Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 87
Текст из файла (страница 87)
О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 461 Рис. 13. Приведем идею доказательства. Пусть М вЂ” поверхность конечной полной кривизны, вложенная в 11з. Мы знаем, что М имеет конечное число концов, которые после поворота поверхности М в 1ь~ можно считать горизонтальными (т. е. предельные нормали к этим концам вертикальны). Каждый конец асимптотичен горизонтальной плоскости или катеноиду. Лопес и Рос деформировали поверхность М в классе минимальных поверхностей, меняя данные Вейерштрасса. Данные Вейерштрадса (д, ы) поверхности М заменялись данными (Лд, — „), где Л— действительное положительное число.
Можно проверить, что эти данные определяют погружение Хх поверхности М. Действительно, это так для всех случаев, когда поток поверхности М вертикален. В нашем случае это верно, поскольку М имеет нулевой род и весь поток сосредоточен на концах. Плоскостные концы имеют нулевой поток, а концы катеноид)(ого типа имеют вертикальный поток, поскольку предельные нормали к этим концам вертикальны. Далее заметим, что каждый катеноилный конец поверхности М является (вертикальным) катеноидным концом поверхности Х1 и имеет ту же Сймую скорость логарифмического роста; при деформации он может двигаться вверх или вниз.
Плоскостные концы остаются плоскостными на той же самой высоте. В соответствии с принципом максимума на бесконечности расстояние между концами поверхности Хх строго положительно, когда Л меняется в пределах от 1 до бесконечности. Следовательно, каждая поверхность Х» является вложенной. Если на поверхности М существует точка р, в которой нормальный вектор вертикален, то найдутся такая окрестность В точки р и такое число Л > 1, что поверхность Хх(В) не является вложенной (мы предполагаем, что М не является плоскостью). В этом можно убедиться, доказав, что поверхности Хх вблизи точки р при Л -+ со сходятся к поверхности Эннепера (которая не является погружен- 462 Гарольд Розенберг ной).
Таким образом, на поверхности М не может быть точек, в которых нормаль вертикальна. Если поверхность М имеет плоскостной конец А, то с помощью подобных рассуждений можно доказать, что если Л достаточно велико и Р является подконцом конца А, то поверхность Хх(Р) не вложенная (мы предполагаем, что М не плоская). Таким образом, все концы поверхности М катеноидного типа и гауссово отображение не имеет нулей и полюсов на М. Конформная компактификация поверхности М вЂ” это сфера Я; слоение на кривые уровня функции хз невырожденно на М н имеет особенность положительного индекса в каждой выколотой точке. Следовательно, поверхность М имеет в точности два копна.
Теперь с помощью теоремы Р. Шепа можно заключить, что М является катеноидом, однако это несложно доказать и непосредственно. Поскольку все нули и полюсы гауссова отображения расположены на концах, отображение д имеет первую степень. Проведя конформную перепараметризацню поверхности М, можно считать, что д(х) = х. Из теории вычетов получаем, что ьг(х) = сей/зз, с б К.
Следовательно, М вЂ” катеноид (Оээ.-1]. Обратимся теперь к деталям доказательства. Для любого цикла у на М можно вычислить его поток по следующей формуле: (рм фз, йз ) = 1 Е1пх(у). Из этой формулы нетрудно вывести, что следующие три условия эквивалентны тому, что М имеет вертикальный поток; 1) формы ь'г и фз точны 2) формы ы и дзьг точны; 3) для любого Л ) 0 погружение Хх корректно определено на М.
Формула для метрики и кривизны показывает, что каждая поверхность Х1(М) = Мх является полной минимальной поверхностью той же полной кривизны, что и М. Теперь предположим, что р б М вЂ” точка, в которой нормаль к М вертикальна, например (0,0, — 1). Конформно параметризуем окрестность точки р диском (О < )х~ < е) таким образом, что д(х) = х , ы = (а + хгг(з))пх, где а б С' и функция Ь голоморфна в Р(г) = (ф < е). Введем на Р(Л'гье) конформную координату С = Л'гьх.
Тогда Хх параме- О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 463 тризуется данными Растягивая Х» в Л'з'~" рэз, получим Х». При Л -+ оо поверхности Х» на компактных подмножествах пространства С сходятся к минимальной поверхности Х,„,: С -~ Кз с данными Вейерштрасса д (б) = с", ы = а пс. Это полная поверхность, конец которой имеет трансверсальные самопересечения; следовательно, для больших Л поверхности Х» имеют самопересечения. Если нормаль в точке р равна (0,0,1), то следует перевернуть поверхность М.
Теперь предположим, что А †плоскостн конец поверхности М (причем М не является плоскостью), и пусть предельный нормальный вектор к А †э (0,0, — 1). Параметризуем подконец конца А следующими данными Вейерштрасса в Р(с): д(з) = в~, ы= ( — +Ь(г)) Аг, где а Е С* и функция Л голоморфна в Р(с). Мы получаем следующую параметризацию конца поверхности М» В Р(Л У е): где С = Л'~~в. Осуществив гомотетию с коэффициентом Л' мы получим новую минимальную поверхность М».
При Л -+ оо поверхности М» на компактных подмножествах пространства С* равномерно сходятся к поверхности Х: С' -э Кз, определяемой формулами Если й = 1, то эта поверхность является катеноидом, а если Е > 1, то она имеет невложенный конец на бесконечности. Следовательно, для достаточно больших Л поверхности М» не являются вложенными, поскольку А †плоскостн конец. 464 Гарольд Розенберг Осталось доказать, что все Х» являются вложениями. Пусть ,у = (Л [ Х» инъективно). Если Ло Е,г, то, согласно принципу максимума на бесконечности, расстояние между двумя фиксированными концами поверхности Х»,(М) строго положительно.
Очевидно, что это расстояние является непрерывной функцией аргумента Л (возможно, принимающей бесконечные значения). Следовательно, если Л близко к Ло, то Х» также является вложением, и множество а' открыто. Пусть Л„Е а, Л„-+ Л при и -+ оо. Если Х» не ннъективно, то существуют такие точки х, у б М, х ф у, что Х»(х) = Х»(у). Пересечения поверхности М» с Х»(х) и Х»(у) не могут быть одномерными; следовательно, согласно обычному принципу максимума, окрестности точек х и у имеют один и тот же образ при действии Х» (мы использовали условие Л„Е,1). Поэтому Х»: М ь+ М» — конечное накрытие (вложенной) минимальной поверхности М».
Вновь применяя принцип максимума на бесконечности, мы доказываем, что существует вложенная е-трубчатая окрестность сг' поверхности М». Концы поверхностей М»„меняются непрерывно, так что при больших п мы имеем М»„С ГГ. Но тогда ортогональная проекция поверхности М»„на М» является диффеоморфизмом, и, таким образом, Х» тоже представляет собой диффеоморфизм. Это противоречие показывает, что множество Г замкнуто, и это завершает доказательство теоремы Лопеса — Роса.
4. ОЦЕНКИ КРИВИЗНЫ ДЛЯ УСТОЙЧИВЫХ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В 1952 г. Е. Гейнц доказал, что если М вЂ” минимальный график над диском Х)л радиуса Л (Рл = (ха + уз < Вз)) и Ко — гауссова кривизна поверхности М в начале координат, то [Нешх] 4лз [Ко] < —. 5Лз Е. Хопф, Финн и Оссерман [Е. Норб1, Р.-Оээ.] обобщили этот результат на случай параметрических минимальных поверхностей, для которых гауссово отображение не принимает значений из некоторого открытого множества. Наиболее общая теорема была получена Р.
Шеном [Вс)».-2]: существует такая универсальная константа С > О, что если М вЂ устой- О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 465 чивая минимальная (погруженная и полная) поверхность в плоском трехмерном многообразии, то С !~(р)! < ~~ )э~ где р Е М, а И(р) — внутреннее расстояние от р до дМ. Устойчивость означает, что на любой компактной области Р поверхности М ' достигается минимальное с точностью до второго порядка малости значение площади в классе всех нормальных вариаций области Р, оставляющих границу неподвижной. Теперь приведем вкратце более строгие рассуждения.
'Теорема Шепа представляет собой очень важный инструмент для изучения минимальных поверхностей в трехмерных многообразиях. Заметим, что из нее вытекает следующий факт: в плоских трехмерных многообразиях полные погруженные устойчивые минимальные поверхности, не имеющие границы, и только они являются вполне геодезическими подмногообразиями. Так, например, в хс~ это плоскости. Этот результат также доказан До Кармо и Пенгом [По С.-Р.].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
