Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Теорема о конечной полной кривизне. В теореме 7.1 утверждается, что поверхность М в Кз/5е есть поверхность конечной топологии тогда и только тогда, когда она имеет конечную 492 Гарольд Розенберг Рис. 19. полную кривизну. Приведем краткий набросок доказательства. За подробностями решительного читателя мы отсылаем к [М.-В.-4). Пусть М с В~/Яз есть гп-поверхность конечной топологии. Задача состоит в том, чтобы показать, что (топологически кольцевые) концы имеют конечную полную кривизну. Для этого следует заключить конец поверхности М между спгандаргпнььми концами, т.е. двумя концами конечной полной кривизны, геометрия которых нам понятна. Затем, используя слоение области между стандартными концами (между которыми заключен конец поверхности М) на устойчивые минимальные кольца, можно доказать, что этот конец поверхности М устойчив, а следовательно, имеет конечную полную кривизну.
Для проведения первой части доказательства необходимо понимание геометрии кольцевых концов конечной йолной кривизны. В разд. 2 настоящей статьи геометрия вложенных концов конечной о достижениях теории сонстненных нложенйЙ 493 Рис. 20,а. полной кривизны в Кэ объясняется с использованием представления Вейерштрасса и того факта, что данные Вейерштрасса (д,м) мероморфно продолжаются в выколотую точку. Для кольцевого конца А в В.э/Яе = М отображение Гаусса многозначно, так что прежде всего нам необходимо установить существование предельной касательной плоскости к А в бесконечности. Предполагая, что конец А имеет конечную полную кривизну,по теореме Губера мы можем заключить, что А может быть конформно параметризован диском Х)*.
Мы получаем теорему пикаровского типа (при доказательстве которой используется элементарный комплексный анализ). 494 Гарольд Розенберг Рис. 20,Ь. Теорема 8.2 [М.-К.-4]. Пусть д — многозначное мероморфнве отображение на В', д = д(ехр '), где д(г + 2кг) = Лд(г) при г б (х + 1у/х < О) и ~Л) = 1. Если площадь образа отображения д (гл. е.
ограничения отображения д на диск О', разрезаннгмй по радиальной линии), подсчитанная с учетом кратности, конечна, то д непрерывно продолжается в начало координат. 8.3. Обобщенное представление Вейерштрасса. Теперь, используя приведенный выше результат, мы получим представление Вейерштрасса для конца А (мероморфное на П). Поступим следующим образом. Мы можем допустить, что Л ф 1, поскольку это обычное представление Вейерштрасса.
Тогда предельное значение отображения д равно нулю или бесконечности, поскольку оно не меняется при умножении на Л. Итак, предположим, что д(О) = О. Положим д = 2па, где О < а < 1. Очевидно, что отображение г~ ьд(г) ограничено в окрестности нуля, а следовательно, д(г) = г1 'Й(г) где отображение Ь голоморфно в окрестности нуля. Поэтому дд/д— О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 495 корректно определенная мероморфная 1-форма на Х)", которая мероморфно продолжается в нуль. С помощью этой формы можно получить многозначное отображение д по формуле д = ехр (/ дд/д).
Заметим, что третья координатная функция хг определена на 1т' с точностью до константы; следовательно, форма дхг корректно опРеделена на тчт. Положим т1 = дхг + т(*дхг). Легко видеть, что форма т1 мероморфна на П* и мероморфно продолжается в нуль. Теперь можно взять в качестве данных Вейерштрасса на А пару (ад/д,т1), которая мероморфно продолжается в выколотую точку. В общем случае справедлив следующий результат. Теорема 8.4 [М.-К.-4]. Пусть М вЂ” полная минилтальная поверхность конечной полной кривизны в Кг/Ег. Тогда сущестпвуют такая хонформная компахтаификация М поверхностаи М и такие мероморфные 1-формы (дд/д,т1) на М, что М параметризуется функцией 1 т Х(г) = Ее д+ —,тд — —,2 т1, д' д' где д = ехр ( [ дд/д) . 8.5.
Геометрия концов конечной полной кривизны. Теперь, используя полученную параметризацию, опишем асимптотическую геометрию вложенных кольцевых концов. Теорема 8.5 [М.-В.-4). Собственно вложенное минимальное кольцо конечной полной кривизны в К /Ег асимптпотично ттлоскости, плоскому вертикальному кольцу (концу типа Шерха) или концу геликоидно-катеноидного типа (с горизонтальной предельной касательной' плоскостью). Если конец А являетася частью т-поверхности конечной полной кривизны, то он не может быть концом гелихоидно-катеноидного типа. Если д ф 0 и конец А асимптотичен плоскости, то эта плоскостаь горизонтальна. Если д иррационально, то А не являетсл концом типа Шерха.
8.6. 'Число вращения конца. Используя приведенную выше теорему, мы можем вычислить поток и полную кривизну т-поверхности М конечной полной кривизны. Для вычисления последней поступим следующим образом. Пусть Т С Кз/Ег — фактор оси хз, и пусть Тл — трубчатая окрестность радиуса Е кривой Т. Для больших Е поверхность Мп = М П Тл ограничена Е жордановыми кривыми Сн ..., Сг, лежащими на дТя, попарно непересекающимися 496 Гарольд Розенберг и такими, что каждая кривая С; сходится к вертикальной прямой (конец типа Шерка), к горизонтальной окружности (плоскостной конец) или к спирали на дТл. Теперь можно вычислить полную кривизну поверхности Мл, используя теорему Гаусса †Бонне переходя к пределу при Л -а оо. Граничный член мы называем числом вращения конца.
Рассмотрим более общую постановку задачи. Пусть А — собственно погруженный кольцевой конец в К~/Яв. Мы знаем, что некоторый подконец конца А не пересекается с ~, и, таким образом, можем считать, что А Г1 7 = о. Тогда граница дА гомотопна циклу на дТл, имеющему вид пп + т17, где и — горизонтальная окружность на дТл, а Д вЂ” фактор дуги правостороннего геликоида, которая соединяет точку р с Яв(р) и проектируется во вложенный цикл на дТл. Число вращения конца А определяется формулой — '~2кп + тд~. Нетрудно видеть, что при больших В это число не зависит от В и в случае стандартных концов является пределом полной геодезической кривизны кривых Сы ..., Са.
Если М вЂ” полная минимальная поверхность конечной полной кривизны в Кз/яв, то число вращения этой поверхности определяется как сумма чисел вращения ее концов. Если поверхность М вложенная, то ее число вращения равно числу вращения одного конца, умноженному на Й, где й — число концов. Теперь формула С(М) = 2х(;Г(М) — И'(М)) из п. 7.1 станет более понятной для читателя.
Если концы являются концами типа Шерка, эта формула принимает внд С(М) = 2яЯМ). Если концы плоскостные и их я штук, мы получаем С(М) 2к(;с(М) — й). Приложения теоремы о конечной полной кривизне. Мы видели в равд. 7 данной статьи, что неплоская ориентируемая т-поверхность в плоском трехмерном многообразии разделяет пространство (это легко следует из сильной теоремы о полупространстве). Из этого факта, а также из п. 8.1 и утверждений относительно геометрии концов конечной полной кривизны, полученных в п.
8.5, мы получаем следующее топологическое условие, не допускающее существования некоторых т-поверхностей. Теорема 8.7 1М.-В.-4). Пусть М вЂ” ориентируемая неплвская т-пвверхнвсть конечной топологии в невднвсвявнвм плоском О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 497 трехмерном многообразии. Тогда число концов поверхности М четко.
Эрик Тоубиана доказал [Т], что т-поверхность в Кг/Т, где Т— сдвиг, имеющая коречную ненулевую полную кривизну и обладающая топологией сферы с двумя выколотыми точками (т. е. кольца), представляет собой геликоид. Используя п. 8.1, мы обобщим этот результат на случай Кз/Ег. Теорема,8.8 [М.-К.-4]. Пусть М вЂ” неплоскал т-поверхность в Кг/Ег,' топологически пРедстаалгвеи1пл собой кольцо. Тогда М является геликоидом.
Следующая теорема Переса и Р~юф, иведставляет собой обобщение теоремы Тоубианы на случай иугвввйго рода. Теорема 8.9 [Р.-Ков.]. Геликоид — ед«иее«пвенная т-поверхностпь нулевого рода в Кг с конечным чвнлам концов геликоидного типа. Техника доказательства, применяимаи Пересом и Росом, основана на использовании деформагнги Лопеса — Роса, описанной в рвзд. 3, и теоремы 7.1. Они такввв доказали (применяя ту же технику), что в Кг/ог, б ~ О, не существует т-поверхности первого рода с конечным числом плосвр4гщых концов, т.е., другими словами, невозможно «закрутить» лоаевииость из примера Римана.
Заметим, что деформация Кархера цййепериодической поверхности Шерка показывает [Кл2], что поверкность Шерка можно «закрутить»; см. рис. 18,Ь). Из теоремы 8.8 можно получить следующую теорему единственности для геликоида в Кг. Теорема 8.10 [М.-К.-4]. Плоскость и геликеид — единственные односвязные т-поверхности в Кг с бесконечной группой симметрий.
Еще одно приложение позволяет классифицировать суммы по'верхностей. Теорема 8.11 [М.-К.-4]. Пусгпь М С Кг/Т есть т-поверхность конечной тополугии и Т вЂ” нетривиальный сдвиг. Если поверхность М имеет геликоидный конец, то М + М является геликоидом. Если М имеет плоскостной конец, то М+ М являетсл 498 Гарольд Розенберг точкой. Если М имеет четыре конца типа Шерка, гпо М + М— поверхносгпь Шерка.
Каллахан, Хоффман и Мике доказали следующую полезную структурную теорему для однопериодических т-поверхностей с более чем одним концом. Теорема 8.12 [С.-Н.-М.]. Пусть М С Вз есть т-поверхностпь с бесконечной группой симметрий и более чем одним концом. Тогда либо поверхность М является кагпеноидом, либо для нее выполняюгпся следующие условия: 1) группа Вуш(М) содержигп бесконечную циклическую подгруппу Я, имеющую конечный индекс, порожденную винтовым движением Яг; 2) поверхностпь М/Я обладает конечной топологией в точности в тех случаях, когда она имеет конечную полную кривизну; 3) сущесгпвует плоскость, пересечение которой с М состоит из конечного числа простых замкнуты)с кривых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
