Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Кроме того, рассуждения, использованные выше при доказательстве единственности, показывают, что последовательность (и„) является последовательностью Коши в Со([О,Т], ь~) для всех Т > О. Отсюда выводится с помощью интерполяции, что и„равномерно сходится к решению и уравнения (Е'); остальные анонсированные свойства тогда легко получаются переходом к пределу. 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ А. 3.1. Постановка задачи. Пусть ио — поле скоростей на М, вихрь которого имеет вид ьР = а1р0 + Ь(1 — 1ра); РЕЗУЛЬТАТЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПОТОКУ ЖИДКОСТИ 397 где Ро — регулярное открытое подмножество в М, а а и 6 — числа, удовлетворяющие условию а Уо1(Ро) + 6 (то1(М) — тоЦРо)) = О. Для простоты предположим, что граница области Ро связна. Обозначим через и решение Юдовича для этих начальных данных, а через ф' поток поля и, цачиная с 1 = О.
Тогда вихрь поля и(т) задается формулой ы(Ф) = а1св + 6(1 — 1тн), где Р' = ф'(Ро). Выберем регулярное ненулевое поле Хо на компактной окрестности Ко границы дРо, касающееся этой кривой, и обозначим через уо: 8г -г дРо такой диффеоморфизм, что о о о о Хо(70) Чтобы изучить регулярность кривой 7' = ф'(7о), заметим, что если поле Х' = ф'. (Х ) достаточно регулярно, то ~7 =Х(7) У)7,,~7, 7 Х(7) ~Ь '~Ь Следовательно, всякая информация относительно регулярности поля Х' тотчас превращается в аналогичную информацию относительно у'.
Мы будем пользоваться этим рассуждением, регуляризуя данные и рассматривая соответствующую регулярную последовательность решений (и„). Заметив,"что у„' = ф'„( уо) равномерно сходится к у', мы сводим все к оценке для поля Х„' = ф'„,(Хо) и его ковариантных производных Вгносительно его самого, например, по норме в С для фиксированного а Е[0,1[. Мы ограничимся случаем [Х„'), из чего следует принадлежность кривой к классу Ст+ . С производными высшего порядка работать после этого проще. Главная информация относительно последовательности регуляризованных начальных данных (ыо) состоит в том, что Рхеыо ограничены в пространстве Р" и что ы~ ограничены в С на дополнении (К )' к К". Помимо оценки для [Х„'] отсюда выводится оценка нормы Липшица для и„(т), которая с ней тесно связана, и доказывается, что поле и(1) в дейстпвительносгпи липшицево длл любого 1.
Если К вЂ” компакт в М и Х вЂ” векторное поле на М, то положим 1(К,Х) = ппп[Х(х)[. еек 398 Патрик Жерар Ожидаемый результат получается применением к последователь- ности регуляризбванных решений следующей теоремы: Теорема 7 (Шемен [С4]). Для любого а Е]0,1[ существует константа С, шакая, что для любого регулярного решения и уравнения Эйлера, для любого компакта Ко в М и для любого регулярного векторного поля Хо, не обртцающегося в нуль на Ко, верни для всех)-) 0 следующие оценки, где ио — начальные данные для и и ю — егб вихрь: [и(С)] < С М(ио))ой)У (11о Хо,о)ес-м1-'М [1, о]; ]]Х ]]а < Сь []Х ]]и + [ЙУХ ]о + о [ш ]о )у (Ко Хо 012 ехрс' м(и~)г и( 1 ~ю) где М(ио) = [( Уо]о+ []ио]]ы, '(Ко Хо ыро) — 2+ + []Х ][и + [ЙчХ ]о [1хоши]о ' ]]ш ]]айка) 1(Ко, Хо) 1(Ко, Хо)[ыо]о [юо]о + Доказательству теоремы 7 посвящены два следующих пункта.
3.2. Основная оценка. Основным моментом доказательства теоремы 7 является логарифмическое неравенство для лапласиана в размерности 2. Предложение 8..для любого а Е]0, Ц существует константа С,„) О, такал, чшо для любых векторных полей и и Х класса С ' на М, удовлетворяющих условию дгт и = О, и для любого компакта К в М, на котором Х не обращается в нуль, имеет место неравенство [ч'и]о < С([ю]о+]]и[]х.)!ой 2+ ]]Х][ + [д1"Х]о 1(К, Х) [Ь. 40 М«йк).
1 1(К,Х)[ю]о Цо / ' где ы = гаси. РЕЗУЛЬТАТЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПОТОКУ ЖИДКОСТИ 399 Доказательство. Оно опирается на три следующие леммы. Лемма 9. Пусть а Е]0, 1[. Верни следующие неравенства между гельдеровыми нормами и г".РР-нормойг (1) [Ло < Со][у][о!ой (2+ ® (й) [а Ь]о < Са р[а]о[[Ь][о)ок (2 + ф- + (фддц ), где а = (аы..., ар), Ь = (Ьы..., Ьр), а.Ь = а1Ь1 +... арЬр, (ш) []б ВД, <С,,вот, й,+([]В[! +'[й 4 )[У] ) длл всех а' > о, вслкого псевдодифференциального оператора В порядка -1 и любого векторного поля л.
Разумеется, достаточно доказать приведенные выше неравенства в Н". Они вытекают из характеризации гельдеровых пространств через диадическое разложение и парвднфференциапьное исчисление Бони [В1]; неравенство (ш) является адаптацией коммутаторной леммы из [В1]. Чтобы доказать (1), запишем для всех Ф [До < ~' [~1рй~ + Е~' [АрУ]о рйрг р>н < С1У[Щ]о+ С„2 ~ []Д„ и выведем нужное неравенство, выбирая оптимальное М, как в доказательстве леммы 3. Наконец, доказательство (й) является комбинацией логарифмической интерполяции с парапроизведением Бони. Заметим, между прочим, что, применяя (1) к / = Ад, где А— псевдодифференцивльный оператор порядка О, получаем [АДо < С []До1об 2+ — ) ]]Л ~ ][По) ( [И! ~ У]о~' < С [До!об (2+ — ~, поркольку А ограничен в Со, что является уточненной формой леммы 2 (с А = '7В.) Вот один из вариантов оценки такого типа, где гельдерова регулярность на этот раз заменена на предположение локализации: Лемма 10.
Пусть А — псевдодифференциальннй оператор порядка О. Существует С > О, такое, что если Р и С вЂ”.два непере- 400 Патрик Жерар секающихся замкнутых подмножества в М и 7" — существенно ограниченнал функция с носителем в Р, тао 1 зир [АДх)[ < С[7]о 1+ 1оя аеп д(Р, С) Здесь достаточно провести рассуждения в локальных координатах, и лемма сразу вытекает из формулы А,7(г) = К(х у)7(у) у, где К вЂ” ядро с компактным носителем, удовлетворяющее неравенству К(х, у) < С[х — у[ ". Этот подход дает новое доказательство леммы 2. Наконец, тот факт, что размерность равна 2, используется в следующем элементарном замечании: Лемъ7а 11. Пусть Я вЂ” действительная вектпорная плоскость, У вЂ” ненулевой вектор из Е и .7 — такой эндоморфизм плоскостпи Я, что дг = — 1.
Тогда отаображение Епд(Е) + 11г и Я Т ~-э (ьг(Т), сг(ХТ), Т(У)), является изоморфизмом вектпорннх пространств. Теперь кратко изложим, как завершить доказательство предложения 8. Согласно лемме 10, оценка для ~7и легко получается в области Ь, достаточно удаленной от К; действительно, запишем ы = ыг + ыг, где носитель ыт лежит в окрестности К' области К, не пересекающейся с Е, а носитель шг лежит в К'.
Согласно лемме 10, вклад ыг в 17и на Х оцениваетсЯ величиной [ат]о!о8(2+ В г), где В = Н(Ь, К'), в то время как вклад ыг оценивается в силу леммы 9(1) величиной [ы]о1о8(2 + 0 ' + [Ц[а,к./[а~]о), если дополнительно предполагать, что а(К,К' ) также имеет порядок д. Параметр 0 будет уточнен позже. Остается оценить ~7и в окрестности Ка = Ь' области К. Для этого используем такое следствие из леммы 11: существует число С > О, такое, что для любого сечения Т расслоения Епд ТМ и для любого векторного поля У на М, для которого [У(х)[ = 1 на К", для всех х е Ка имеет место неравенство [Т(х)[ < С([1 (Т(х))[+ [ (дТ(х))[+ [Т( )У(*)[).
РЕЗУЛЬТАТЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПОТОКУ ЖИДКОСТИ 401 Применяя это неравенство к Т = 17и, получаем ]17и(х)] < С(]ы(х)] + ]17уи(х)]). (3) Выбираем У = хгХ/]Х], где тг — функция класса С, принимающая значение 1 в некоторой окрестности области К", с носителем в окрестности Ко' порядка д области К", такая, что для любого 11 е]0,Ц ]]хг]]е < Сд-р. Выбор д применяется здесь для того, чтобы гарантировать возможность уменьшать ]Х] на К'". Выбирая д = (1(К, К)/А]]Х~] )'7, где А — достаточно большая константа, легко получить, что 1(Ко',Х) > -1(К,Х), 1 ]]Х]] ]]Х]] ]]17хи]] ]]У]]. < С„К,, ]] 7"]]. С,(К,—,.
Тогда в силу леммы 9(й) 1 2 (ау ]< С(Ио+]]и]]ь )ю8 2+ 1(К Х) + 1(К Х)(( ] +]] ] ) где, кроме того, использовалось, что ]]и]]о < С([ю]о + ]]и]]ьг). Возвращаясь к неравенству (3) и применяя лемму 9(ш) для оценки ]]17 хи]], получаем предложение 8. 3.3. Распространение регулярности.
Конец доказательства теоремы Т опирается на следующую Лемму о распространении гельдеровой регулярности для уравнения переноса. Лемма 12. Пусть о Е]0,1(. Существует константа С, такал, что длл любого и Е С (11+ х М, ТМ) и длл любых функций /, д на В+ х М, удовлетворяющих условию Ог/+1 „/ = д, имеет место неравенство г~ ]]/(1)]] < ]]/(О)]] 1О(абб)звв + / ]]д( )]] 1,1Ща11~йг 1 о Приведенная выше оценка легко получается с помощью метода характеристик. Патрик Жерар Вернемся к обозначениям п.3.1; из уравнения переноса дсЬхьс+ 1о1хис = О сначала выводим, что [1 хос]е —— [1Рхосо]е. Кроме того, поскольку фс сохраняет объем, [йтХ]е = [йтХ~]о.
Применяем лемму 12 к уравнению переноса дсХ + с(7оХ = с(7хи и учитывая оценку ]]17хи]] < С ([1хы]о+ [и]ь(]]Х]] + [йссХ]о)), которая является вариантом леммы 9(ш), из леммы Гронуолла по- лучаем Ь оес 'е" ]]Хс]] < С ' ]]Хо]] ( [л(тХо] ( [ х се е~1о(о(ос(сзо Кроме того, можно непосредственно показать, что 1(Ке Хе) < «Кс Хс)е1о(о(ос(сао ]]ос(т)]] (хП. < ]]ес ]] (н ре1о("('с(' ', Подставляя зти три оценки в неравенство, выведенное в предложе- нии 8,получаем, наконец, [и(с)]с < С,„([ьР]о) + ]]иапо) (о8Л„(Ко Хо ыо) + 1 [и(а)]ссЬ ~о где (КО ХО е) ]]Хе]] + [йтХе]е [1,хоесе]е ]]осе]],(к-) 1(Ко,Хе) 1(Ко,Хо)[осе]е [ьсе]е откуда вытекает теорема 7. РЕЗУЛЬТАТЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПОТОКУ ЖИДКОСТИ 403 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ В 4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
