Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 79
Текст из файла (страница 79)
лен (Здесь и ниже одним символом Дв( ) обозначаются неубывающая функция и очевидным образом связанная с ней мера.) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 417 Предполагая достаточную степень гладкости функции 1(д), можно вывести более сильные утверждения о гладкости функции р(Л), вплоть до бесконечной гладкости илн вещественной аналитичности. С другой стороны, 'известно.'что если при ~1 =- 1 н.о.р.
случайный потенциал принимает всего два значения, скажем 0 и дэ, то для достаточно большого дэ у ИПС имеется сингулярно непрерывная компонента [2, 3]. Гладкость ИПС, сама по себе чрезвычайно интересная, играет важную роль в доказательствах андерсоновской локализации, т. е. присутствия точечной компоненты в спектре операторов (6) и (9). Необходимо подчеркнуть, что большинство известных результатов о гладкости ИПС и других спектральных свойствах случайного оператора относится к дискретному случаю (9). Непрерывный случай намного более сложен с технической точки зрения и намного хуже изучен.
(й) Явные формулы. В одномерном непрерывном случае с марковским случайным потенциалом, принимающим два значения, и в многомерном дискретном случае с независимым одинаково распределеннь1м по Коши потенциалом или с некоторыми специальными квазипериодическими потенциалами ИПС найдена явно. В последних случаях ИПС представляет собой функцию, аналитическую в некоторой полосе ~1шЛ~ < сопзс. В этих формулах содержится много количественной информации о поведении ИПС на различных частях спектра.
(ш) Асимптотическое поведение. (а) Высокие энергии. Предположим, что потенциал д(х) в (6)— это метрически транзитивное поле на 1ь~, такое, что Е(Р7(0))Р"') < оо, где р — наименьшее четное число, превосходящее Н/2. Тогда Ж(Л) = Фэ(Л)(1+ о(Ц), Л -+ оо, (10) где Ме(Л) — это ИПС для -Ь, имеющая вид (7), т. е. аналог асимптотики Вейля (2), содержащей только старший член.
Эвристическая теория возмущений в одномерном случае дает следующий член в виде 1У(Л) = Фе(Л) — (4яЛ) ' ( В(х) сов 2~/Ах~(х. (11) эо 418 Леомид Пгстур 1!ш !оя г (д) =1 ЧаЕК. г-~- 1ояГ(д+ а) (12) Тогда для операторов (6) и (9) 1ояМ(Л) = 1ояР(Л)(1+ о(1)), Л -+ — оо. (13) В дискретном случае, т. е. для операторов (9), имеется совсем простое доказательство асимптотики (13), основанное на элементарных вариационных рассуждениях.
В непрерывном случае, т. е. для операторов (6), доказательство оказывается более сложным, хотя и его можно изложить в вариационных терминах. Нами это доказательство дано для случайного гауссовского потенциала и для так называемого пуассонова потенциала 4(х) = ~~~ и(х — х,), (14) Здесь мы предполагаем, что Е(д(х)) = О, и полагаем Е(4(х)д(0)) = В(х). Эту формулу можно обосновать во многих интересных случаях.
Но доказательства ее многомерных аналогов до сих пор отсутствуют. Однако задача обоснования этой формулы представляется довольно важной, так как это — простейший нетривиальный случай кввзиклассической асимптотики для случайного оператора Шредингера. В течение последнего десятилетия физики обнаружили большое число красивых результатов с помощью различных версий теории возмущений и квазиклассического приближения. Эти результаты составляют так называемую теорию слабой локализации. Их математический смысл остается совершенно неисследованным. (Ь) Ни.змие энергии. Эта область значений спектрального параметра не имеет аналога в традиционной спектральной теории; однако для случайных операторов она оказывается довольно богатой и интересной.
Упомянем несколько типичных результатов. В соответствии с идеологией квантовой механики низкоэнергетическая часть спектра существенно зависит от выбранного потенциала. Несмотря на это, можно выделить несколько хорошо определенных типов асимптотического поведения ИПС при низких энергиях. Самый простой из них соответствует неограниченному потенциалу. Рассмотрим, например, потенциал, для которого функция распределения вероятности Р(д) удовлетворяет условию РЛСПРВДВЛВНИВ ЗНЛЧВНИй СптнлйныХ ОПВрлтОРОв 419 где п(х) — неположительная функция с компактным носителем, а (х ) — случайно распределенная по Пуассону последовательность точек в Кд.
Асимптотические соотношения (13), по-видимому, имеют место в непрерывном случае для довольно широкого класса случайных потенциалов, удовлетворяющих достаточно слабым предположениям о непрерывности. Другой тип асимптотического поведения демонстрируют случайные потенциалы, ограниченные снизу, например потенциалы вида (14) с неотрицательной функцией и(х). В этом случае спектр совпадает с К+ и 1о8Ад(Л) = — саддЛ ~д~(1+ о(1)), Л вЂ” ~ От, (15) д ( д) д3=1 (16) где ао (х) — случайные поля вида (8) . Спектр такого оператора также совпадает с Рь+, н нас интересует поведение функции Ад(Л) при Л -~ +О.
Замена переменных Л = ет, х; = аде ' и е~М(ст) = и(е) сводит нашу задачу к изучению операторов (16), в которых функции а,, (х) заменены быстро осциллирующими функциями ао((/е). Решению этой задачи посвящена теория гомогеннзации, созданная в последние десятилетия. где сэ зависит только от д1, а и — это концентрация пуассоновых точек. Эта асимптотика была предложена И. Лифшицем и доказана рядом авторов и, в частности, нами. Доказательство основано на технике винеровских интегралов, и существенную его часть составляют глубокие результаты Донскера и Варадхана о больших уклонениях для винеровского процесса или, другими словами, о бесконечномерном методе Лапласа.
Естественно заняться изучением следующих членов асимятотик (13) и (15), в частности, найти коэффициент при экспоненте. Точное значение этого коэффициента найдено лишь в некоторых одномерных случаях. Упомяну еще один тип асимптотического поведения ИПС. Рассмотрим эллиптический оператор 420 Леонид Пастур )т'(Л) = с(а)Л~тг(1+ о(1)), Л -+ +О, где с(а) — довольно сложный функционал на а, . Явный вид этого функционала известен в одномерном случае и в некоторых двумер- ных примерах. 3. СЛУЧАЙНЫЕ МАТРИЦЫ Рассмотрим симметрическую случайную и х и-матрицу М~">, элементы которой имеют вид (17) где Итг — симметричные (И',1 = Ит.;) независимые при т < у слу- чайные величины, такие, что Е(Итб) = О, Е(ИтбИты) = в~(беабй + баббь).
(18) Простейший и лучше всего изученный случай таких матриц отве- чает гауссову распределению случайных величин И'О, и соответ- ствующую плотность можно представить в виде Я„т ехр(ТгИ"г/4аг)бИт, где ߄— нормирующая константа. Вигнер ввел этот матричный ансамбль для описания некоторых свойств спектров энергетических уровней тяжелых ядер. Для таких матричных ансамблей получено много красивых результатов (см. книги [4, 5] и библиографию в них). В частности, для последовательности А'„(Л), заданной формулой (5), где Лы..., ˄— собственные числа соответствующей случайной матрицы, с вероятностью 1 имеем гх 1пп )У„(Л) ив з гтт(Л) = / р(р)е1р, (20) где (Л) = 1. (( с/юг Лг /Л! < 2и (21) 2ког ( 0 в противном случае.
С. Козлову удалось доказать довольно общий результат, применимый к этой спектральной задаче. С помощью этого результата можно доказать, что для случайного оператора (16) (ср. (7) и (10)) РАспРеДеление знАчений слУчАЙных опеРАтОРОВ 421 Это хорошо известный закон Вигнера, или полукруговой закон. Внгнер и другие авторы распространили этот результат на ряд более общих случаев. В [6) доказан оптимальный результат, состоящий в том, что если заменить в (20) сходимость с вероятностью 1 на сходимость по вероятности, то (20) и (21) остаются верными при условии, что случайные величины И~О при в' ~ у одинаково распределены и это распределение удовлетворяет условию (18). Это условие, представляющее собой аналог хорошо известного в теории вероятностей условия Линдеберга, в несколько более общем виде оказывается необходимым и достаточным [5, 6).
Таким образом, полукруговой закон (20) и (21) является столь же универсальной формой предельного распределения собственных чисел случайных матриц с независимыми элементами, сколь нормальное распределение оказывается универсальным для нормированных сумм независимых случайных величин. Последние результаты были получены путем изучения асимптотики рекуррентных соотношений по и для и 'Тг(М!"> — з) 1ш г ,-Е О, при и -+ со. Эта техника позволяет изучать и матричные ансамбли более общего вида с теми же функциями И;" и такими числами Л„что для каждого Л, являющегося точкой непрерывности некоторой функции распределения Юо(Л), существует предел !пп 1~(Ь; < Л)п ' = 1Уо(Л). (23) Этот предел можно назвать невозмущенной интегрированной плот- ностью состояний.
Рассмотрим ее преобразование Стильтьеса го(х) = 1Ь х) Хо(й~а), 1шх ~ О. Согласно [6), если г„(х) = (р — х) 1Ю„(6р), то предел г(з) = !пп„г„(з) по вероятности существует для всех 1шз ф 0 и его можно найти как единственное решение функционального уравнения I г(2) = го(х + и г(з)) (24) 422 Леонид Пастур Н~ ~ = лбй + ~П( Чг)ЧЬ в=1 (25) где Ь<") — произвольная матрица с предельной ИПС Ло(е1Л), тз и 4; — соответственно независимые одинаково распределенные случайные величины и единичные векторы в В.", причем распределение последних едостаточно близко» к равномерному.
Тогда при и -е оо, гп — е со, гп/и — > с < со существует предельная ИПС для ансамбля (25), а преобразования Стильтьеса г(г) и го(г) плотностей Л7(ЫЛ) и г'1о(е(Л) связаны соотношением где п(Ыт) — это плотность распределения величин т,. Легко видеть, что, заменив в (26) г + сЕ(т) на г и сделав предельный переход с -е со, Е(тг) -+ О, сЕ(тг) -+ вг, мы придем к уравнению (24). Уравнения (24) и (26) можно считать полным решением задачи о собственных значениях для ансамблей (22), (25) и (27). Как я уже упоминал выше, мотивировкой постановки задач изначально послужила ядерная физика. В последние десятилетия ансамбли случайных матриц использовались и во многих других областях квантовой физики.
В частности, задача изучения квантового ротора, подверженного периодическим по времени толчкам, архетипической модели квантового хаоса, связана с изучением распределения собственных значений случайных матриц М)н,ьг (25 + 1) — г7г4(( )~5 (27) в классе функций, аналитических при всех 1шг ф О и таких, что 1ш г(г) . 1гп г > О, 1ш г ф О. ИПС, отвечающая решению функционального уравнения (24), называется деформированным полукруговым законом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
