Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 12
Текст из файла (страница 12)
линеиные ОтОБРАжения 11 й )1„= 1. далее, для любого столбца щах |т)!! ~ ц'. и мы ! имеем !пах ( ц!(),У, '~а* ~ =!пах ~,'а!А 1, ! А ! Ь что вместе с предыдущей оценкой дает зпр — '=!пах~~! ~а! !. 1лй,'~ А ° Следовательно, нормой, индуцнрованной с-нормами в арифметиче- ских пространствах, является норма ) А 1, = щах г,' ~ а~ ~, ! т. е. максимальная из сумм модулей элементов матрицы по строкам. Элементы матрицы размеров т х и можно записать в виде столбца высоты тп и рассматривать для матриц те же нормы, которые были определены для столбцов в и.
2. Прн этом, ие будучи индуцированными, этн нормы не обязательно обладают полезными свойствами нндуцированных норм. г) Евклидова плп, в случае комплексной матрицы, унитарнал норма матрицы. По определению полагаем ) А 1е = Д ~ а! (~)!!'. Элемент матрицы А!А, стоящий в с-й строке н 1-м столбце, равен ~'~ амаль. Отсюда видно, что квадрат 1! А 11в равен следу АТА, т. е. ,~ А 1е=)!'1г А ТА. Аналогично доказывается, что унитарная норма комплексной матрицы )А1! = !! 1гА'А. Далее мы будем говорить только о вещественных матрицах, предоставив читателю перенести результаты па комплексные матрицы.
Полученное нами выражение для й А 1|е показывает, что верно П р е д л о же н и е 15. Евклидова норма матрицы равна квадратному коря!о из суммы квадратов ее сингулярных чисел. П р е д л о ж е н и е 16. Евклидова норма матрицы А не меня ется при умножении А справа или слева на ортогональну!о матрицу Д о к а з а т е л ь с т в о. Если У вЂ” ортогональная матрица, тв ЫИА) г УА = 1г Ат Уг УА = 1х А г А. 5 А НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Поскольку евклидова норма не меняется при транспонировании, мы имеем также 1АУЬ=11ЛйгЬ=%ТАТЬ=1 А" Ь=1 АЬ Это заканчивает доказательство предложения. Евклидова норлюа обладает кольцевым свойствохп если определено произведение матриц А и В, то !~ АВ ~~в ( ~! А ~~ в ~! В ~!в.
Действительно, в силу неравенства Коши — Буняковского ~х ', ацЬАА1 ~.У, 'а,'"; ~,'Ь~» ( 1'- ! ! / ! для любых ю и Ь. Суммируя эти неравенства по всем г я й„получаем 1~ АВ ~йе ~ Ц А ~йв !~ В ~~н, что равносильно доказываемому. Отсюда, в частности, следует, что евклидова норма согласована с евклидовымн нормами в арифметических пространствах: ~ А$ ~~ ~ ~ А ~в ~ й ~1м Не существует такой нормы в арифметическом пространстве, которая индуцировала бы евклидову матричную норму. В самом деле, ~~ Е ~1в = 3/в. д) Норма ~А~=шах~а'~ не обладает кольцевым свойством, с/ хотя и сохраняет единицу.
Гораздо чаще используется следующая норма в пространстве квадратных матриц порядка п ~А~, =ишак~а'~, Она обладает кольцевым свойством и согласована со всеми тремя основными нормами в арифметических пространствах. Докажем это. Элемент произведения АВ можно оценить по модулю так: с ~~( '~~,а'Ь! ~ ~ ~~~ ~а','. ( ( Ь! ! ( шах ~ а', ~ ~ ~ Ь~А ) ~ л шах ~ а',. ~ шах ~ Ь> !. Эта оценка имеет место и для максимального по модулю элемента Л В. Умножая обе части неравенства на и, получаем ~~ АВ ~~,. =- ~!! А ~~, 1! В 11„. Этим доказано кольцевое свойство. Поскольку и"'(шах~он,')' не меньше суммы квадратов всех ~ су элементов матрицы, рассматриваемая норма не меньше евклидовой ~ормы.
Ь1ы видели, что евклидова матричная норма согласована О евклидовой нормой в вт7„. Поэтому и норма ~! в ~~, согласована 6 евклидевой нормой в вй.'„. Аналвгично, норма |~.у.~1,. не меньше, чем нормы, индуцироВанные опорной и с-нофйбй, а потому является согласованной й 1-нормой и с с-нормой,в у%в., ГЛ. С, ЛИНЕИНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ е) Норма ~~ ~~а',~ для нас интереса не представляет. Отметим, с,с 1 что норма — ~~!ас! обладает свойством сохранения единицы. с,с 6. Поэлементная сходимость. Для последовательностей в арифметическом пространстве рассматривается поэлементиая (или, иначе, покоординатная) сходимость.
Г1оследоеательность Ягсс яоэлеменпсно сходится к ~„ еслн последовательности, образованные элементами столбцов ~ы сходятся к соответствующим элементам столбца ~асс 1!гп Ц=$с,, с'=1, ..., ~. Ф оэ Более подробно это означает, что, каковы бы ни были положительные числа е„..., з„, найдутся такие номера Ас (з,), ..., я, (е„), что для всех с = 1, ..., и при /г) Ггс (е;) выполнено неравенство 1 $с ьс( Легко заметить, что поэлементная сходимость совпадает со сходимостью по с-норме. Действительно, если последовательность сходится поэлементно, выбрав произвольное Б ) О, положим е, = ... = з„= е.
И тогда для)г)спахяс(е) будет выполнено с шах ( Ц вЂ” Ц ! ( е, что означает сходимость последовательности по с-норме. Обратное утверждение столь же очевидно. Из теоремы 1 и предложения 3 теперь следует, что последовательность сходится поэлементно тогда и только тогда, когда она сходится по какой бы то ни было норме.
Все сказанное выше относится и к поэлементной сходимости последовательностей матриц. Записывая элементы матрицы размеров лг ~с и в столбец высоты тп, мы можем рассматривать пространство св „как арифметическое пространство и сформулировать следующий результат. Последовательность матриц АА сходится к матрице А, поэлементно тогда и только тогда, когда она сходится к А, по какой- либо норме. ГЛАВА И ТЕОРЕМА ЖОРДАНА. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ $ 1.
Аинулирующие миогочлены 1. Делимость многочленов. В этом пункте мы рассмотрим необходимые для дальнейшего элементарные свойства делимости мпогочленов от одной переменной, Напомним (см. К., и. 1 ~ 1 гч, ЧИ, что многочлены с комплексными коэффициентами образуют комплексное (а многочлены с вещественными коэффициентами— вещественное) линейное пространство по отношению к обычным операциям сложения и умножения на число. Нулевой элемент этого пространства — многочлен, тождественно равный нулю, иначе говоря, такой, у которого все коэффициенты равны нулю. Ниже мы будем называть его нулевым или равным нулю мпогочленом.
Кроме линейных операций в множестве многочленов известна операция умножения. Отметим, что умножение на число совпадает с умножением на многочлен нулевой степени, свободный член которого равен этому числу. Известно, что для многочленов не существует операции деления, обратной операции умножения. Определим деление многочлена на многочлен с остатком. Рассмотрим многочлеиы д и р. Пусть найдутся такие много- члены А и г, что д = Ар + г, и степень г меньше степени р. Тогда й называется частным от деления о на р, а г называется остатком. П р е дл о ж е н и е 1.
Каждый многочлен можно разделигпь с остатком на любой ненулевой многочлен. При этом частное и остаток однозначно определены. Докажем это предложение методом, который позволяет найти частное и остаток, и носит название алгоритма деления с остатком. Если многочлен р отличен от нуля, то его коэффициент при наибольшей степени переменной не равен нулю, поскольку мы считаем степенью многочлена максимальную степень переменной, входящую с ненулевым коэффициентом.
Итак, даны многочлены р и д степеней т и п от переменной 1 р =ав+а11+...+а~1, у = рв+ ~г1+... + !! 1", и и ~ О. Если п (т, то мы положим й = О и г р. Рассмотрим случай и ) т. Гл. и. теоРемА жоРдАнА. Функции от мАтРиц Пусть Ь,= ~" г' . Рассмотрим многочлен д1 = д — Ь,р. Легко аи видеть, что его степень и, меньше л. Мы имеем равенство д =2 = Ь,р + д1 и, следовательно при и, (т можем положить Ь = Йх и г = д1. В противном случае и, » т, и мы, поступая с д» так же, как и с д, получим равенство !)1 = Ь,р + д„где степень л, много- члена д2 меньше, чем пм Теперь Ч )!!и+ Ч1 (Ь1+Ь2) Р+Ч2' Если и, ~ т, то г = д„Ь = Й, + Ь,. В противном случае представляем д» в виде Й»п + д». Этот процесс может продолжаться пока степень очередного многочлена д» не станет меньше т.
Такой иногочлен д» обязательно будет получен, так как степени много« членов д1 убывают с ростом 1. Найдя д» степени, меньшей т, ми полагаем Й = Ь, + ... + Й„и г = д». Этим существование частного и остатка установлено. Докажем единственность. Пусть многочлен !2 имеет два представления в интересующем нас виде: Ьр+ г и Й'р+ г'. Тогда (Й вЂ” Ь') р = г' — г. Если Ьчь Й', то многочлен в левой части равенства имеет степень, не меньшую чем т, а многочлен в правой части равенства имеет степень, меньшую т. Значит Ь = Й', а отсюда и г = г'. Предложение доказано.
Если остаток от деления д на и равен нулю, т. е. для некоторого многочлена Й имеем д = Йр, то говорят, что д делится на р, или что р есть делитель д. Нетрудно проверить следующие свойства делимости: для того чтобы произведение многочленов делилось на многочлен р, достаточно, чтобы на него делился один из сомножителей. Для того чтобы сумма ьп!огочленов делилась на р, достаточно, чтобы каждое слагаемое делилось на р.
Конечно, это не необходимые условия. Предложение 2 (теорема Безу). !»(ноючлен р делип1ся на дврчлен ! — 11 тогда и только тогда, когда р (р) = О. Остаток г от деления р на ! — (» Нмеет степень меньшую, чем степень 1 — р, т. е. является константой. Подставляя (» в равенство р = Й (! — р) + г, мы найдем г = р (р). Отсюда сразу следует доказываемое утверждение. О п р е д е л е н н е. Многочлен д называется наибольшим обшим делителем многочленов р„..., р„если он является делителем каждого нз них н делится на любой другой их общий делитель. Наибольший общнй делитель многочленов р„ ..., р, обозначается НОД (р„ ..., р,).
Он определен с точностью до числового множителя а ~ О. Действительно, пусть многочлены р„..., р, имеют два наибольших общих делителя 2( и д', Тогда каждый из ниХ должен делиться на другой, и, следовательно, ни у одного нз ннх степень не больше, чем у другого. Значит, их частное — многочлен степени О, т. е. д' = ад и а ~ О. Наоборот„умножая ' гл. и, таоивмь жогдкнл. эгнкции от млтаиц П р ед ложе н и е 4. Пусть р„..., р, — многвчлены, ~ среди которых есть отличный от нуля, и Й = НОД (рм ..., р,). Тогда найдутся такие многочлены и„..., и„что й= и,р„+...+ и,р,. (2) До к аз а тел ь ство. Обозначим через Ж множество всех многочленов виДа )',Р, + ...
+ ),Р„гле 1и ..., Г, — многочлены. Ж обладает следующими свойствами: а) Если д, (т ~ Ж, то д + Ь еп Ж. б) Если у я Ж, то йй я Ж, каков бы ни был многочлен й. Разумеется, каждый из многочленов р„..., р, лежит в $. Отсюда, в частности, следует, что $ содерэкит многочлены, отличные от нуля. В каждом множестве, содержащем ненулевые многочлены, есть многочлен минимальной степени, не равный кулю.
В самом деле, степени многочлепов — неотрицательные цель~е числа, и потому в множестве степеней ненулевых многочлеиов найдется минимальный элемент. Пусть й = и,р, + ... + и,р, — ненулевой многочлен минимальной степени из Ж. Тогда й есть делитель любого много- члена у из Ж.
Действительно, пусть у = М+ «и «Ф О. Тогда « = у — йй и, следовательно, «лежит в Ж вместе с д и й. Но степень «меньше степени й, что противоречит выбору й. Итак, « = 0 и й является делителем любого многочлена из Ж, в частности, каждого из р,, ..., р,. Пусть теперь й, — произвольный общий делитель миогочленов р„..., р,. Тогда й1 является делителем каждого слагаемого в правой части равенства (2) и, следовательно, делителем й. Это заканчивает доказательство предложения. П р и м е р. Пусть р, = Р + 1, р, = Р— 1. Тогда НОД (р„р,) = = 1+ 1, Мы имеем 1 (гз ! 1) 1(1ь 1) С л е д с т в и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
