Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Почему результат Шепа является обобщением теоремы Гейнца, т.е. почему минимальный график устойчив? Вообще говоря, когда мы говорим о слоении на Минимальные гиперповерхности, мы подразумеваем устойчивость каждого листа. Единичное векторное поле и, нормальное к слоению, является бездивергентным в объ-' емлющем пространстве. Пусть Р— компактная область в одном из листов и Р— такая цепь, что дР = дР. Тогда Р 0 Р— цикл, гомологичный нулю. Согласно теореме о дивергенции, поток поля и через Р равен потоку поля и через Р, т.
е. площадь(Р) = / (и, и) = ( (и, иб) < площадь(Р), где ий — единичное векторное поле, нормальное к Р. Следовательно, Р минимизирует площадь в своем классе гомологий. Вертикальные сдвиги графика заполняют трехмерный цилиндр, и приведенные выше рассуждения показывают, что для любого В' < В на части поверхности М, лежащей над Рн, достигается минимум площади с точностью до второго порядка малости. Перейдя к пределу при В' -+ В, мы убедимся, что этим свойством обладает вся поверхность М.
466 Гарольд Розенберг 4.1. Критерий устойчивости Барбосы — До Кармо. Барбоса и До Кармо получили важный критерий устойчивости области на минимальной поверхности в В."л из которого следует устойчивость графиков. Согласно доказанной ими теореме, минимальная поверхность, погруженная в В.~, устойчива, если площадь ее сферического образа (при гауссовом отображении) меньше чем 2х. Мне хотелось бы сделать ряд замечаний в связи с теоремой Барбосы — До Кармо. Пусть Р— 'компактная область на минимальной поверхности М, и — единичное векторное поле, нормальное к М, и г' — кусочно-гладкая функция на Р, обращающаяся в нуль на дР.
Векторное поле г = (и.на Р индуцирует нормальную вариацию области Р, и вторая производная площади этой вариации имеет вид — / ПЛà — 2КЛ, уп где Ь вЂ” внутренний лапласиан поверхности М. Оператор Ь Ь вЂ” 2К является оператором устойчивости.(оператором Якоби) поверхности М. Устойчивость поверхности М означает строгую положительность приведенного выше интеграла для всех компакт-' ных областей Р и непостоянной функции у на Р, обращающейся в нуль на дР.
Следовательно, если можно найти непостоянную функцию у, ~ = О нз дР, в ядре оператора Ь (такие функции у называются полями Якоби), то область Р неустойчива. Теперь предположим, что Р— область, в которой гауссово отображение д представляет собой разветвленное накрытие над д(Р). Для этого случая Шварц доказал, что если первое собственное значение Л1 сферического лапласиана Ь, на д(Р) меньше чем два, то область Р неустойчива. Приведем доказательство этого утверждения.,Пусть и — функция на д(Р), положительная во внутренности этой области, равная нулю на дд(Р) и такая, что гз,и+ Л1и = О. Положим Г = и о д.
Поскольку д(дР) = д(дР), функция Г обращается в нуль на дР и положительна во внутренней части Р. Вторая вариация, определяемая функцией Г', имеет вид — /,(~,~+ Г' = (Л, - 2) ( (' < . /Х> ./п Следовательно, область Р неустойчива (приведенные выше интегралы берутся по дополнению к множеству точек ветвления отображения д). Теперь приведем идею доказательства критерия устойчивости Барбосы — До Кармо. Если область Р неустойчива, то можно найти О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ,457 такую область Р С Р и такую функцию и на Р, что и > 0 в 1пс Р, и = 0 на дР и Ьи — 2Ки = О.
Затем, усреднив и с помощью гауссова отображения, мы получим функцию у на д(С), удовлетворяюшую неравенству / (йгаг)Я < / «(д) »Оз) Из этого неравенства следует, что 'Л1 (д(Р)) < 2. Тем не менее среди всех сферических областей фиксированной площади минимум первого собственного значения лапласиана достигается на сферической «шапке».
Но для сферической «шапки» в открытой полусфере Лг > 2 (координатные функции пространства Гьэ удовлетворяют условию Ь» + 2 = О, положительны на открытой полусфере и равны нулю на ее границе), что приводит к противоречию. 4.2. Идея доказательства теоремы Гейнца. Пусть М вЂ” график функции 7", градиент которой обращается в нуль в начале координат. Это предположение относительно градиента упрощает доказательство. Основная идея состоит в сравнении поверхности М с графиком поверхности Шерка. Мы можем считать, что 7" определяет минимальный график на Ря, 7(0,0) = 0 и )Т77'(0,0)( = О. Повернем график функции /, искривляя его вверх, так, чтобы ось х имела главное направление. Пусть Ю вЂ” график Шерка, определенный над квадратом со стороной длины 2 и с центром в начале координат, и пусть его граничные значения на вертикальных сторонах квадрата равны +со, а на горизонтальных — со.
Предположим также, что этот график проходит через начало координат; очевидно, что'Л' горизонтвлен в начале координат. Пусть Ке — гауссова кривизна поверхности )»' в начале координат. При гомотетии с коэффициентом С > 0 относительно начала координат Ф. переходит в минимальный график )))с, определенный над квадратом О(С), содержащим Рс. Поено)гьку при такой гомотетии кривизна умножается на -'э, кривизна КО поверхности 7»О в начале координат должна удовлетворять неравенству 1Кс! <— !Ко! — Сг 468 Гарольд Ррэенберг Заметим, что поверхйость Агс горизонтальна в начале координат и одна из главных кривизн этой поверхности направлена вверх вдоль оси х. Выберем С > 0 таким образом, чтобы главная кривизна поверхности Фс, направленная вдоль оси х в начале координат, была равна соответствующей главной кривизне поверхности М в начале координат.
Тогда в этой точке выполнено равенство Ко = Кс. Если В < С, то Рл С Рс и !К!=!Кс!< С < Л. !Ко! !Ко! Если О(С) с Рл, то рассмотрим МПАс. Обе поверхности касаются в начале координат; поэтому либо они совпадают, либо МйгаГс является одномерной аналитической кривой, имеющей особенность в начале координат, через которую проходят и по крайней мере шесть ветвей. Так как Агс асимптотична бесконечности на границе квадрата О(С), за исключением четырех вершин, то должна существовать компактная компонента кривой М П Агс, строго содержащаяся в вертикальной области над внутренностью О(С) (по крайней мере одна ветвь кривой МГ)Мс должна проходить через фиксированную вершину квадрата О(С), Поскольку М является графиком). Следовательно, существует жорданова кривая сг в О(С), вдоль которой М и Жс совпадают.
Так как обе поверхности являются графиками над внутренностью гг и, согласно принципу максимума, существует единственный такой минимальный график, то М = Фс. Мы получили противоречие. Таким образом, О(С) не содержится в Рл, а значит, С > Л/~Г2 и !Ко! !Кс! < Са < Ла !К.! 2!К.! Тем самым справедливость оценки Гейнца установлена 5.
КОМПАКТНОСТЬ СЕМЕЙСТВ НАИМЕНЬШЕЙ ПЛОЩАДИ И ПОСТРОЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КОНЕЧНОЙ ПОЛНОЙ КРИВИЗНЫ Для изучения полной минимальной поверхности М в плоском трехмерном многообразии Аг нередко используется следующий метод: строятся такие минимальные поверхности Е конечной полной О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 469 кривизны, что множество дЕ компактно и непусто, поверхность Е не является компактной, дЕ С М и 1пС(Е) О М = И.
Такие поверхности Е «улавлйвают» М в малых областях многообразия М, что делает геометрию поверхности М доступной для понимания. Мы приводим несколько примеров применения этого метода. Сначала объясним,как можно получить поверхность Е. Пусть Й вЂ” полная область в г«', граница которой не допускает решения задачи Плато о наименьшей площади (эта теория была разработана Миксом и Яу [М.-У.]). Это означает, что дй = С вЂ” двумерное многообразие, гладкость которого нарушается лишь вдоль аналитического одномерного многообразия, такое, что ° С выпукло в среднем в точках гладкости, т.е. вектор средней кривизны в этих точках направлен внутрь Й (считаем, что нулевой вектор направлен внутрь Й), и ° в тех точках, где гладкость многообразия С нарушается, угол между гладкими гранями этого многообразия не превосходит к (этот угол измеряется в Й).
Микс и Яу доказали, что любой гладкий вложенный 1-цикл Г в дй, т.е. цикл, гомологичный нулю в Й, является границей компактной поверхности наименьшей площади Ег в Й, причем поверхность Ег являетея гладкой и вложенной. Основная идея со-. стоит в том, чтобы решить задачу Плато в Ф, перейдя к пределу вложенных поверхностей с границей Г, площади которых сходятся к точной нижней грани всех возможных плошддей. Нетрудно убедиться, что можно построить эту минимизирующую последовательность таким образом, чтобы ее элементы оставались в пределах области Й.
Из выпуклости в среднем (и углового условия) следует, что площадь поверхностей, выходящих за пределы Й, возрастает при-пересечении дй. Теперь остается (с помощью весьма трудоемкой процедуры) выделить подпоследовательность, сходящуюся к гладкой вложенной поверхности. Можно получить Ег также и с помощью геометрической теории меры [з1шоп]. Вновь предположим, что граница С = дй не допускает решения задачи Плато и Г С дй — гладкий 1-цикл (т.е. совокупность непересекающихся гладдих жордановых кривых). Если Г является границей ориентированной 2-цепи в Й, то Г является границей гладкой вложенной ориентируемой поверхности Ег в Й, на которой достигается минимум площади на множестве всех ориентируемых 2-цепей в Й с границей Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
