Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Невозмущенная часть (35) семейства (34) имеет более специальный вид, чем в семействе (32). Этот специальный вид обеспечивает существование предела при д = оо для невозмущенной ИПС, которая в данном случае имеет гауссову форму. 'Рретье семейство операторов Н~"1 действует на 1'(Е") 8 С„и задается случайными «блочными» Матрицами Нрй(а,х;)у,у) = Ь(х — у)б д+ЛТ'~~б(х — у)И'„Л(х), (36) где а, 11 = 1,..., и, х, у Е Еа, функция а(х) такая же, как в (32), а случайные функции И'„л(х) независимы (не считая условия симметричности И' л(х) = И'д (х)) и одинаково распределены, причем (ср. (18) и (32)) Е(Иод(х)) = 0~ Е(%од(х)Итэ(у)) = е б(х у)(6«тбпэ + баббдт).
ИПС 1УРО(Л) операторов Нйй определяется как предел последовательности (п[Л[) 'ЛГл,„(Л), где ЛА „(Л) — считающая функция для собственных значений ограничения НА семейства (36) на конеч(ь) ую облас~~ Л С 2а. Размер блока п при этом стремится к бесконечности. В результате ИПС опять оказывается возмущенным полукруговым законом. Операторы Н("1 были введены Вегнером [16], который вывел последний результат на уровне строгости теоретической физики с помощью возмущения случайной части семейства (36). Мы вновь видим, что возмущенный полукруговой закон — довольно общий и универсальный вид предельного распределения собственных значений. Результаты этого раздела доказаны в [15[ с помощью подхода, набросок которого приведен в предыдущем разделе.
Основной технический результат, используемый при этом, состоит в том, что при Н,б,п -э со моменты Е(п',, С(хнубгн)) принимают вид П,, Е(С(хо уп х;)) для любых фиксированных 1 > 1, хор, Е Еэ и [1шх;[ > й, «' = 1,...,1, пРи достаточно большом и. Здесь С(х,у;х) = (Н1"1 — х) 1(х,у) при а = Н,Н и С(х,у;х) П '2 "ац(Н~"1 — Х) '(О,Х;О,у) дпя а = и.
Леонид Пастур 428 Для доказательства етого результата мы строим некоторую бесконечную систему уравнений на указанное семейство моментов и показываем, что у построенной системы имеется единственное решение, которое при Н, сс, и = оо можно записать в виде произведения. Функцию Ях — угя) = 11шнд,„, Е(С(х,931 я)), входящую в зто произведение, можно найти как единственное решение некоторого нелинейного интегрального уравнения. Условие его разрешимости приводит к равенству (24). Читатель, знакомый со статистической механикой, обнаружит близость описанных выше результатов с предельным переходом к бесконечному радиусу взаимодействия или к бесконечной размерности пространства, широко используемым в статистической механике для обоснования приближения среднего поля.
Таким образом, наши предельные результаты можно считать аналогами предельных результатов в статистической механике. ЛИТЕРАТУРА [1] Огепапдег П., Бзебо О. Тоеррйя Роппз апсс ТЬесг Арр1кабопв, 11шч. Са!йогша Ргеяз, Вегйе!еу, 1958, [2] Свгшопа Н., 1,асгосх 3. Брессга1 ТЬеогу оГ сЬе Напссош БсЬгоссспйег Орегагог, ВпЬЬапвег, Вазе!, 1990. [3] Равспг 1. А., Рг8оСш А.Ь. Бресега о1 Напйош апд А1шовС Репогск Орегасогв, ОгппсйеЬгеп ссег МасЬ. %1вв., Брг1пйег-Ъег!ай, Неьйе1Ьегй, 1992.
[4] МеЬСа М. Ь. Напбогп Магпсев, Асассешсс Ргеяз, Ы. У., 1967. [5] Гирко В. Л. Спектральная теория случайных матриц. Ма Наука, 1988. [6] Пастур Л.А. Спектры случайных самосопряжениых оператороз. — УМН, т. 28, 1973, вып. 1, с. 3 — 64. [7] Вевзы П., 1сзуйзоп С., ЕпЬег 3. Япапспш йе16з СЬеогу сесЬшсспев, Ассч. Арр. МаСЬ., 1 (1980), Но. 2, 109 — 157. [8] Кпз М., Ьесчепвгесп М., Наайе Р. Пепвеу оЕ есйепча1пев о1 гапссош Ьвлсс шаСгкев, РЬуз. Речсечг, А44 (1991), 2800-2808. [9] Богачев Л.
В., Молчанов С. А., Пастур Л. А. О плотности состояний случайных ленточных матриц, Матем. заметки, 50 (1991), № 6, 31-42. [10] Хорунжий А. М., Молчанов С. А., Пастур Л. А. Распределение собственных значений случайных ленточных матриц при стремлении их порядка к бесконечности. — Теор. матем.
физика, 90 (1992), № 2, 163-178. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 429 [11) КЬогппкЬу А., КЬогпкЬеп1со В., Раягпг Ь., ЯЬсЬегЬша М. ТЬе !агбеи 1ппй !и вгаСИС!са! шесЬапкя апб вресгга! СЬеогу оГ 4!яогбегег! яувзегпя, гп: РЬаве Тгапв!С!опв апб Спбса1 РЬепошепа, С. ВошЬ ялб 3. Ь. ЬеЬочйгк (ебв.), чо1. 15, Асаг!еш!с Ргевв, Ьопг!оп, 1992, 74 — 239. [12) Вгех!п Е., Кахя1соч Ч. Ехасг!у во!чаЫе йе!б СЬеопев о! с)овег! зггшбз, РЬуз. ЬеСС., В236, 2 (1990), 144-150; Воп61ав М., ЯЬеп1сег Я. Ыпс!. РЬуз., В335 (1990), 635; Сгозя В., М!бба! А.
Ь!опреггогЪаг!че яо1пгюп о! СЬе 1вшб шог!е! оп а гапдош впг!асе, РЬув. Реч. 1,еСС., 64, 7 (1990), 717 — 720. [13] ЬоЬшвйу В. Я. Яггопб аяугпргобсз !ог ехзгеша1 еггогв апб ро!упоппа!в аяяос!асей «4СЬ ЕггСов-Суре гче!8ЬСв, Р!Сшап ЕевеагсЬ ЬСогез !и МаСЬ., чо1. 202, Ьопбшапв, Наг!огч, 1989. ]14] !гявгпг Ь. Оп СЬе ш!чегза!!Су оЕ СЬе !ече1 враг!пб г!!взг!Ьпг!оп !ог коше епзешЫев о! гапбош шагпсев, Ьерс МаСЬ. РЬув., 25 (1992), 259 — 265. [15] КЬогппхЬу А., РавСпг 1,. Ьпп!Ся оГ 'шйпйе !псегасбоп габ!пв, гйшепиопа1!Су алб СЬе ппгЬЬег оГ согпропепгя !ог гапбош орегагогз члСЬ ойчйабопа1 гапбошпезв, Согпш. МаСЬ.
РЬуя., 153 (1993), № 3, 605-646. [16) \Сгебпег Р. Вмогбегег! вувгеш гч!СЬ п огЫСв!в рег я!Се: и = со !!ппг, РЬуя. Кеч., В19 (1979), 783-792. Примечания к русскому изданию (январь 2000). Отметим некоторые результаты, полученные в ходе изучения статистики случайных матриц с момента публикации настоящей работы (1992 г). 1) В работе [а] (см. также [Ъ]) дано доказательство существования ИПС ансамбля (29), в котором функция Сг является локально липщицевской и растет на бесконечности не медленнее чем (2 + я) !ОЯ]!), я ) О.
Эта ИПС абсолютно непрерывна и ее плотность (плотность состояний) может быть найдена либо как единственное решение нелинейного интегрального уравнения, либо как единственный мннимум (распределение зарядов) электростатической энергии линейных зарядов во внешнем поле И. 2) В работе [с] с использованием результатов из [а] и [Ь) получены асимптотические формулы для ортогональных многочленов на всей оси с весом е " , где И есть вещественно-аналитическая функция (см. также [г]], где такие формулы получены для случая, когда ч'-есть многочлен четвертого порядка). С помощью этих формул в [с, г)] установлено одно из наиболее фундаментальных свойств распределения собственных значений случайных матриц: универсальность (независбмость от вида И) их локальной статистики (см.
[4) и [е], где дана постановка задачи). В работе [!] свойство универсальности установлено для более широкого класса функций !', принадлежащих С!з„. Это доказательство не использует указанных 430 Леонид Пвстур асимптотических формул, но существенно опирается на ряд общих соотнощений теории случайных матриц, записанных с использованием ортогональных полиномов. Некоторые мотивированные этим доказательством результаты об асимптотических свойствах ортогональных полиномов с весом е "~, !' Е С!з„представлены в [Б]. Литература к примечаниям [а] Воивев бе Мопсе! А., Рысит 1., БЬсЬегЬ!па М.З. Бсаа РЬув., 79 (1995), 585-611.
[Ь] Ве!В Р., КпесЬегЬаиег Т., Мс1.аибЫш К.1. Арргох. ТЬеогу, 95 (1998), 388-475. [с] Ве!В Р., КпесЬегЬаиег Т., МсЬаибЫш К., Уепа1сЫев Б., 3Ьои Х. Сошш. Риге Арр!. МаСЬ., 52 (1999), 1491 — 1552. [г!] В!еЬег Р., Вв А. Апп оГ МаГЬ., 150 (1999), 185-266. [е] Рввгиг Е. 1п: А!8еЬгыс аиг! Сеошесг!с МегЬобв ш МагЬешас!са) РЬуясв, ебв. А. Воигес г)е Моите! апг) Ч. МагсЬепйо, К!ипег, ВогбгесЬс, 1996, 207-247. [!] Рвввиг Ьн БЬсЬегЬгпа М. 3.
Бяаа РЬув., 86 (1997), 109 — 147. [8] А!Ьечег!о Б., Рввсш Е., БЬсЬегЬгпа М Математическая физика, анализ, геометрия, 4 (1997), 263-277. Лконид ПАСТУР Отдел математики Института физики низких температур Академии наук Украины 310164, Харьков, Украина О НЕКОТОРЫХ НЕДАВНИХ ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В хьз Гарольд Розенберг' > В последние десять лет наблюдался значительный прогресс в понимании минимальных поверхностей в трехмерных многообразиях. Я хотел бы обсудить небольшую часть работ, в которых рассматриваются собственно вложенные минимальные поверхности (далее мы будем называть их также гп-поверхностями) в Рав. До 1982 г.
единственными примерами таких поверхностей были периодические минимальные поверхности, а также катеноид и плоскость, причем получили мы их от прошлого века: геликоид, поверхность Шерка, римановы поверхности, поверхности Шварца и т.д. Мы называем т-поверхность периодической, если она инвариантна относительно нетривиальной дискретной группы изометрий, свободно действующей в пространстве В.в.
Рассматриваемые поверхности всегда будут предполагаться связными, если явно не оговорено противное. Через С(М) обозначим полную кривизну поверхности М, т.е. С(М) = [ К, где К вЂ” гауссова кривизна поверхности М. В 1982 г. С. Коста выписал формулу для полной минимальной поверхности с С(М) = — 12х, моделируемой тором с тремя выколотыми точками, которая по его предположению являлась вложенной [Собб.-1г2].
Д. Хоффман и У. Мике смогли посмоглрегпь на эту поверхность с помощью компьютера и, используя соображения симметрии, доказали, ито поверхность Косты вложенная (Джеймс Хоффман построил графики). Впоследствии были построены семейства гп-поверхностей конечной полной кривизны [Н.-М.-2) (см, рис, 1, 2). Все известные сегодня примеры т-поверхностей в В.в — это либо периодические поверхности, либо поверхности конечной полной кривизны.
Одна из важных открытых проблем — выяснить, существуют ли другие примеры. Мы обсудим некоторые главные результаты о пв-поверхностях конечной полной кривизны — теоремы Р. 'Шепа [Вс)г.-Ц и Лопе- '1 НовепЬегб Наго16. Вогпе гесепв деъе1ортеп1в 1п гЬе вьеогу о1 ргорег1у етЬеддеб гп1п1гпа1 впгуасев 1п К .— бегп1па1ге Вопгьаь!, 1991 — 92, пв 759, Ав1ег1вппе, 206 (1991), р. 453 — 535. О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 433 са — Роса [1 о.-Нов]. Каждая из этих теорем характеризует катеноид в классе гп-поверхностей конечной полной кривизны.
В теореме Шепа предполагается, что поверхность имеет в точности два конца, а в теореме Лопеса — Роса — что род поверхности равен нулю. Мы обсуждаем оценку кривизны для устойчивых минимальных поверхностей; выполненную Гейнцем для графиков, а в общем случае полученную Р. Шеном. Мы показываем, каким образом оценка кривизны используется для построения устойчивых пределов поверхностей наименьшей площади, и рассматриваем приложения. Мы обсуждаем теорему о кольцевых концах и сильную теорему о полупространстве Хоффмана — Микса. Последний результат означает, что две собственно погруженные непересекающиеся минимальные поверхности в Раз являются плоскостями; это очень полезный результат. Мы обсуждаем работы Микса и автора, посвященные гипотезе о конечной полной кривизне: т-поверхности в Раз конечной топалогии; обладающие по крайней мере двумя концами, имеют конечную полную кривизну.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
