Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Обратно, каковы бы ни были самосопряженные преобразования В и С, опи являются соответственно вещественной и мнимой частью преобразо- вания А = В + (с. Действительно, если В и С самосопряженные, то А" = В* — (С* =-  — (с, откуда следуют соотношения (4). П р е д л о ж е н и е 10. Пусть В и С вЂ” салюсопряженные пре- образования уншпарного пространства. Тогда следующие утвермн дения вквивалентны: (а) 17реобразавание А = В + (с нормальное. (б) Преобразования В и С обладают общим базисом из сооствен- ных векторов. (в) Преобразования В и С перестановочньи Д о к а з а т е л ь с т в о.
1) Эквивалентность (а) и (в) следует из равенства ВС вЂ” СВ= —,',.(А А — ДД ), которое легко проверяется. 2) Из (а) следует (б). Действительно, в ортонормированиом базисе матрицы преобразований А, В и С связаны равенствами В=,'.(А+А ), С= —,', (А — А*), где А* обозначает Ат. Следовательно, в ортонормированном ба- 'зисе из собственных векторов преобразования А матрицы В и С диагональные, так же, как и А. Значит, векторы этого базиса— собственные для преобразований В и С.
зв ГЛ. Ь ЛИНЕИНЫВ ОТОбРАЖЕНИЯ 3) Из (б) следует (в). Если В и С обладают общим базисом из собственных векторов, то в нем их матрицы диагональны и, следовательно, перестановочны. Значит, перестановочны и преобразования. Предложение доказано. Заметим, что один из способов доказательства теоремы 2 состоит в том, чтобы непосредственно проверить, что из (в) следует (б). Следующие три предложения вытекают из теоремы 2. Мы приведем их непосредственные доказательства, так как они переносятся на евклидовы пространства, для которых теорема 2 ие имеет места.
П р едл о же н и е 11. Если А — нормальное преобразование унитарного (или евклидова) пространства, то его собственный вектор, соответапвующий собственному значению Х, является собственным вектором преобразования А*, соответствующим собственному значению А (для евклидова пространства — тому же знаке. нию А). Для доказательства достаточно применить формулу (2) к преобразованию А — ХЕ, которое нормально, если нормально А. П р е д л о ж е н и е 12.
Собственные векторы нормального преобразования, принадлезкаи!ие различным собственным значениям, ортогональны. Действительно, если А (х) = Лх и А (у) = ру, то в силу предыдущего предложения ) (х, у)=(А(х), у)=(х, А*(у))=(х, ру) = р(х, у), откуда (Х вЂ” р) (х, у) = О. П р едл ож е н и е !3. Пусть ль' — собственное подпроспн ранство нормального преобразования А. Тогда его ортогональное дополнение йг- инвариантно относительно А, Д о к а з а т е л ь с т в о. Преобразования А и А* перестано« вочны, поэтому ль' инвариантно относительно А'. Из предложения 8 5 1 теперь вытекает, что ль'-1- инвариантно относительно (А*)*, т.
е. А. 1! р е д л о ж е н и е !4. Сингулярные числа нормального преоб. разования равны модулям его собственных значений. В ортонормированном базисе из собственных векторов преобразования А матрица преобразования А "А диагональна, и ее диагональные элементы равны Щ, где Ц вЂ” собственные значения А. Значит, квадраты сингулярных чисел равны квадратам модулей собственных значений. $ 4. Нормированные пространства !. Определение.
Во многих задачах, связанных с линейными пространствами, возникает необходимость сравнивать между собой элементы пространства, например иметь возможность сказать, что один вектор в каком-то смысле мал по сравнению с другим. Если 5 Е НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 39 пространство евклидово, естественно сравнивать векторы по длине. Можно ввести скалярное произведение в пространстве специально с этой целью, но часто природа объектов, составляющих пространство, такова, что нет никакого естественно связанного с ней скалярного произведения.
Кроме того, скалярное произведение как таковое может быть и ненужным, нужен только какой-то аналог длины вектора — числовая функция от вектора, обладающая несколькими важными свойствами. Такие функции вводятся следующим определением. 0 п р вдел е н не. Пусть функция ч> сопоставляет каждому вектору в вещественном пли комплексном линейном пространстве М некоторое вещественное число. Эта функция называется подлой, а ее значение на Векторе х — нор»иой этого вектора, если выполнены следующие условия для любых векторов х и у и любого числа Х: 1) ф (х) ) О для всех х~ о. 2) ф () х) = 11 1ф (х) «положительная однородность», 3) ф (х + 4>) -=. ф (х) + 4р (1>) <выпуклость». Линейное пространство, в котором задана норма, называется нормированным. Часто норму вектора х обознача>от 11 х 11.
Вместо слов «норма, значение которой на векторе х обозначается 11 х 11» мы будем писать «норма 11 ь 11>ь Заметим, что из свойства 2) следует ф (о) = О. Еще одно свойство норм записывается неравенством ф (х — у) ~ ! 4р (х) — ф (у) ( Действительно, ф(х) — 4р(у) =4р (х — у+и) — ф(у) ~4р(х — у)+ф(у) — «р (у) = = 4р (х — д). Аналогично доказывается, что ф (у) — ф (х):«ф (у — х) = ф (х — у). В нормированном пространстве мы можем определить расстояние между векторами х и у как норму их разности 11 4> — х 11. Так определенное расстояние обладает характерными свойствами пас.
стояния между точками евклидова пространства; оно неотрицательно и обращение его в нуль равносильно совпадению х и у, Кроме того, 11 у — х 11 = 11 х — у 11, т. е. расстояние симметрично, и выполнено неравенство треугольника 11 х — у 11 + 11 у — г 11 ~ 11 х — г ~О Множество векторов нормированного пространства, расстояние от которых до некоторого вектора а не превосходит заданного числа а, называется е-окрестностью вектора а. Используя понятие окрестности, можно определить предел последовательности векторов нормированного пространства: вектор и называется прйелом последовательности векторов (х,), если для каждого а ) О найдется такое число йь (е), что все элементы последователщости> начиная с элемента с номером й„лежат в а-окресг- 4О ГЛ.
Ь ЛИНЕИНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ности вектора а, или, короче, в каждой окрестности вектора а лежат есе, за исключением конечного множества, элементы последователыюсти. Таким образом, возникает возможность перенести на нормированные пространства в том или ином виде все понятия элементарного математического анализа. В нашу задачу не входит изложение этой теории. С ее основами можно ознакомиться по курсам математического анализа. В ч 3 гл. 11 мы будем предполагать, что читателю известны основные факты о нормированных пространствах в объеме, соответствующем 5 57 книги Кудрявцева Н61, т.
11. Нормированные пространства играют в мате;латическом анализе очень важную роль. Это объясняется тем, что задачи математического анализа относятся большей частью не к отдельным функциям, а к широким классам функций, и классы эти являются бесконечно- мерными линейными пространствами, нормированными или еще более общимн, так называемыми линейными топологическими пространствами. Область математики, изучающая такие пространства, называется функциональным анализом. В линейной алгебре исследуются конечномерные линейные пространства, и потому понятия анализа, связанные с предельным переходом, не будут играть для нас решающей роли.
В этом параграфе мы обсудим наиболее употребительные нормы в конечномерных линейных пространствах и, в частности, в пространствах матриш Однако ниже мы покажем, что с точки зрения сходимости последовательностей по норме различие норм в конечномерном пространстве не существенно. 2. Примеры норм. Рассмотрим и-мерное арифметическое пространство, безразлично, вещественное или комплексное, т.
е. линейное пространство вещественных или комплексных столбцов высоты и. В таком пространстве наиболее употребительны следующие нормы для столбца с элементами е', 1 = 1, ..., и: 1) 1ь-11= ~' ~Б* ~ — октаэдрическая норма, или 1-норма. 2) 111~=(~л ~Р,:'"" — евклидова, или, в комплексном пространстве, унитарная норма. З) 1 $)р = ( '~ ~~ х' ~' ' "Р, р 1, — норма Гельдера, или 1р-норма. / ' 4) 1ь1 =шах ~~'( — кубическая норма, пли с-норма.
Если в арифметическом пространстве ввести скалярное произведение, потребовав, чтобы базис из столбцов единичной матрицы был ортонормированным, то для каждого х )'1й и=(Х~И~')'". В силу свойств скалярного произведения. Отсюда следует, что евк- 'г з А нОРмиРОВАнные пРОстРАнстВА ~ф =-1 !фг =1 ~х!,!у~) =1 лидова (унитарная) норма действительно удовлетворяет аксиомам, определяющим норму. Проверка выполнения аксиом для 1-нормы и с-нормы не представляет труда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
