Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Исключение давления. Лемма 13. Пусть Т > 0 и и Е с г()О,Т(хМ,ТМ). Следующие условия эквивалентны: (г) и — решение системы Эйлера дси+ йч(и З й) = — ~ур, йч и = 0; (Е') (й) и — решение уравнения 1 дси+А иччй — -д(и,и)Т) = О, йчи = О,, (Ео) где А = ЛгСх ггоС сйч + Нйч Рассмотрим псевдодифференциальный оператор Р = дссус1 ггос + Н, такой, что А = Рйч. Согласно разложению Ходжа обобщенных сечений расслоения ТМ (или обобщенных полей), Р является проектором на пространство бездивергентных полей параллельно пространству полей градиентов. Следовательно, система Эйлера (Е') эквивалентна системе дси + Рйч (и 8 й) = О, йчи = О.
Для любой скалярной обобщенной функции е имеем йч(у1) = чу; следовательно, можно добавить к аргументу оператора Рйч любой тензор типа ус; взяв у = — -'д(и, и), получаем требуемый результат. Замечания. Совершенно произвольный выбор у, который мы собираемся сделать, будет обоснован ниже в п. 4.3. Уравнение (Е'), в частности, показывает, что любое решение и системы Эйлера, интегрируемое с квадратом на ~)О,Т(хМ, непрерывно на )О, Т( со значениями в обобщенных полях на М. Поэтому для любого г Е (О, Т) можно говорить об обобщенном поле и(г) и обобщенной функции со(г).
4.2. Теорема устойчивости. Напомним, что семейство У функций, т-интегрируемых на М, называется равномерно т-интегрируемыми, если для любого е > 0 существует б > О, такое, что для 404 Патрик Жерар любой борелевской части Е множества М, удовлетворяющей усло- вию ]н т < б, имеет место неравенствб Щт < е для любой функции 1 й У'. Е Критерий Данфорда — Петтиса (см., например, [Ог]) гарантирует, что семейство У' относительно компактно в ь1(М,т) в слабой топологии о(Ь', Ь ). Теорема В является в действительности следствием такого общего результата; Теорема 14 (Делор [П1,2]). Пустпь Т > 0 и (и„) — последовательность интегрируемыт с квадратом решений на ]О.Т[хМ консервативной системы Эйлера (Е').
Предположим, 'ипо и„(1) для любого 1 й [О, Т] — функция, интегрируемая с квадратом, что ее вихрь ш„(1) является мерой Радона на М и чтпо существуетп такая консптантпа С, что [ик(1)[~т+ / [ю„(1)] < С для любого1 й [О,Т]. (4) /' и уи Кроме тпого, предположилс что для любого 1 й [О,Т] существует последовательностпь о„(1) положительной (соотв. отрицательной) меры Радона на М, такал, что (ю„(1) — о„(1)) равномерно т-интегрируема на М для п й Х, 1 й [О, Т].
Тогда всякая точка накопления последовательности (и„) в слабой топологии пространстпва ог(]О,Т[хМ,ТМ) является решением системы Эйлера (Е'). Доказательство теоремы 14 является предметом следующего пункта. Здесь мы покажем, как из нее выводится теорема В. Пусть и — бездивергентное поле класса Ь~, вихрь аР которого является мерой Радона с положительной (соотв. отрицательной) сингулярной частью оа. Положим ю~ = ел~"-о и иа = Выа + Н(й).
Ясно, что иа сходится к и в среднем квадратичном. Пусть (и„) †последовательнос решений класса С ' уравнения (Е) на [О,оо[хМ с начальными данными (иа). Тогда из условия сохранения кинетической энергии и уравнения переноса (Т) получается оценка (4). Кроме того, пусть о„— решение уравнения переноса (Т), причем и = и„и о„(0) = ел~"со.
Тогда в > 0 (соотв. < О). Заметим, что го1 иа — оа равен ел~"1~, где 1~ — производная Радона — Никодима от ю~ по т. Отсюда вытекает, что последовательность (ш~ — оа ) равномерно т-интегрируема, и, используя снова уравнение переноса (Т) и тот факт, что поток поля и„сохраняет объем, заключаем, РЕЗУЛЬТАТЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПОТОКУ ЖИДКОСТИ 405 что семейство (Ы„(1) — о„(г))„Л равномерно т-интегрируемо. Поскольку, согласно (4), последовательность (и„) ограничена в классе ьг()0, Т[хМ), она допускает точку слабого накопления и, которая, следовательно, является решением для (Е'). Более того, из уравнения (Еп) вытекает, что последовательность (и„) равномерно непрерывна на [О,Т) со значениями в обобщенных полях на М, а значит, и(0) является )тределом и'„', т.
е. равно ио. Подобным же образом, и(1) для любого 1 Е [О,Т[ является точкой накопления для и„(г), а следовательно, она является функцией, интегрируемой с квадратом, и ее вихрь есть мера Радона с положительной (соотв. отрицательной) сингулярной частью, что завершает доказательство теоремы В. 4.3.
Доказательство теоремы 14. Используя равностепенную непрерывность по времени, вытекающую из уравнения (Е"),,заключаем, что достаточно доказать, что если и„(1) для всех 1 Е [О, Т) слабо сходится к и(1) в Ьг(М, ТМ), то и — решение уравнения (Ео). Принимая во внимание уравнение (Е") и теорему о мажорируемой сходимости, получаем теорему 14 как следствие такого результата, не зависящего от й Лемма 15. Пусть (и„) — ограниченнал последовательность бездивергентных векторных полей, интпегрируемых с квадратом, последовательность вихрей (ш„) которой ограничена в пространстве мер Радона. Предположим, что существует последовательность положительных (соотв.
отрицательных) мер Радона на М, таких, что последовательность (ш„— о„) равномерно т-интегрируема. Тогда если и„слабо сходится к и, то и„гуй — д(и„, и„)Х/2 сходится к игой у(и, и)1/2 в смысле обобщенных тензор-функций. Разумеется, мы будем доказывать лемму 15, используя соотношение Вио — Савара и„= Вы„+ Н(и„). Поскольку последовательность Н(и„) ограничена в конечномерном пространстве Н, она относительно компактна, и все сводится к случаю, когда и„= Вы„.
Таким образом, лемма 15 является следствием общего результата о «микролокальной компенсации» положительностью, который мы анонсировали в произвольной размерности. Для дальнейшего полезно ввести некоторые понятия. Пусть Е— действительное векторное пространство размерности д, и пусть |— 406 Патрик Жерар непрерывная однородная функция на Е степени — д.
Обозначим через р радиальное векторное поле на ЕЦО), задаваемое в линейных координатах (Сы..., Се) формулой р = ~ бт дгг Пусть Л вЂ” мера Лебега на Е, и пустыр — функция класса С' на Е с компактным носителем, принимающая значение 1 в окрестности начала координат. Тогда величина ]е ~Ьру дЛ не зависит от у. Действительно, если гр обладает теми же свойствами, что и ю, то носитель функции у — ф класса С' лежит в компакте ЕЦО), и интегрирование по частям УЬ,(р ЯдЛ (ю Ф)( Ь, д) УЫЛ, / Е ге что равно нулю согласно соотношению Эйлера. Следуя Водзицки (см., например, сообщение Кассела (К] на этом семинаре), обозначим эту величину через гез(у, Л). Заметим, что она допускает очень простую метрическую интерпретацию: если Я вЂ” скалярное Произведение на Е, элементом объема которого является Л, то, приближая характеристическую функцию единичного шара относительно Д такими функциями у, получаем, что геэ(у, Л) является интегралом от у по единичной сфере относительно Сг по мере Лебега.
Теперь-предположим, что М есть д-мерное многообразие и что у — непрерывная однородная функция на Т'М 1М степени -д. Согласно предыдущему., выражение в локальных координатах гез(у) = ]дх' д . Лдх~]геэ(у(х,.),]ас1 д. ЛНЯ) определяет на М плотность (т.е. скрученную Н-форму в смысле (ЧАВ]), не зависящую от выбора координат; условимся называть эту плотность вычетом функции у. Результат Делора может быть сформулирован следующим образом: Лемма 16. Пусть М вЂ”, компактпное д-мерное многообразие, снабженное положительной плотнортью, о|пождествляющей обобщенные функции и распределения.
Пустпь (ы„) — ограниченнал последоватпельность мер Радона на М, ограниченная также на пространстве Соболева Н "~г(М) и слабо сходящаяся к ы. Предположим, что существует последовательностль (о„) положительных мер Радона и последовательность (~„), равномерно интегрируемая на М, такие, что РЕЗУЛЬТАТЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПОТОКУ ЖИДКОСТИ 407 Тогда для любого скалярного псевдодифференциального операпитра на М порядка -а', главный символ котпорого имеет нулевой вмчепт, имеем (Аьэн ып)ныт и-ььт -+ (Аьт,ьь)ныт н-ьтт.
Докаэатаельсптво. Предположим, например, что а„> О. Используя разбиение единицы, сведем доказательство к доказательству аналогичного результата на гьв с последовательностью ат„, носители которой принадлежат некоторому фиксированному компакту. Первый этпап. Если ьэ — мера Радона с компактным носителем в гь~, принадлежащая, кроме того, Н ~т~, то она является рассеянной, т.
е. аь((хо)) = 0 для любой точки хо. Действительно, если у — функция класса С'"' с компактным носителем вблизи начала координат, то теорема о мажорируемой сходимости дает ат((хо)) = 1пп у ат(ььх). Поскольку семейство (1э((х — хе)/г)) ограничено в Нвтг и слабо сходится к О, отсюда вытекает доказываемое утверждение. Второй эптон.
Если, кроме того, ат ='о + у, где о ) 0 и у' Е Ь', то для любой функции д Е Ь' функция о+ д является рассеянной. Действительно, о+ д = от+ д — 1. Третий этлап. Ядро оператора А имеет вид к(х,х — у), где (т = й(х, г) — функция класса С на гьв х ге~'1(0), и предположение о нулевом вычете в точности означает, что к(х, г) ограничена вблизи особого значения г = 0 (см., например, (СМ]). Кроме того, если р является функцией класса С с компактным носителем, принимающей значение 1 вблизи начала координат, то для 7' и д, принадлежащих Н "7г, имеет место равенство ( тьх-у~~ (Ау,д)н ттн- т* = 11тп / 1с(х,х-у) 11 — у1 — 117(у)д(х)дхду.
„о, г )) С этого момента, если ы такая же', как на первом этапе, то (Аы,ы)ньт и- м '= ~ с(х,х — у)м(ду)аь(дх) 406 Патрик Жерар в силу теоремы о мажорируемой сходимости, поскольку по.теореме ,Фубини мера ьт яэ ы нулевая на диагонали. Четвертый этап. Теперь используем следующую элементарную лемму теории меры: Лемма 17.
Пустпь Х вЂ” компактное метрическое пространство, ()г„) — последовательность мер Радона на Х, сильно сходящаяся к р, и (и„) — последоватпельность положительных мер Радона, сильно сходящаяся к и, такая, что (д„) < и„. Если 1' — борелевская функция, ограниченная на Х и непрерывная вне замкнутого множестлва и-меры нуль, то 1 ть. т' и~. ,Достаточно применить эту лемму к Х = К х К, где К вЂ” компакт в 1ь~, и р„= и„З ьт„, р = ат ® ы, и„= о„+ ~Я. Поскольку последовательность (1„) равномерно интегрируема, можно предположить, что ~„слабо сходится к у 6 Ь' и что ~Я слабо сходится к д 6 ь'. Тогда о„сильно сходится к положительной мере о = ы — 1, и можно взять и = (о + д) З (ст + д).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
