С '(Тг" х [ — б,+б]г) — гамильтониан, достаточно близкий к Но, и о — значение энергии, близкое к нулю. Тогда поле Хн на поверхности энергии (Н = Ь) сохраняет канторово множество диофантовмк тпоров размерности 2п, С близкик к Тг" х (О, 0). Набросок доказатпельства. 1) Выберем у > О, т > 0 таким образом, чтобы значение з = 0 было точкой уплотнения множества таких з Е К„что )г' — )3з Е СРг — г (и, т).
2) Поверхность уровня энергии (Н = (г) в окрестности нулевого сечения Тг" х (О, 0) задается уравнением К(д, ты гг) = гг — п(д, гг) = О. Поля Хн, Хн коллинеарны на (Н = о). Проекция поля Хк на гиперповерхность (гг = О) = Тг" х [ — с, +с] (О < с < 6) имеет внд Х=(1,-Нту 0-дд„н+Ф,У,тузу)). Поле Я является малым С -возмущением постоянного горизонтального поля (1„9', 0). Поток поля Я за единичное время сохраняет поверхность уровня (дг — — О) и индуцирует на ней диффеоморфизм, который мы обозначаем через г'.
Отождествим многообразие Тг" ' х К с (0) х Тг" ' х К. 3) Для Л Е [ — 1, +1]г" ' обозначим через Яг векторное поле Я+ (О, Л,О) и через Гг ограничение на Тг" ' х К потока этого поля за единичное время. Зафиксируем гг и з, близкие к нулю, такие, что сг = д' — )уз Е СРг„г ( т, т). По теореме о сдвинутом торе (4.1) существуют такой вектор Л(Л) е К.г" ' и такое число р(Л) е К, что диффеоморфизм рЛ = Нщл1,„1л1 о рЛ сохраняет график некоторой гладкой функции Тго ' -+ К со средним значением гг и потому С -сопряжен повороту А .
РАБОТЫ ЭРМАНА ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ТОРАХ 309 4) Легко проверить, что отображение Л + А(Л) является диффеоморфизмом в окрестности начала координат и что поэтому существуег единственный вектор Ло = Ло(ты э), такой, что Л(Ло) = О. Имеем ]д~,П(д, 0)] ) (с ) 0; поэтому можно выбрать г1 — — г1(о) таким образом, чтобы вектор Ло(г1 (о), о) был ортогонален (в евклидовом смысле) вектору Р. 5) Покажем, что д(Ло(г1(о),о)) = О.
Пусть ыд — постоянная симплектическая форма на 1а" ' х Н, ассоциированная с матрицей ДиффеомоРфизм г'' = Рхо~„Н,ЬО ЯвлЯетсЯ точным симплектическим (01 — параметр гамильтоновой изотопии, связывающей тождественное отображение с Х). Если дй — форма объема, ассоциированная с ыл, то форма Р'П вЂ” П точна. Но тогда сдвинутый тор действительно инвариантен. 6) Покажем, наконец, что Ло(г1(о),о) = О. Применяя лемму о жесткости из п. 4.3 к вектору У = Лх,<„<,>,р заключаем, что вектор (1, а) — (О, Ло(г1 (о), о)) ыя-ортогонален надпространству Рсэ" х (0,0) и, значит, является линейной комбинацией векторов (1, 6') и (0,)1). Поэтому векторы Ло(г1 (о), о) и,8 колинеарны.
А так как они еще и ортогональны, то Ло(г1(о), о) = О. 4.6. Инвариантные торы коразмерности 1 с гамильтоновой точки зрения 4.6.1. Неплоские кривые. Рассмотрим С'о-кривую ф: [-д, +Я -э К". Пространствой" снабженоевклидовойнормой.ПустьО < а < Ь. Кривая ф называется (а, Ь)-неплоскоб, если для ]х] < б, о Б Я" ' выполняются неравенства а < эпр ](о, Р'ф(х))] < Ь. 1 <э <ь В частности, для всех х Б ] — Ь, +6] векторы Рф(х),..., П"ф(х) обра- зуют базис пространства К". Пример.
ф(г) = (1, 1~,..., 1") . Русские математики, близкие Спринджуку, интересовались диофантовыми аппроксимациями неплоских кривых почти всюду. Здесь нам понадобится лишь элементарный результат Пяртли ]Ру]. Жги-Кристоф Йоккоэ 310 Предложение. Пусть т > пг — 1. Тогда существует постоянная С = С(а,Ь,т,б) > О, такая, что если кривая ф: [ — б, +б] — э Рс" (а, Ь)-непланарна, тао т(х к [ — б,+б], ф(х) ф СР„(у,т)) < Су~~". Замечание. Сприпджук высказал гипотезу о том, что (в случае аналитической кривой ф) предыдущая оценка выполняется для всех т > О.
А ведь ее доказательство уже в случае т = о(нг) представляется трудным! 4.6.2. Рассмотрим вложение го многообразия В"(б) в В" (ср. п. 4.1) вида Г,(В,т) = (6+Е(),.). Предположим, что отображение б (а, Ь)-неплоское для некоторых постоянных О < а < Ь. Зафиксируем т > пг — 1 и достаточно маленькое у > О. Пусть г': В" (б) "+ В" — вложение, достаточно близкое к Го.
Применяя теорему о сдвинутом торе, заключаем, что для а 6 СР„( у,т) и т 6 [ — б/2, +б/2] существуют сдвиг Вл1„1 „(„1 многообразия В" и функция ф на Т" со средним значением т, такие, что отображение В11„„1 „1„„1 о г' сохраняет график То и функции ф и сопряжено сдвигу В . Для Г = Го имеем до(а, т) = О, Ло(а,т) = а — б(т). Отображение (а,т) + Л(а,т), определенное на СР„( у,т) х [ — б/2,+б/2], продолжается до С -отображения К" х [ — б/2,б/2] — г В." (ср. п. 4.1), С -близкого к Ло. Поэтому уравнение Л(а,т) = О неявно задает кривую бт: [ — б/2, б/2] -+ К", такую, что Л(бр(т), т) = О.
Так как кривая бр С"-близка к Х, то она (а/2, 2Ь)-неплоская. Если число то 6 [ — б/2, +б/2] таково, что бр(то) 6 СР„("1,т), то Г сдвигает тор Тг 1„1 „,; это имеет место, согласно предложению 4.6.1, для множества.к значений то, имеющего относительно большую меру (при маленьких у) в [ — б/2, б/2]. 4.6.3. Диффеоморфизмы, сохраняющие объем. В условиях предыдущего раздела предположим, что вложение г' сохраняет форму объема бй = б(тб01 А . д 46„) и что поток диффеоморфизма Р нулевой, т. е. форма Г'П вЂ” П точна.
В этом случае каждый из сдвинутых торов инвариантен, и мы получаем следующее утверждение. РАБОТЫ ЭРМАНА ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ТОРАХ 211 Теорема [Н7]. Для всякого вложения Г: В" ь В" с нулевым потоком, сохраняющего обеем и достаточно близкого к го, существуют канторово множество К С [ — б/2,б/2] положительной меры и отображение т ь+ ф, множества К в Сьь[Т"), такие, что (1) для всех т 6 К выполняются условия].
„ф„дт = т, []стф„[] Се; (й) для всех т Б К график отображения ф„является диофантовым тором Т„, инвариантным относительно Г; (ш) обзединение всех торов Т„имеет положительную меру Лебега в Т" х Н. Чен и Сунь [17] показали существование таких инвариантных торов при и = 2 и аналитическом вложении Р. Похоже, что Де ла Ллав независимо (хотя и позднее) получил аналогичный результат. Приведенный здесь более общий и более точный результат принадлежит Эрману [Н7]. 4.6.4. Вложим произведение Т" х [ — б,+б] в некоторую карту какого-нибудь атласа на произвольном компактном многообразии М "+'.
Рассмотрим диффеоморфизм Со многообразия М "+', класс изотопии которого может быть зафиксирован заранее, совпадающий с Го на Т" х [ — Зб(4,34/4]. Заметим, что нулевое сечение Т" х (0) разбивает многообразие М. Для любого диффеоморфизма С из некоторой окрестности У диффеоморфизма Со в ВН [М) справедлива следующая замечательная альтернатива: ° либо С сохраняет некоторое канторово множество инвариантных торов, объединение которых имеет положительную меру Лебега, и индуцируег на них диофантовы вращения, ° либо С не является ценно таранзитивны.м, т.
е. в М существуют две точки х,х', не лежащие одновременно ни в какой орбите никакого Со-возмущения диффеоморфизма С. Если возмущение С сохраняет некоторую вероятностную меру и, относительно которой все открытые множества имеют положительную меру, то второй член альтернативы невозможен. Заметим, что существенно рассматривать окрестность диффеоморфизма Со в С -топологии: Окстоби [О] показал, что в группе Нотео„(М) гомеоморфизмов компактного многообразия М, сохраняющих вероятностную меру и (относительно которой мера каждой точки нуле- Жан-Кристоф Йоккоз 312 ввя, а каждого открытого множества — положительная), свойство иметь плотную орбиту является общим в смысле Бэра. В случае если мера р эквивалентна мере Лебега, объединение всех инвариантных торов имеет положительную д-меру и все показатели Ляпунова ограничения С на зто объединение равны нулю; так строится контрпример к гипотезе Песина [Ре].
5. ГЕОМЕТРИЯ И ДИНАМИКА ИНВАРИАНТНЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ ТОРОВ 5.1. Первая теорема Биркгофа. Пусть à — точный симплектический строго монотонный диффеоморфизм многообразия А" (ср. п. 2.4). Запишем поднятие Р диффеоморфизма Г на К" х К" в виде Р(0 т) = (6 Н) = (В+фа(0 т),фг(В т)), где функции фи фг он-периодичны по О. Положим Г'и — о = ВН и будем считать 0, 0 глобальными координатами на К" х К"; функция Н, определенная с точностью до аддитивной постоянной, называется производящей функцией диффеоморфизма Р. Она удовлетворяет условиям Н(0+)с,О+й) =Н(В,О), й Е Е", ( дгН(0,0) = — т, (0~") = ( 1 ) [ 0 Н(0 6) = Н.
Определение. Диффеоморфизм Р (или Р) называется глобально ноложипгельнмм, если функция Н удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий: (!) Н ограничена снизу; (й) для всех 0 Е К" функция 6 нг Н(0, 0) ограничена снизу; (ш) для всех 0 Е К.н функция 0 ~-> Н(0, 0) ограничена снизу; (Гя) 1иийв-ей е [[6 — 0[[ 'Н(0,0) =+со. Определение. График отображения ф Е Со(Т",К") называется Се-лагранжевмаа, если существуют такие с Е К", ц Е Сг(Т"), что ф = с+фу (другими словами, если отображение ф, рассматриваемое как сечение кокасательного расслоения Т'(Т"), замкнуто в смысле теории обобщенных функций). РАБОТЫ ЭРМАНА ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ТОРАХ З1З Теорема [Нб]. Пустпь Р— глобально положительный диффеоморфизм многообразил А".
Предположим, чтпо Г сохраняетп Св-лагранжев график функции ут Б Се(Т",К"). Тогда отпображение тр липшицево; кроме того, если положить г(В,ут(В)) = (О,тр(0)), то для почтпи всех В Б Т" Пф(В) > -дгн(В, В), ПФ(0) > -дгН(В,О) (неравенства понимаютсл в смысле порядка на симметпрических матрицах) . Набросок доказательствоа. Положим ЯВ) = (с,В) + п(В) (ср.
определение выше) и обозначим через у гомеоморфизм пространства К", такой, что Г(В, ут(В)) = ЩВ), ут(у(В)). Положим К(В,В) = Н(В,О) +4(В) — Ф(6). Имеем д,к(В, О) = О ~ О = Я е=ь до К(В, 6) = О. Гак „ак (;ш< гй + К(О,В) = +ос, кРитическое многообРазие (О = у(В)) реализует минимум функционала К. Распределения В т дг К( Вд и О т.+ дгК/ у- <ор принимающие значения в симметрических матрицах, оказываются поэтому положительными. Теорема доказана. 5.2. Вторая теорема Виркгофа (возмущенный вариант). Грассманиан Л(п) лагранжевых плоскостей в С" = Кв йт тК" Т'К" отождествляется с многообразием П(п)/0(п); выделенная точка соответствует горизонтальному подпространству Ьо = К" х (0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
