Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Заметим, что эти оценки являются более общими и что результат Шемена распространяется на гораздо более сложную геометрическую ситуацию, чем вихревой карман (см. разд. 3). РЕЗУЛЬТАТЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПОТОКУ ЖИДКОСТИ . 385 Заметим, что работы Шемена, упомянутые выше, послужили предметом для многочисленных улучшений' и переформулировок: так, локальная регулярность вихревых карманов была независимо доказана Серфати [8], который работал непосредственно с интегродифференциальными уравнениями контура и доказал, кроме того, аналитическую регулярность этого контура по времени. Прямой подход к локальной регулярности был также развит недавно Бертоци [Ве] в его диссертации. Наконец, Константин и Бертоци [ВС] дали несколько менее длинное доказательство теоремы А, тоже основанное на логарифмической оценке, но существенно зависящее от конкретной геометрической структуры вихревого кармана.
В заключейие введения в эту проблеллу заметим, что оценки геометрии контура, полученные Шеменом, являются дважды экспоненциальными; было бы интересно узнать, являются ли они оптимальными; если это так, то это могло бы объяснить предсказание появления особенностей, вытекавшее из численного моделирования.
Другая открытая проблема — эволюция изначально сингулярного контура (с углами, каспами и т.д.). О.5. Вихревые поверхности. Перейдем теперь к еще более сингулярным решениям. Предположим, что задано начальное векторное поле скоростей ис, разрывное вдоль 'регулярной кривой на М; тогда вихрь является мерой Радона, сингулярная часть которой является плотностью на этой кривой. Возможно ли решить задачу Коши для системы (Е) в этом случае [заметим, что теорема Юдовича уже 'неприменима)? Еще в большей степени, чем в предыдущих случаях, эта задача моделирует большое число физических ситуаций, например течение воздуха вблиеи крыла самолета, и явилась источником обширной физической литературы и литературы по численным методам; для более детального ознакомления мы отсылаем к статье Сафмана н Бейкера [БВ]. Отметим, что речь идет об очень неустойчивой задаче; что было замечено Гельмгольцем [Н], Кельвином [К] и Тейлором [Т].
В отличие от случая вихревь1х карманов, упомянутое интегро-дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию границы раздела сред, некорректно определено на малых промежутках времени в том смысле, что ассоциированная линеаризованная задача не имеет решении в классе С [см. работу Биркгофа [В1]). Однако для этой задачи имеется результат о локальном сушествовании в случае, когда граница раздела и ограничение иа на ее дополнение аналитичны, причем методы базируются на абстракт- 386 Патрик Жерар ных формах теоремы Коши — Ковалевской (см. [ВР, ВК, СО]). Но численное моделирование (см., в частности, [Кг]) позволяет предположить гораздо более сложное поведение на конечном отрезке времени. Более общо, можно поставить следующий вопрос: существует ли решение задачи Коши при заданном начальном поле скоростей в ХР, вихрь которого является ограниченной мерой? Методы отыскания слабых решений нелинейных уравнений в частных производных подсказывают следующую стратегию: регуляризуя данные Коши и используя теорему Волибнера, получаем последовательность регулярных решений (и„) с ограниченной кинетической энергией, а также ь'-нормами соответствующих вихрей.
Некоторая подпоследовательность (и„ ) будет слабо сходиться к полю скоростей и, интегрируемому с квадратом, вихрь которого является мерой. Проблема состоит в том, чтобы выяснить, является ли и решением уравнения Эйлера (Е') д~и + йч (и ® й) = — «ур, йт и = О, где уравнение (Е1) записано в консервативной форме для того, чтобы оно имело смысл, когда и — только функция, интегрируемая с квадратом. Трудность заключается в том, что неизвестно, является ли сходимость и„к и сильной и можно ли, следовательно, перейти к пределу в члене (и„' З й'„). Диперна и Майда в трех статьях [ВМ1, 2,3] первыми приступили к этой проблеме. Они доказали, что последовательность сильно сходится вне некоторого множества хаусдорфовой размерности, меньшей или равной 1; несколько позже Грингард и Томанн [СТ] доказали, что если эта размерность < 1, то сходимость сильная.
Диперна и Майда также предполагали возможность явления «рассеянной концентрации», когда, хотя сходимость и не сильная, и все-таки является решением уравнения Эйлера; Алинак [А2] показал, что это явление имеет место, если точки накопления последовательности (]и„— и]г) в слабой топологии концентрируются на «достаточно малых» множествах. Только в 1990 г. был дан положительный ответ на этот вопрос в важном частном случае: Теорема В (Делор [В1, 2]). Пусть (и„) — последовательностпь регулярных решений системы (Е), последовательность (ио) начальных доннах которой сходип1ся в среднеквадратичном к (и„); предположим, что ь»о = гоэио — мера Радона, сингулярная часть ко«порой положительна (или отрицательна), и что последователь- РЕЗУЛЬТАТЫ.
ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПОТОКУ ЖИДКОСТИ 387 ность (гойи~) сходится к ыо в слабой топологии. Тогда каждая точка накопленил последовательности (и„) являетсл решением системы (Е'). В частности, задача Коши длл (Е') с начальными данными (ио) имеет решение. Заметим, что из теоремы Делора в действительности следует и устойчивость относительно перехода к слабому пределу для решений системы (Е'), что позволяет найти решения с конечной энергией, вихрь которых является в каждый момент времени мерой Радона с положительной (или отрицательной) сингулярной частью. Однако единственность подобных решений не выяснена; вопрос о сохранении со врвменем кинетической энергии остается также открытым — имеется только неравенство, равенство было бы эквивалентно сильной сходимости последовательностей решений, введенных выше.
Доказательство теоремы В базирувгся на двух соображениях. Прежде всего, исключив функцию давления, Делор вьп1ел эквивалентную форму для (Е), которая позволила ему заключить, что достаточно перейти к пределу в некоторых квадратичных выражениях от и„. Этот последний факт ранее'отмечался цитированными выше авторами в связи с «рассеянной концентрацией». Отсюда получается, что предположение о положительности для сингулярной части меры ыо дает замечательное явление компенсации в псевдо- дифференциальных квадратичных выражениях от ш„= гоФ и„, что делает возможным эффективный переход к пределу (см. разд.4). Отметим, наконец,' что это явление компенсации недавно было интерпретировано Эвансом и Мюллером [ЕМ] в терминах пространства Харди в духе результатов Куафмана — Лионса — Мейера — Семмеса [СЦ.
0.6. Об использурмых функциональных пространствах. Если Š†векторн расслоение над М и к Е Х 0 (со), то обозначим через Сь(М, Е) пространство сечений класса Сь расслоения Е. Длн каждого расслоения Е, используемого в дальнейшем, и для всех к ф со выбирается норма на С" (М,Е), которая определяет топологию С"-сходпмости; обозначим эту норму через [ ]ы Если сг Е]0,1[, то обозначим через С (К") пространство ограниченных функций у на К", таких, что существует С > О, при котором выполняется неравенство [у(х) — У(у)[ < С]х — у[ .
388 Патрик Жерар Если а — положительное действительное нецелое число, то С (К") означает пространство ограниченных функций класса С( ), производные которых порядка [и] принадлежат классу С ( )(К"). Каждое из этих пространств обладает естественной структурой банахова пространства. Если а — пт — положительное нецелое число, то псевдодифференциальный оператор порядка пт из С (К") в С (К") ограничен.
Далее определяется гельдерово пространство для других значений о так, чтобы это свойство оставалось верным для всех действительных значений а и пь Эти пространства обозначают также С (К"), кроме случая, когда тт = и — натуральное число, в котором предпочитают обозначение Ск(К"), чтобы отличать это пространство от пространства ограниченных функций класса С с ограниченными производными, которое оно строго содержит. Эти пространства наделены естественной структурой банахова пространства и через[[ [[ обозначается норма, определяющая эту структуру.
Например, С,'(К") — <класс Зигмунда», т. е. пространство ограниченных функций, удовлетворяющих условию Ц(х + Ь) + ~(х — 6) — 2((х)[ < С[Ь[. Гельдеровы пространства, определенные таким образом, легко описать с использованием диадического разложений в пространстве Фурье следующим образом (см., например, [СМ)). Пусть у = Щ)— функция класса С ' на К" с компактным носителем в К"ЦО), такая, что носитель функции лежит в компакте пространства К". Если у' — обобщенная функция умеренного роста на К", то положим для р > О Лаях) =~р(2 аЦ~(х), Вру(х) = у(2 "0)у(х) и Ь ау(х) = ~(ЮЩх), так что -т<д<р-а -1йо Заметим, что Яр~ является функцией класса С' и что, обозначив через [ )ь С~-норму на К", получаем РЕЗУЛЬТАТЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПОТОКУ ЖИДКОСТИ 389 где С» зависит только от к. Таким образом, обобщенная функция Г умеренного роста принадлежит Са(В.") для а Е В.1М (соответственно С, (В.") »|Ля о Е Х) тогда и только тогда, когда существует константа С, такая,что для всех р > -1 [|.'»Р,Г]р < С2 га, причем наилучшая из констант С определяет норму на гельдеровом пространстве порядка а и индуцирует на нем'структуру банахова пространства.
Так определенные гельдеровы пространства выдерживают умножение на функцию из класса С~ с компактным носителем и локально инвариантны относительно диффеоморфизмов. Если Š— векторное расслоение над компактным многообразием М, то можно определить пространство гельдеровых сечений порядка а расслоения Е над М, которое обозначается С (М, Е), если а не является натуральным числом, и С, (М,Е) в противном случае; обозначим через [[ ][и норму, определяющую естественную топологию этого пространства. Если й открыто в М и à — гельдерова функция порядка о на Й, то положим ]]Г[]„,п = Ы(][д[[„, д Е С (М), д[, =,Г]. Обозначим, наконец, Т г-пространство сечений расслоения Е над М через» г(М, Е).
1. РЕГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ Теорема 1 (Волибнер [%], 1933; Като [Ка], 1967). Пусть иа — бевдивергенп|нов век|парнов иоле класса С на М. Сущеставует единственное решение и к С ~(11 х М, ТМ) уравнения (Е), таакое, чгао и(О,х) = ив(х). Доказательство. Оно проводится в три этапа: сначала доказывается существование и единственность решения на малом интервале времени; затем доказывается, что если решение невозможно продолжить за момент времени Т > О, то йш эпр [и(1)]| — — +со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
