Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Через С(е1 + вз, в1— вз) обозначим группу, порожденную параллельными переносами на щ + вз, в1 — вг. Тогда поверхность М инвариантна относительно группы С(вэ + вэ, в1 — вэ), а фактор по этой группе топологически является проективной плоскостью без двух точек; полная кривизна факторповерхности равна -2х (рис.
6,а). 440 Гарольд Розенберг + .,+. е1 — ее Рис. 6,а. Рис. 6,Ь. .Рис. 6,с. 2(91 + ьа) — еа) Рис. 6,И. Рис. 6,е. Фундаментальной областью для группы С(2еы2ез) являются два смежных экземпляра Р (риг. 6,Ь). Фактор поверхности М по этой группе конформно диффеоморфен сфере без четырех точек и имеет полную кривизну — 4х в Тз х В. О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 441 Этим способом можно реализовать сферу оз без любого четного числа точек. Пусть С = 0(2ппы ез). Фундаментальная область этой группы состоит из 2п экземпляров квадрата Р (рис. б,с). Для того чтобы получить тор без четырех точек, надо рассмотреть группу С(2(п1 + пз), 2(пг — ез)).
Фундаментальная область в этом случае состоит из четырех экземпляров квадрата Р (рис. б,гй. Факторповерхность имеет четыре конца, и ее полная кривизна равна — 8х. При помощи группы С(пг — пю 2(сч+ез)) можно получить бутылку Клейна. Фундаментальная область этой группы изображена на рис. б,е. Факторповерхность имеет два конца, а ее полная кривизна равна — 4х.
Располагая и экземпляров квадрата Р по диагонали и рассматривая группу С = С(пг -ею п(пг+пз)), мы получим связную сумму и проективных плоскостей без двух точек. Выбирая подходящим образом ориентированное двулистное накрытие над любым из описанных неориентированных примеров; можно получить любую возможную ориентируемую поверхность без четырех точек. Заметим, что во всех рассмотренных примерах концы минимальных поверхностей асимптотичны плоским цилиндрам, которые оказывались вертикальными. Также во всех случаях верхние концы оказывались не параплельными нижним. Существуют примеры, в которых все концы параллельны и не вертикальны [М.-Н.-1[.
Г. Кархер построил наглядный пример тора без четырех точек в Т х В„все концы которого параллельны. Эту поверхность мы будем называть седлом Кархера [К.-2[. Построение этого примера начинается с рассмотрения прямоугольника Р и минимального графика нэд частью этого прямоугольника, ограниченной Ьм Ьз, Сг и Сз. См.
рис. 7,а. Будем считать, что функция равна 0 на С1 и Сз и +оо на Ь1 и Ью Кроме того, график вертикален над С1 0 Сз. Тогда Сг и Сз — проекции на плоскость линий уровня кривизны и график может быть продолжен отражением'в плоскости прямоугольника Р. Новая поверхность имеет четыре граничных вертикальных линии (рис. 7,э). Для того чтобы получить тор без четырех точек, расположим два экземпляра Р по диагонали и рассмотрим фактор по группе С(2пы 2пэ) (рис.
7,с). Во всех рассмотренных примерах геометрия и топология факторповерхностей связаны формулой С(М) = 2х1г(М). Это частный случай следующего общего результата. О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 443 Г(п) Рис. 8. Теорема 1.1 (М.-К.-1].
Пусть М С Т х К вЂ” собственно вложенная минимальная поверхность конечной топологии. Тогда М имеет конечную полную кривизну, которая вычисляется по формуле С(М) = 2лт(М). При построении поверхности Шерка мы начинали с квадрата Р, нзд которым рассматривался предел минимальных графиков.
Если в качестве Р мы выберем ромб и повторим ту же конструкцию, графики с границей Г(п) по-прежнему будут иметь общую точку р„с нулевой высотой. Поэтому поверхность Шерка существует нзд «шахматной доской» из ромбов. Однако если в качестве Р выбрать параллелограмм с неравными сторонами, то точки р„будут всегда уходить в бесконечность и предельная поверхность будет иметь две непересекающиеся вертикальные полосы (рис. 8). Это частный случай нашего следующего результата.
Теорема 1.2 [М.-К.-Ц. Пусть М вЂ” собственно вложенная минимальнал поверхность конечной топологии в Т х К. Если ее концы не параллельны, то Т х К имеет со змеримую ахеи«етку и концы поверхности М вертикальны. Под соизмеримостью решетки мы подразумеваем, что Т х К = Кг/С, где С имеет два .линейно независимых вектора равной длины.
Существует теорема Дженкина и Серрина, которая гарантирует существование поверхности Шерка над ромбом (и, следовательно, полной поверхности, полученной отражениями относительно вертикальных прямых, проходящих через вершины). Сформулируем частный случай этого результата. Гарольд Розенберг 444 Рис. 9* Теорема 1.3 ~З.-Б.!.
Пусть С вЂ” ломанол жорданова кривая в плоскости, имеющая четное число, сторон. Далее, пусть Р— компакгпная плоская область, ограниченная кривой С, и р принимает значение +со. и — оо на смежных сторонах этой кривой. Необходимое и достаточное условие для продолжения ~р до минимааьного графика над Р (принимающего лишь конечные значения1 состоит в глом, чгпо сумма длин ребер кривой С, на которых ~р равна +со, равна сумме длин ребер этой кривой, на которых у равна — оо. В случае когда у продолжается до минимального графика, этот график ограничен вертикальными прямыми, проходящими через вершины кривой С. Например, график Дженкина — Серрина над правильным шестиугольником изображен на рис.
9. Очзвидным следствием теоремы Дженкина — Серрина является то, что поверхность Шерка существует над параллелограммом только тогда, когда параллелограмм является ромбом. Существуют обобщения теоремы Дженкина — Серрина для не- компактных областей, которые успешно применяются для построения полных поверхностей рс.-Я.Е., К.-1]. О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 445 2.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕЙЕРШТРАССА И ГЕОМЕТРИЯ КОНЦОВ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В Кз КОНЕЧНОЙ ПОЛНОЙ КРИВИЗНЫ Рассмотрим риманову поверхность М и конформное отображение ф: М -+ Сз, удовлетворяющее условию 2', зфг = О, ф = (фыфг фз) Тогда Х(з) = Не);* ф является минимальной поверхностью в В.~. Несложно показать (см., например, [Озз.-1]), что любая'поверхность в зь~, средняя кривизна которой равна нулю, локально имеет такой вид.
Для того чтобы поверхность в Рь~ моделировалась поверхностью М, необходимо, чтобы интеграл от ф не зависел от пути на М между точками зо и з. Это условие называется условием периодов: для любого цикла у на М выполнено равенство Ве ф(з) г(з = О. Для того чтобы М была погруженной в В.з, требуется выполнение условия 2 ', )ф;(з)) ф О, з Е М. Соберем все сказанное в определении: минимальной поверхностью в Рсз, моделируемой римановой поверхностью М, называется конформное отображение ф: М -г Сз, удовлетворяющее следующим условиям: '+фг+фз = и на Ми ~фг~.+Н +~фз!г не обращается в нуль; ° Не ~ ф(з) ~(з = 0 для любого цикла у на М (условие периодов). 1 В случае, если условие периодов не выполнено, рассматривают минимальную поверхность, моделируемую универсальным конформным накрытием поверхности М (т.е.
С или открытым единичным диском). Образ Х(М) называют минимальной поверхностью, моделируемой поверхностью М, даже в случае, когда Х не является вложением. Задание трех координатных функций отображения ф и одного УРавнениЯ фг~.+ фг г+ фзг — — О может быть сведено к двУм УсловиЯм. Один нз классических способов сделать это называется представлением Вейерштрасса. Предположим, что фг — гфг не равно тождественно нулю (это соответствует тому, что М вЂ” не плоскость), и положим у ° 1 ы(з) (фг гфг) из фз.
фг — гфг 446 Гарольд Розенберг Тогда д — мероморфная функция на М, м — голоморфная 1-форма, а поверхность М восстанавливаетсй по (д, ы) с помощью формулы (з)Ве((1 да)(1 +д)д~>)(14~) Это и есть представление Вейерштрасса поверхности М. Заметим, что полюсы функции д являются нулями формы ы, причем полюсу функции д порядка Й соответствует нуль формы ы порядка 2х. Нетрудно видеть, что пара (д,ы) с указанными свойствами (функция д мероморфна на М, а форма ы голоморфна на М), удовлетворяющая условию нулей — полюсов, задает минимальную поверхность при помощи формулы (%). Конечно же, для поверхности, моделируемой поверхностью М, должно быть выполнено условие периодов. Мероморфное 'отображение д имеет важный геометрический смысл: оно является гауссовым отображением поверхности М. Точнее говоря, оно является композицией обычного гауссова отображения поверхности Х(М) и стереографической проекции сферы единичного радиуса (с центром в начале координат) на экваторианьную плоскость из северного полюса.
Геометрические инварианты поверхности М выражаются через функцию д и форму ы, Так, индуцированная метрика на,М задается формулой а кривизна поверхности М вЂ” формулой 4 (д'( ! Н1+ЬР)з 2.1. Параметризация Оссермаиа поверхностей конечной полной кривизны. Риманова поверхность М называется поверхностью конечного конформного типа, если существует такая компактная риманова поверхность М, что М конформно зквивалентна поверхности М без конечного числа точек.
В теории полных минимальных поверхностей в В.з поверхности конечной полной кривизны занимают важное местО, что хорошо поясняет следующая теорема Оссермана. О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 447 Теорема 2.2 [Оез.-1). Пусть М вЂ” полная минимальная поверхность, погруженная в гсз, и )С(М)) = ) )К)аА < оо. Тогда М является поверхностью конечного конформного глина и может бьгть парамегпризована при помощи мероморфнмх данных на компактной римановой поверхности.
Точнее говдря, если через М обозначить конформндю компактификацию поверхности М (т. е. М конфОРмно зквиваленгпна М 1 [Р1,...,Рь)), то представление Вейеригтрасса (д,ы) поверхности М мсроморфно продолжается на М. Таким образом, в некотором смысле теория минимальных поверхностей конечной полной кривизны в Гьг является частью теории римановых поверхностей.
Но мы очень далеки от понимания сути этой теории. Как увидеть поверхность М в терминах пары (д,ю)? Когда М является вложенной? Какие поверхности М существуют? Интересно было бы понять, какую роль играет минимальность в теореме Оссермана, так как в действительности важная часть этой теоремы от минимальности не зависит. Полные римановы двумерные многообразия конечной полной кривизны имеют конечный конформный тип.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
