Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 93
Текст из файла (страница 93)
В частности, п]Ат[ < т[Вт[, причем равенство достигается в том и только том случае, когда и = ш. А перевернув поверхность М, мы можем заключить, что тп[Вт[ < (и, ш)п]Ат[. Следовательно, и = ш и п[Ат[ = т[Вт[. Если поле о не вертикально, то существует единственное гори-т зонтвльное направление а, нормальное к и. Следовательно, а = Ь в том случае, когда направление и не вертикально и верхние концы параллельны нижним. Если все концы параллельны, то подгруппа группы Нт(Т х К), порожденная концами, представляет собой циклическую подгруп- пу, порожденную Ат. Если концы порождают циклическую под-+ — т -Ф группу с порождающим элементом А, то а = Ь и и = ш, а следо- вательно, концы параллельны.
Если концы не параллельны, то они вертикальны и п]Ат[ = -т т — т т[Вт]. Поскольку направления а и Ь независимы, векторы и[Аз[а и т[Вт] Ь независимы и имеют равную длину. Следовательно, ре- шетка соизмерима. Это завершает доказательство теоремы 7.6. Теперь не составит труда привести необходимые условия для то- го, чтобы концы заданной двоякопериодической минимальной по- верхности были непараллельны, что влечет за собой существование соизмеримой решетки в обьемлющем пространстве. Доказатель- ство предоставляется читателю; см.
также [М.-В.-Ц. Теорема 7.7. Пусть М С Т х К вЂ” неплоская т-поверхность конечной тпопологии. Тогда ее концы параллельни, если выполняется одно из следующих трех условий: 1) поверхностпь М ориентируема и число ее концов не кратно четамрем; 2) поверхность М вЂ” область в плоскостли; 3) Х(М) нечетпно. 7.8. Сумма минимальных поверхностей конечной полной кривизны. Пусть Мы Мг — полные неплоские минимальные поверхности конечной полной кривизны в Кз с отображениями Гаусса ут уг Пусть рт,,рл, В,...,гЬь — выколотые точки поверхно- О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 487 стей М1 и Мг соответственно, а Мм Мг — соответствующие компактифицированные римановы поверхности. Если зафиксировать единичный вектор г Е З~, можно сложить (в К ) все точки пространства Гьг, для которых вектор г является нормальным.
Варьируя г в Зг, мы получаем полную (разветвленную) минимальную поверхность или точку. Точнее говоря, имеет место следующий результат Розенберга и Тоубианы. Теорема 7.8 [В.-Т;2). Множество г .. ~,~.,',") ея,'() яегг () является полной минимальной поверхностью в Вг (или точкой), полная кривизна которой равна — 4к.
Здесь Иг — некоторое подмножество множества д1(рм..., р„) 0 дг(дг,..., д Нормальный вектор к М, +Мг в точке 2 ', -1(,) х+~ „-1(,) у равен г. Таким образом, М1+Мг естественным образом параметризуется множеством Зг ~ Иг. Обозначим соответствуюшую параметризацию через д.
Если М1 + Мг не является точкой, то д представляет собой конформное инъективное отображение. Это объясняет тот факт, что полная кривизна поверхности М1 + Мг равна — 4к. (Возможные) точки ветвления поверхности Мз + Мг являются геометрическими точками ветвления, но, тем не менее, данные Вейерштрасса этой поверхности мероморфны в этих точках ветвления; для этой поверхности ьз обращается в нуль в точках ветвления. Заметим, что эти точки отличны от точек ветвления отображения Гаусса. Вообще д инъективно в тех точках, в которых м обращается в нуль.
Операция суммы очень полезна для обнаружения симметрий поверхности М. Так, например, Розенберг и Тоубиана доказали следуюшую теорему. Теорема 7.9 [К.-Т.-2[. Пусть М вЂ” полная минимальная поверхность конечной полной кривизны в В.з. Тогда если все концы поверхности М асимптотичнм плоскостям (плоскостные концы), то М + М является точкой.
Идея доказательства проста. В плоскостном конце поверхности М точки, имеющие фиксированное нормальное направление 488 Гарольд Розенберг (вблизи предельной нормали), распределены в пространстве таким образом, что они имеют общий центр масс (подобно корням из единицы). Следовательно, выколотая точка плоскостного конца становится регулярной точкой поверхности М + М. Поскольку Т х В есть абелева группа относительно сложения, а отображение Гаусса инвариантно относительно сдвига, сумма Мг + Мг также определена в Т х В и ее полная кривизна равна — 4з или О. Микс и Розенберг доказали следующую теорему. Теорема 7.10 [М.-В.-1].
Пусть М вЂ” полная погруженная минимальная поверхность конечной полной кривизны а Т х В.. Тогда 1) если концы поверхности М сходятся к параллельным плоским кольцам, то М+ М является точкой; 2) если М вЂ” вложенная поверхность и ее концы не параллель ны, то М + М является поверхностью Шерка. Применяя эту теорему, можно получить следующий результат. Теорема 7.11.
Пусгаь М есть гп-поверхность конечной тпапологии а Т х В. и Т х В обладает несоизмеримой решеткой. Тогда 1) поверхность М+ М является точкой 2) если М вЂ” поверхность первого рода с четырьмл параллельными концами (т. е. седло Кархера), то после сдвига этой поверхносгаи (такога, что гауссоаа кривизна примет нулевое значение а начале координата) точки порядка два группы (В.г/С) х В, лтанут нулями гауссоаой кривизны поверхности М. В этом случае М разделлет Т х В' на дае изометричные компоненгпы.
8. ОДНОПЕРИОДИЧЕСКИЕ МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Существует множество замечательных примеров однопериодических т-поверхностей. Простейший для понимания пример — геликоцд. Его можно построить следующим образом. Возьмем горизонтальную прямую 1, пересекающую ось хз, и будем поворачивать ее с постоянной скоростью, двигаясь при этом вертикально с постоянной скоростью. Полученная поверхность М инвариантна относительно винтовых движений Яг, и для фиксированного 0 поверхность М = М/Яэ конформно является сферой с двумя выколотыми точками конечной полной кривизны — 2В. В Вз/Яг поверх- О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 489 ность М имеет два кольцевых конца, каждый из которых является геликоидным.
Заметим, что для М уже не существует корректно определенного отображения Гаусса. Отображение Гаусса д поверхности М индуцирует многозначное мероморфное отображение поверхности М, при котором различные значения отличаются друг от друга на Л, где Л = е'г: если р и д — такие точки пространства 1С', что ог (р) = д, р,д Е М, то нормальные векторы к М в точках р и д могут быть получены друг из друга поворотом на угол гпд вокруг оси хг; следовательно, их стереографические проекции на горизонтальную комплексную плоскость отличаются друг от друга множителем Л'". С точки зрения представления Вейерштрасса поверхности М в В.г она является сопряженной к катеноиду.
В С* = С Л(0) данные д(г) = г, ы,(г) = е" дг/гг определяют полную минимальную поверхность М для хая~лого действительного т; при г = 0 это будет катеноид, а при г = х/2 — геликоид. При 0 < г < х/2 поверхности М, не являются вложенными, однако каждая из них имеет два кольцевых конца, которые уже будут вложенными. Каждый конец является концом геликоидно-кагпеноидного типа. Пересечение поверхности М, с большим вертикальным цилиндром радиуса В, ось которого совпадает с осью хг, состоит из двух спиральных линий. При В -+ оо спирали поднимаются по цилиндру подобно функции 1пВ; таким образом, они похожи на геликоиды и катеноиды (на самом деле одна спираль поднимается, а другая опускается). Далее мы покажем, что в случае, когда М является вложенной однопериодической поверхностью, кольцевых концов такого типа не существует.
Число концов тогда будет четно, и половина из них будет подниматься при  — > со, а другая половина — опускаться. Таким образом, поверхность М не может быть вложенной.. Хоффман и Вей показали (Н.-ЪУе1), что можно периодическим образом добавить ручку к геликоиду; см. рис. 17,а,й). Еще один пример однопериодической поверхности — поверхность, сопряженная к двоякопериодической гп-поверхности Шерка. В терминах данных Вейерштрасса в Т х К д(г) = г и ы(г) = дг/(г~ — 1) параметризуют первую поверхность Шерка сферой, из которой выколоты корни четвертой степени из единицы. Читатель легко может убедиться, что функции х1 и хг многозначны, а функция хг однозначна.
Функции д(г) = г, м = здг/(г4 — 1) параметризуют сопряженную поверхность (вторую поверхность Шерка) 490 Гарольд Розенберг Рис. 17,а. Рис. 1Т,Ь. также сферой Я~, из которой выколоты корни четвертой степени из единицы. Итак, функция хз имеет период, а функции ха, хэ однозначны; поверхность инвариантна относительно вертикального сдвига Т. Существуют четыре кольцевых конца, которые являются факторами по Т вертикальных концов, асимптотичных плоскостям. Такие концы называются концами типа Шерка; см.
рис. 18,а). Кархер показал, что можно построить однопериодические т-поверхности такого вида, имеющие 2п концов типа Шерка, для любого и > 2. Кроме того, он смог деформировать эти поверхности в однопериоднческие гп-поверхности, инвариантные относительно винтовых движений $е, таким образом, чтобы концы типа Шерка перешли в концы геликоидного типа [К.-2]; см. рис. 18,Ь). Это было сделано с использованием обобщенного представления Вейерштрасса, которое мы рассматриваем в этом разделе.
Приведем еще один пример — пример Римана. Рассмотрим поверхность, инвариантную относительно сдвига Т (не вертикального) и такую, что горизонтальные сечения ха — — сопэс представляют собой окружности или прямые. Концы в 11а асимптотичны горизонтальным плоскостям (расположенным на высоте, соответствую- О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 491 Рис. 18,а. Рис.
18,Ь. щей прямым линиям в сечении); см. рис. 19. Простейший ориентируемый фактор в этом случае — тор с двумя выколотыми точками, полная кривизна которого равна — 8х. Поверхности из примера Римана образуют однопараметрическое семейство,и сопряженные к ним поверхности'также принадлежат этому семейству (это хорошее упражнение для читателя). Превосходное исследование таких поверхностей проведено в [С.-Н.-М.]. Каллахан, Хоффман и Микс [С.-Н.-М.) обобщили пример Римана; см. рис. 20,а). Хоффман и Вей также доказали [Н.-%е)[, что можно присоединить к поверхности Римана ручку (одну ручку между каждой парой плоскостных концов) и получить однопериодическую т-поверхность первого рода с тремя выколотыми точками; см. рис. 20,Ь). 8.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
