Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Если Г есть Яюграница в Й, то Г является границей гладкой вложенной поверхности наименьшей площади в том же классе относительных Яэ-гомологий. Если 470 Гарольд Розенберг Г является гранйцей ориентируемой (погруженной) поверхности рода и в й, то можно выбрать поверхность Ег рода не более чем и, имеющую наименьшую площадь в своем гомотопическом классе. Теперь перейдем к рассмотрению того, как компактные минимальные поверхности наименьшей площади Ег могут сходиться к некомпактным минимальным поверхностям Е конечной полной кривизны. Допустим, что поверхность М ориентируема, А является концом поверхности М,.
А С дй и à — гладкая жорданова кривая на А, не гомологичная нулю в й. Пусть А1 С Аз С возрастающая последовательность компактных подмногообразий многообразия А, зайолняющая все это многообразие, и пусть дА» = Г 1з Г,. Из нашего предыдущего обсуждения решения задачи Плато в А с использованием геометрической теории меры мы знаем, что в й существует такая гладкая вложенная поверхность наименьшей площади Е;, что дЕ; = Г 0 Г; и Е, является Яз-гомологичной А; относительно дАР Поскольку многообразие А; ориентируемо, а поверхность Е; 0 А, является Яз-гомологичной нулю, Е, также ориентируема.
Поскольку кривая Г не гомологична нулю в й, поверхность Е; можно выбрать связной. Теперь покажем, что некоторая подпоследовательность последователыюсти Е; сходится к устойчивой вложенной минимальной поверхности Е, для которой дЕ = Г. Заметим, что для семейства Е, существуют равномерные локальные границы площади. Действительно, если В С й †ш радиуса г и граница дВ трансверсальна к Е;, то дВ й Е; есть 1-цикл на дВ, ограничивающий 2-цепь (шоб 2) на дВ площе„ци не более чем 2хг . Поскольку на Е, достигается минимум площади, ограни- 2 ченной дАа (в классе Ез-го1аологий), мы заключаем, что площадь поверхности Вй Е, не превосходит 2лтз. Аналогично, если  — шар с центром в точке, лежащей на дЕ„то площадь поверхности Е; П В не превосходит площади дВ. Теперь пусть В(г) С й.
Согласно оценкам кривизны, приведенным Р. Шеном, выбрав достаточно малое г, мы можем представить каждую компоненту множества Е, П В(г), пересекающую В(г)2), в виде графика с малым градиентом иад плоскостью Р, в В(г), проходящей через центр шара, причем Р, не зависит от компоненты. В силу равномерных оценок площади число компонент множества Е; П В(г/2) ограничено и не зависит от з; следовательно, О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 471 существует ограниченное число соответствующих графиков.
Сначала предположим, что для любого 4 мцожество Е; П В(т~2) содержит одну компоненту. Выберем подпоследовательность последовательности Рн которая сходится к плоскости Р, проходящей через центр шара. Тогда.из стандартной теоремы о компактности для минимальных графиков следует сходимость некоторой подпоследовательности графиков Е, П В(т(2) к минимальному графику над Р П В(т/2). Если Е; й В(т/2) имеет более одной компоненты, мы проводим приведенные выше рассуждения для каждой компоненты и получаем (равномерно ограниченное) конечное число графиков нвд Р П В(т(2), к которым сходится подпоследовательность последовательности Е; й В(т~2).
Область П обладает счетным базисом шаров В„, где для любого и'и для любой подпоследовательности Е,, последовательности Е; из Ен О В„можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в В„. Предположим, что подпоследовательность Е;„П В1 сходится в Вн Тогда из соответствующей последовательности графиков в Вг й Е;, можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в Вг О Вн ПРодолжим эти РассУждениЯ, пеРеходЯ от В; к В;+ы и возьмем диагональную подпоследовательность.
Тем самым мы получим подпоследовательность последовательности Е;, сходяшуюся к некоторой гладкой минимальной поверхности Е, для которой дЕ = Г. Нетрудно видеть, что поверхность Е является вложенной и устойчивой (поскольку она является пределом вложенных поверхностей наименьшей площади). Из теоремы Хардта и Симонса о регулярности границ также следует, что поверхность Е является гладкой вдоль Г ]Н.-В.].
И наконец по теореме Дорис Фишер-Колбри мы получаем, что Е имеет конечную полную кривизну [Р.С.]. Эта техника йозволяет, в частности, получить следующую лемму. Лемма 5.1. Пусть М вЂ” собставенно вложенная минимальная поверхность в В.г с более чем одним концом. Тогда в дополнении к М существует конец катеноида или плоскости: Доказательство. Пусть à — гладкая жорданова кривая на М, разделяющая М на две'некомпактные компоненты. Обозначим одну из этих компонент через А. Поверхность М разделяет Кз на две связные компоненты, и кривая Г не может быть гомологична нулю в каждой из этих компонент. Пусть П вЂ” та компонента, в которой Г не гомологична нулю.
472 Гарольд Розенберг В соответствии с нашими предыдущими рассуясцениями в й существует такая вложенная минимальная поверхность Ег конечной полной кривизны, что дЕг = Г. Точнее, С = дй = М вЂ” минимальная поверхность; следовательно, она не допускает решения проблемы Плато. Пусть А; С Аг ьт — такое исчерпывание кривой А, что дА; = ГОГы и пусть Е; — вложенная минимальная поверхность в й, У-гомологичная А; и такая, что дЕ, = дА;.
Как мы видели ранее, подпоследовательность последовательности Е; сходится к поверхности Ег. Может случиться так, что Ег с М (если эта поверхность касается М в одной внутренней точке, то, поскольку она находится с одной стороны от М в этой точке, она содержится в М). В этом случае хотя бы один конец поверхности М имеет конечную полную кривизну и, таким образом, асимптотичен некоторому плоскостному или катеноидному концу В. В соответствии с принципом максимума на бесконечности расстояние между концами поверхности М строго положительно. Следовательно, конец В можно перенести в й таким образом, чтобы он не пересекался с М. Аналогично, если 1пс Ег С паяй, то концы поверхности Ег находятся на строго положительном расстоянии от М, откуда следует утверждение лем)еы.
Рассмотрим полезную модификацию этой леммы. Лемма 5.2. Пусть  — шар в Вз, и пустпь Ат, Аз — такие некомпактные собственно вложенные минимальные поверхностпи, что дАт, дАз — гладкие жордановы кривые, В П (Ат О Аз) = дАт О дАг и Ат Г1 Аг = йи Обозначим через Ь кольцо на дВ с границей дАт.О дАг, а через й — связанную компонентпу миожестпва КзЦАтОАзОЬ), не пересекающуюся с В. Тогда внутри й найдется конец плоскости или катеноида. Кроме тпого, дАт является границей гладкой вложенной поверхности Е, лежащей в й, причем вне большего шара В, содержащего В, Е является минимальной поверхностью конечной полной кривизны, разделяющей концы поверхностей Ат и Аг, т.
е. любой путпь в В.з ~ В с концами в Ат и Аз пересекает Е. Доказатпельство. Пусть 1' = дАт. Рассмотрим такую область й, что дй = Ат О дь О Аз. Если бы граница дй не допускала решения задачи Плато, то построение поверхности Е = Ег осуществлялось бы в точности так же, как в доказательстве предыдущей леммы. Однако граница дВ не является выпуклой в среднем относительно й.
Е1о мы можем изменить риманову метрику пространства Вз О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 473 в окрестности кольца Ь в П таким образом, что дй в новой метрике не будет допускать решения задачи Плато (подробности см. в. [М.- г'.]). После этого можно применять изложенные выше рассуждения.
(Эта лемма остается верной даже в случае, когда поверхности А1 н Аг являются собственно погруженными; см. [М.-К.-2].) б. ТЕОРЕМА О КОЛЬЦЕВЫХ КОНЦАХ И СИЛЬНАЯ ТЕОРЕМА О ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ХОФФМАНА — МИКСА Здесь представлена идея доказательства следующего важного результата. Теорема 6.1 [Н.-М.-З]. Пусгпь М вЂ” собственно вложенная минимальнал поверхность в 11г. Тогда М имеет не более двух кольцевых концов бесконечной полной кривизны. Набросок доказательства. Пусть Аы Аг и Аг — различные кольцевые концы поверхности М. Нетрудно найти такой шар В, что ВП(Аг ЫАгОАг) = дАг ЫдАгОдАг. Используя предыдущую лемму, можно поместить один из концов, скажем Аы между стандартными концами Ег и Ег (каждый из которых является катеноидным или плоскостным концом).
Можно доказать, что Аг имеет конечную полную кривизну. Это наиболее сложная, часть доказательства. Докажем, что касательная плоскость к А1 не может быть вертикальной вне некоторого компактного множества (тогда, гауссов образ этого подконца лежит в полусфере; следовательно, его площадь меньше чем 2к, и, таким образом, по теореме Барбосы — До Кармо об устойчивости конец Аг устойчив и потому имеет конечную полную кривизну). Чтобы доказать,что касательная плоскость к Аг в итоге никогда не будет вертикальной, построим слоения области между Ег и Ег на минимальные кольца, границы которых лежат на Е1 0 Ег, а затем изучим касание конца А1 с таким слоением. Точки касания могут быть лишь седлового типа (это следует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
