Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Это'теорема Губера [Нпб.), современное доказательство которой можно найти в [%Ц. Трудной частью теоремы Губера является доказательство конформности, поскольку из неравенства Кон-Фоссена (напомним, что оно имеет вид С(М) < 2кг(М) для полных двумерных многообразий М неположительной кривизны) следует, что топологический тип конечен, если конечна С(М). Приняв это условие, нетрудно продолжить (д, ы) на выколотые точки. Конец А многообразия М конформно является пунктированным диском: А = .0* = (О < г < 1). Гауссово отображение д мероморфно продолжается в точку г = О, поскольку полная кривизна конца А есть площадь образа А при гауссовом отображении, подсчитанная с учетом кратности.
Если бы рассматриваемая точка была существенной особенностью, то почти каждое значение отображения принималось бы бесконечное число рвз и сферическая площадь была бы бесконечной. Теперь повернем М так, чтобы значение функции д в точке г =- О было конечным. Так как метрика на М задаетсЯ фоРмУлой )г)(1 + )д)г) и эта метРика полнаЯ, Ц = со для любого расходящегося пути у на А, т. е. Т сходится к центру диска П'. Из теории функций (см., например, [Озз.-1)) следует, что ю имеет полюс в рассматриваемой точке. Гарольд Розенберг 448 г* 2[х,(з) 1хг(з)] ~ ы ( дгш и «О (Е) Мы знаем, что форма дгы имеет в точке 0 полюс меньшего порядка, чем ы; следовательно, отображение хз — гхг имеет в этой точке полюс порядка 1.
Рассмотрим образ окружности гезе, 0 < д < 2я, г > О, где г — малое положительное число, при действии отображения хг — гхг. Этот образ 1 — 1 рвз оборачивается вокруг оси хз. Поскольку эта кривая должна быть замкнутой (т.е. А — кольцо), мы получаем, что 1 > 1. В действительности коэффициент при 11'г в форме ы должен быть равен нулю, поскольку отображения хз и хг однозначны на А. Если конец А является вложенным, то'кривая (хг — 1хг)(гезз), 0 < д < 2я„ один раз оборачивается вокруг оси хз, следовательно, 1 = 2 и в окрестности точки 0 имеем , гс ы = ~ — + Ь(г)) сЬ, где Ь вЂ” голоморфная функция. зг Далее, хз — — гье ) дш и д(г) = з~ в окрестности точки 0; следовательно, если отображение (хз( ограничено, то к > 2; это случай плоскостных концов. Заметим, что если к = 1, то коэффициент с действительный, поскольку координата хз корректно определена на конце.
Интегрируя рз, мы получим слелгющее разложение хз (входящие в формулу константы — это постоянные интегрирования): с!п)з)+со+ОД~), если Й = 1, хз(з) = ~(о+Оцг!), если й ф1. 2.2. Геометрия концов конечной полной кривизны. Теперь для нас не составит труда изучить. геометрию конца А конечной полной кривизны. Пусть А конформно параметризуется при помощи диска Р', и пусть (д, ы) — представление Вейерштрасса конца А. После поворота А в В.з можно считать, что д(0) = О, так что послеконформной перепараметризации некоторого подконца конца А получим, что д(з) = з~.
Из полноты метрики в нуле следует, что форма м должна иметь полюс в нуле: в окрестности нуля должно выполняться равенство ы(з) = (.ф + О(ф ~ ~)) сЬ. Непосредственное вычисление с использованием представления . Вейерштрасса (%) дает О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 449 Из уравнения (Е) мы получаем !г! = — + О(!х! ).
!с! з 2!х! Подставляя это выражение в формулу для нахождения хз(г), получим хз — — а1п!х(+ Ь+ — +,О(!х! г). !х!з Коэффициенты этого уравнения — действительные числа (а = — с). Таким образом, вложенный конец, имеющий конечную полную кривизну, асимптотичен плоскостному или катеноидному концу. 3. ХАРАКТЕРИЗАЦИИ КАТЕНОИДА В РАБОТАХ Р. ШЕНА И ЛОПЕСА — РОСА Для класса минимальных поверхностей конечной полной кривизны в 1ьз существуют две фундаментальные теоремы, каждая из которых характеризует катеноид. Теорема 3.1 [ВсЬ.-1!.
Пусть М вЂ” полная минимальная поверхность конечной полной кривизны, погруженная в гьз, с двумя концами, каждый из которых является вложенным. Тогда М есть катпеноид. Замечание. Мы убедимся, что поверхность М является вложен- ной; это следует непосредственно из формулы монотонности.
Теорема 3.2 (Ьо.-Воз, Р.-Ког!. Пусть М естпь т-поверхность конечной полной кривизны и нулевого рода в Рьз. Тогда М является плоскостью или катеноидом. Сделаем краткое отступление. Утверждение теоремы Шепа весьма неожиданно. Почему нельзя присоединить к катеноиду ручку (рис. 10)2 С этим вопросом связана следующая недоказанная гипотеза У. Микса. Пусть Ст и Сг — выпуклые кривые, лежащие в параллельных плоскостях, и пусть М вЂ” такал компактная связная минимальная поверхность, что дМ = Сз О Сз.
Тогда М имеет нулевой род. Как показывает следующий пример, выпуклость необходима. Пусть Мы Мз †д части катеноидов, размещенные как на рис. 11,а. 450 Гарольд Розенберг Рис. 10. Границы поверхностей Мз и Мз лежат в параллельных плоскостях. Соединим нижние и верхние граничные окружности узкими перемычками, «мостами» (см. рис. 11,6). По известному принципу моста (см. ~Сонг., Бта)е)) существует минимальная поверхность М, заполняющая мосты и близкая к Мз и Мз (вблизи Мз и Мз). Теперь мы можем приступить к доказательству теорем 3.1 и 3.2. В качестве полезного средства можно использовать принцип максимума на бесконечности. Из обычного принципа максимума следует, что расстояние между двумя непересекающимися минимальными поверхностями, собственно погруженными в Кз, не может реализоваться как расстояние между точками рз Е 1п1(Мз) и рз Е пй(Мз), Рис.
11,а. Рис. 11,Ь. О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 451 если только Мь и Мг не являются параллельными плоскостями. А что же происходит, если Мь и Мг асимптотичны на бесконечности? Теорема 3.3 (принцип максимума на бесконечности [В.-В, М.-В..-2]).
Пусть Мь и Мг — непересекающиеся минильальнме поверхности с компактной грангщей, собспьвенно погруженньье, в полное плоское третмерное многообразие. Если дМь — — дМг — — ет, то поверхности Мь и Мг плоские. В противноль случае имеет место формула йзС(М„М,) = тп1п(йзС(Мь, дМ,), йвт(Мг, дМ,)). Случай дМь — — дМг = еь составляет содержание сильной теоремы о полупространстве Хоффмана — Микса. Он не рассматривается в доказательствах теорем Шепа и Лопеса — Роса. Сильная теорема о полупространстве будет рассмотрена в разд. б.
В настоящий же момент нам понадобится частный случай принципа максимума на бесконечности, впервые доказанный Лангевином и Розенбергом (и мы приведем его доказательство). Теорема Зей (Ь.— П.]. Пусть Мь и Мг — непересекающиеся минимальные поверхностпи конечной полной кривизны, вложенные в Кз, с компактпнмми гРаницами.
Тогда йвг(Мь, Мг) ) О. При доказательстве этой теоремы используется понятие потока на минимальной поверхности М. Пусть сь †ориентированн цикл на М, и пусть д — оператор комплексной структуры поверхности М (д — поворот в каждой касательной плоскости к М на угол л/2). Тогда поток цикла ст определяется по формуле Р)пх(а) = ]~,У(о'), Льь где а' — единичный касательный вектор к а; тогда,У(о') — кояормальное поле к М вдоль сь, т. е.
единичная нормаль к а, касательная к М. Поскольку координатные функции гармоничны на М, непосредственное применение теоремы о дивергенцин показывает, что Р1ььх(ст) зависит только от класса гомологий цикла о. Таким образом, поток можно рассматривать как Кз-значььую функцию на гомологиях поверхности М. 452 Гарольд Розенберг Во втором разделе настоящей статьи установлено, что конец конечной полной кривизны минимальной поверхности, вложенный в В.з, имеет предельный нормальный вектор (который мы здесь предполагаем вертикальным), и этот конец можно представить как график функции и(х) для больших !х!, где и(х) =а1п!х!+Ь+ +0(!х! з).
!х!з Мы говорим, что конец является концом катеноидного типа, если а ф 0 (а — скорость логарифмического роста конца), и что конец плоскостной, если а = О. В первом случае конец геометрически асимптотичен катеноиду, а во втором — горизонтальной плоскости. Разложение функции и можно продифференцировать почленно, откуда легко получить, что направленный наружу вектор, конормальный к концу вдоль кривой Сл = ((х, у, и(х, у)) ! х + уз = В~), определяется по формуле и = — (х, у, а) + О(!Л! з). 1 Следовательно, Р)пх(Сл) = (0,0,2ха) + О(!В! ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
