Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 90
Текст из файла (страница 90)
из обычного принципа максимума), и простота топологии конца Аг позволяет показать, что в итоге он будет трансверсэлен слоению, откуда следует отсутствие вертикальных касательных плоскостей. Таким образом, не более чем два кольцевых конца поверхности М имеют бесконечную полную кривизну. 4?4 Гарольд Розенберг, А могут ли два оставшихся кольцевых конца иметь бесконечную пплную кривизну? Это неизвестно, и на сегодняшний день это одна из самых важных задач в данной области. Приведем следующий результат, доказанный автором и Миксом.
Теорема 6.2. [М.-В..-З]. Пусть М вЂ” собственно вложенная минимальная поверхность в гсз с более чем одним концом. Если А — кольцевой конец поверхности М, тпо (после поворотла поверхности М в Вг) либо А асимптотичен горизонтальной плоскости (а следовательно, имеет конечную полную кривизну), либо хз]А — собственная гармоническая функция. В частности, каждый тапкой конец А конформно предсптавляет собой проколотпмй дискР'= [гбС]0<]г]< Ц.
Следствие 6.3. Если М вЂ” собственно вложенная минимальнол поверхностпь конечной топологии и с более чем одним концом, то М вЂ” поверхность конечного конформного типа. Следствие 6.4. Если М вЂ” собственно вложенное минимальное кольцо, пю, поворачивал его, можно добиться тпого, чтобы М пересекало каждую горизонтальную плоскость по простлой замкнутпой кривой. Следствие 6.5. Любая т-поверхность в Нг с концом геликоид- ного типа имеет в точностли один конец. Сильная теорема о полупространстве. В пслупространстве пространства гьг существуют полные погруженные неплоские минимальные поверхности.
Йорг и Ксавье построили такие примеры для еплитыь [з.-Хаю]. Неизвестно, существуют ли примеры такого рода для шара. Однако Хоффман и Микс доказали, что для собственного погружения это невозможно. Более того, они получили следующий результат. Теорема 6.6 (сильная теорема о полупространстве [Н.гМ.-4]). Если Мт и Мг — непересекающиеся собственно погруженные минимальные поверхностли в гь~, то они являются параллельными плоскостпями.
Доказательстпво. Сначала предположим, что Мг — плоскость (скажем, с координатами (х,у)), а Мт лежит в верхнем полупространстве. После вертикального сдвига мы можем считать, что дтзс(Мт, Мг) = О. О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 475 Рис. 14. Пусть Рс — диск радиуса 1 в Мэ с центром в начале координат. Поскольку поверхность М1 собственно погруженная, существует такое 1 > О, что сБзФ(РНМ1) > Е Выберем 1 < 1/4. Пусть кривая Т есть результат сдвига дР~ вертикально вверх на расстояние Е В силу выбора 1 и Рэ мы получаем, что у 0дР1 является границей устойчивого катеноида Сы Для любого 1 > 1 множество Т 0 дР, является границей устойчивого катеноида Сн и катеноид Сн расположен выше Сн, если 1 < 1з' < 1д. При 1 -+ со катеноиды Сю сходятся к горизонтальной плоскости, расположенной на высоте 1, из которой удален диск Е с границей Т (рис. 14).
Очевидно, что ЕОСс ОР1 является границей компактного топо- логического шара и пределом таких шаров при 1 — ~ со будет хплита», заключенная между Мз и горизонтальной плоскостью, расположенной на высоте Е Поверхность М собственно погружена в Кз и 41з1(Мю М1) = О; следовательно, суп(ествует наименьшее 1, такое, что С~ П Мз = И. Но тогда С1 лежит с одной стороны от Мэ в этой точке первого касания, а следовательно, по принципу максимума С~ —— Мз. Тем самым сильная теорема о полуплоскости доказана для случая, когда Мз является плоскостью: Теперь предположим, что М1 и Мз — непересекающиеся собственно погруженные поверхности.
Найдем плоскость между М1 и Мз. Тогда из только что доказанного будет следовать, что М1 и Мэ тоже являются плоскостями. Пусть П вЂ” связная область в Кз, граница которой содержится в М1 0Мз и включает в себя как точки поверхности Мн так и точки поверхности Мз. Заметим, что дй не допускает решения задачи Плато.
476 Гарольд Розенберг Рис. 15. Пусть 7 — дуга в П, соединяющая точку поверхности Мг с точкой поверхности Мз, и пусть Ä— такие жордановы кривые в П,' что коэффициент зацепления кривых Г„и 7 равен единице и Г„ лежит в дополнении к шару радиуса и с центром в фиксированной точке кривой 7 (рис. 15).
Пусть ń— такая гладкая погруженная минимальная поверхность наименьшей площади в П, что дЕ„= Г„. Как показано в разд. 5, подпоследовательность последовательности Е„ сходится к полной устойчивой минимальной поверхности Е С П. Поверхность,Е непуста, поскольку каждая поверхность Е„ пересекает кривую 7 в силу нашего условия на коэффициент зацепления. По теореме Шепа Е является плоскостью. Очевидно, что если Е касается поверхности М1 или Мз в какой-либо точке, они тоже будут плоскостями.
Это завершает, доказательство сильной теоремы о полупространстве. 7. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Назовем минимальную поверхность в аьз периодической, если она связна и инвариантна относительно нетривиальной дискретной группы изометрий, свободно действующих на Н.з. Обозначим эту группу через С. Мы изучаем минимальную поверхность в нз/С, полученную в результате факторизации указанной поверхности в аь~. На самом деле все связные собственно вложенные минимальные поверхности М в Гьз/С могут быть пблучены таким образом, поскольку по сильной теореме о полупространстве поднятие поверхности М на Гьз есть связная минимальная поверхность, инвариантная относительно С (мы предполагаем, что М не является плоскостью).
Заметим, что из этого при наших предположениях относительно М следует сюръективность отображения з1(М) -+ хг(Вз/С). О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 477 Наш главный результат связывает топологию поверхности М с ее полной кривизной С(М). Теорема 7.1 (о конечной полной кривизне [М.-К.-4]). Пусть М— собственно вложенная минимальная поверхность в неодносвязном полном плоском трехмерном многообразии )т". Тогда поверхностпь М имеетп конечную топологию в том и только в том случае, когда С(М) конечна. Если С(М) конечна, то имеет местно равенстпво С(М) = 2к(т(М) — И" (М)), где И"(М) — полное число вращения концов поверхности М (мм определим его позже).
Если Ф = Тг х К, тпо И'(М) = О. Заметим, что неодносвязность многообразия 7т' предполагать необходимо; геликоид в Кз имеет бесконечную полную кривизну и конечную топологию. Обсудим доказательство этой теоремы (по крайней мере для двоякопериодических поверхностей) и приведем некоторые приложения. Для полною плоского трехмерною мноюобразия существует конечное накрытие поверхностями Тг, Тг х В. или Кз/Ег, где Ег — винтовое движение вокруг оси хз с поворотом на угол д относительно этой оси. Таким образом, в данной теореме мы рассматриваем Тг х К и Кз/Ег (двоякопериодические и однопериодические поверхности).
Пусть теперь группа С порождена двумя независимыми сдвигами, причеы Кз7'С = Т х В., где Т вЂ” плоский двумерный тор. Пусть хг. Т х К -+ К вЂ” третья 'координатная функция, Тт — — Т х ($)— множество уровня функции хз на высоте Ь и Р' = (О < ]г] < 1)— проколотый диск в С. Лемма 7.2. Пусть А — кольцо, диффеоморфное диану Р', и Х: А -+ Т х К вЂ” собставенное минимальное погружение кольца А.
Тогда А содержит собставенное подкольцо А', которое можно конформно параметризовать диском Р". В этой параметпризации хг]А'(г) = с1п ]г], где с — постоянная величина. Доказатпельстпво. Пусть Хг — — хз о Х: А -+ К; тогда Хз — собственное отображение. Поскольку кольцо А имеет один конец, Хг ограничено снизу или сверху, но не может быть ограничено одновременно снизу и сверху. Поэтому предположим, что Хг ограничено снизу.
Сдвигая Х(А) вертикально вниз, мы можем добиться, чтобы граница кольца имела отрицательную координату хз и 478 Гарольд Розенберг нуль был регулярным значением отображения Хз. Следовательно, сз = Х '( — со; О) — компактное гладкое подмногообразие многообразия А. Оно имеет в точности одну компоненту, содержащую дА, а на всех остальных компонентах координата хз равна нулю.
Из принципа максимума для гармонической функции Хз следует, что множество гл связно, а из элементарных топологических соображений следует, что Ь представляет собой кольцо и А' = Х ~ [О; со) — собственное подкольцб кольца А. Функция Хз!А' — собственная неотрицательная гармоническая функция, обращающаяся в нуль на границе. Оставим в качестве несложного упражнения по элементарному комплексному анализу доказательство того факта, что кольцо А' может быть конформно параметризовано диском Р* и Хз — — с!и Ц, где с — некоторая константа. Пусть теперь М вЂ” собственно погруженная минимальная поверхность в Т х В.
с конечной топологией. Согласно предыдущей лемме, каждый кольцевой конец поверхности М конформно представляет собой диск .Р*; следовательно, М имеет конечный конформный тип. Мы хотим убедиться в том, что если М вложенная, то она обладает конечной полной кривизной, так что (переходя'к двулистному накрытию) можем считать, что М ориентируема. Тогда отображение Гаусса д: М вЂ” ~ Я~ определено и конформно; два поднятия точки поверхности М в Гьз отличаются друг от друга на сдвиг, который оставляет инвариантным поле ориентированных единичных нормальных векторов к накрытию. Чтобы доказать, что поверхность М имеет конечную полную кривизну, покажем, что выколотые точки кольцевых концов этой поверхности представляют собой устранимые особенности отображения Гаусса д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
