Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Как следствие из этой теоремы Каллахан, Хоффман и Мике доказали, что двоякопериодическая т-поверхность в В.з имеет один конец. 9. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ, ГИПОТЕЗЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Возможно, в Вз существует много т-поверхностей бесконечной полной кривизны и конечной топологии. Однако на данный момент нам известен только один пример — геликоид.
Есть ли другие примеры? Марк Соре доказал, что вблизи геликоида (т. е. среди графов над геликоидом в е-трубчатой окрестности геликоида) других примеров нет (М.-Я.]. Вопрос менее общего характера состоит в том, чтобы выяснить, являются ли геликоид и плоскость единственными односвязными гп-поверхностями в 11з. Мы знаем, что это верно в случае, если поверхность имеет бесконечную группу симметрий (см. теорему 8.10). Возможно, каждая т-поверхность бесконечной полной кривизны в В.з обладает бесконечной группой симметрий (хотя я в этом сомневаюсь), и в этом случае ответ будет утвердительным. Все известные на сегодняшний день примеры т-поверхностей бесконечной полной кривизны были построены с использованием симметрий, но нет (насколько я могу судить) никакой убедительной О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 499 причины полагать, что не существует других примеров.
Может быть, можно добавить к геликоиду всего одну ручку [а может быть, и больше), и мы получим непериодическую т-поверхность бесконечной полной кривизны. Случай, когда т-поверхность в Гь~ имеет более чем один конец, принципиально отличается от рассмотренного выше. В равд. 5 показано, что в этом случае можно найти плоскостные или катеноидные концы в дополнении к М. Хоффман и Микс доказали, что для таких поверхностей М не более двух кольцевых концов имеют бесконечную полную кривизну (см.
теорему 6.1). Это побудило их выдвинуть следующую гипотезу. Гипотеза о конечной полной кривизне [Н.-М.-З). Кольцевой конец т-поверхности в Гьз, имеющей не менее двух концов, имеет конечную полную кривизну. Это утверждение сходно с гипотезой Ницше, заключающейся в том, что минимальная поверхность, которая пересекает каждую горизонтальную плоскость по жордановой кривой, есть катеноид. Ницше доказал эту гипотезу в предположении, что жордановы кривые звездообразны [Н). Далее мы с Миксом доказали (см.
теорему 6.2), что кольцевой конец т-поверхности в 1С~, имеющей не менее двух концов, либо имеет конечную полную кривизну, либо содержит подконец, который пересекает каждую горизонтальную плоскость в верхнем полупространстве пространства Гс~ по жордановой кривой (после евклидова сдвига поверхности). Таким образом, гипотеза о конечной полной кривизне является следствием утвердительного ответа на следующую гипотезу, принадлежащую Миксу и автору. .Обобщенная гипотеза Ницше [М.-11.-31 Пусть А -- такой минимальный кольцевой конец, что А О (хг — — с > 0) — хсорданова кривая длл любого с > О.
Тогда А имеет конечную полную кривизну. Заметим, что данный вопрос связан с голоморфной функцией д в проколотом диске, и проблема состоит в выяснении того, является ли начало координат существенной особенностью. Поскольку конец А (или его подконец) может быть конформно параметризован таким диском )9*, что хз = К1и[г[, данные Вейерштрасса для этого конца имеют вид (д,1/гд). Однако представляется затруднительным связать особенность функции д в начале координат со свойством вложенности конца А. Мы с Эриком Тоубна- 500 Гарольд Розенберг ной построили примеры погруженных колец бесконечной полной кривизны, трансверсально пересекающих каждую горизонтальную плоскость (д имеет существенную особенность [Н.-Т;1]). Мы даже построили такие погружения в «плиту» в В.~.
Время от времени я обращаюсь к гипотезе Ницше, используя технику комплексного анализа (той его части, которая касается существенных особенностей), но не используя того факта, что конец А является вложенным. К счастью, такое случается со мной не так уж часто. Утвердительный ответ на обобщенную гипотезу Ницше означал бы, что пз-поверхности конечной топологии, имеющие более одного конца, могут быть параметризованы мероморфными данными на компактной римановой поверхности.
Все известные нам примеры собственно вложенных пз-поверхностей в зьз должны обладать этим свойством: все поверхности с бесконечной полной кривизной, которые мы знаем, периодические и имеют факторы конечной топологии. В разд. 8 показано, что обобщенное представление Вейерштрасса мероморфно на компактной римановой поверхности. Какие пз-поверхности в зьз имеют в точности один конец (топологически кольцевой)? К настоящему времени из таких поверхностей мы знаем только плоскость и геликоид, но, как я говорил выше, возможно, что добавление ручки к геликоиду дает такой же пример. Может быть, можно реализовать все компактные поверхности произвольного рода с одним проколом.
Назовем кольцевой конец алгебраичэским, если он конформно является проколотым диском и пд/д и и мероморфно продолжаются в выколотую точку. Является ли каждая т-поверхность конечной топологии в зьз алгебраической? Является ли собственно вложенный минимальный кольцевой конец алгебраическим? Можно ли по крайней мере определить, является ли он конформно проколотым диском? Я могу доказать, что минимально погруженное кольцо, полная кривизна которого растет полиномиально (т. е. Д )К~ < сг", где „— геодезический диск рапиуса г), конформно представляет собой проколотый диск. Условия на рост могут подразумевать алгебраичность.
Интересная смежная проблема состоит в изучении минимальных поверхностей, пересечение которых с каждой из плоскостей хз — — сопз1 есть одна и та же собственно вложенная действительная прямая. Совпадает ли эта поверхность конформно с С? Будет ли это плоскость или геликоид? Какие т-поверхности в Вз имеют нулевой род? Единственные известные нам примеры — плоскость, геликоид и однопери- О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 501 одическая поверхность из примера Римана.
Мико предположил [М.-1], что если поверхность также является и периодической, то она относится к одному из этих трех типов. Какие т-поверхности имеют нулевой род в плоских трехмерных многообразиях, отличных от В.~? Мы думаем, что в Т~ х В.~ все такие поверхности поднимаются до поверхности Шерка в Вэ (заметим, что поверхность Шерка имеет бесконечный род в Вэ). Мы с Миксом доказали этот факт для случая поверхности с четырьмя концами [М.-В..-1], а Вей обобщил результат на случай шести .
концов [%е1]. По теореме Переса — Роса 8.9 в пространстве Кэ/Вэ, д = О, единственной поверхностью нулевого рода конечной топологии, имеющей концы геликоцдного типа, является геликоид. Какие примеры поверхностей нулевого рода существуют в В.э/5э? Заметим, что поверхность из примера Римана имеет нулевой род в В.э и род два в Вэ/Т (Чрезвычайно) общий вопрос состоит в классификации тп-поверхностей рода д конечной топологии в Т~ х К или в 1Сз/оэ. Я полагаю, что при д = 0 и д = 1 задача уже сейчас доступна для нашего понимания.
Но конечно, решение подобной задачи для В,~ нам пока не по силам. До недавнего времени единственными известными примерами двоякопериодических поверхностей были накрытия поверхности Шерка или седел Кархера вместе со своими семействами. Эти примеры были построены мною и Миксом [М.-В.-1]. Затем Ф. Вей нашел очень красивый пример построения двоякопериодической поверхности второго рода с двумя верхними и двумя нижними концами, которые все параллельны (он использовал сопряженную технику Плато или представление Вейерштрасса). Этот пример отличался от всех известных ранее.
Поверхность Вея не содержит прямых линий, как поверхность Шерка и седло Кархера [%е1]; см. рнс. 21,а). Используя идею Вея, Кархер, 'как он сообщил мне в личной беседе, смог добавить ручку к поверхности Шерка (так, чтобы концы новой поверхности вели себя так же, как у поверхности Шерка, и чтобы новая поверхность была поверхностью первого рода); см. рис. 21,8). Рабах Соуам доказал, что ни поверхность Вея, ни поверхность Кархера не могут существовать, если попытаться разместить на них четыре вертикальные прямые [Зопаш]. Дж. Хоффман предполагает, что если М есть гп-поверхность конечной полной кривизны в В.э, то число концов этой поверхности не превосходит суммы рода поверхности М и числа 2.
Он счита- 502 Гарольд Розенберг Рис. 21,а. ет, что, добавив конец к вложенной минимальной поверхности конечной полной кривизны в В.з, мы увеличим род поверхности (это противоречит примеру Римана). Еще один интересный объект для изучения — соотношение между внутренними изометриями т-поверхности М (т. е. группой симметрий) и внешними изометриями, оставляющими поверхность М инвариантной (группой изометрий). Мике предположил, что, когда М является т-поверхностью в Рьз, любая симметрия поверхности М продолжается до симметрии пространства Кз. Мике и автор этой статьи доказали этот факт для двоякопериодических гл-поверхностей; в действительности доказано большее (жесткость): пусть ~~ .. М вЂ” з Кз — двоякопернодическая т-поверхность, и предположим, что уз: М -+ Кз — другое минимальное погружение поверхности М; тогда существует такая изометрия ф простРанства Кз, что ф(з = ~~ [М.-К.-Ц.
ЧоУ, Микс и Вей доказали, О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 503 Рис. 21,Ь. что гл-поверхность в В.з, обладающая более чем одним концом, является жесткой [С.-М.-%.]. Однопериодические пт-поверхности в В.з не жесткие (например, геликоид), однако верно, что их группа симметрий совпадает с группой изометрий, когда М/Яе имеет конечную топологию [М.-1]. Мико также предположил, что неодносвязные гп-поверхности в В.з жесткие (может быть, геликоид — единственная нежесткая гп-поверхность в В.з?): любое другое изометрическое собственное погружение поверхности М конгруэнтно М [М.-1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
